10.6. Построение доверительной области регрессии.

Регрессия элементарными функциями

Будем рассматривать систему координат, в которой уравнение регрессии является линейной функцией (см. замену переменных метода выравнивания в п.9.3.2.). То есть предварительно нужно пересчитать координаты экспериментальных точек и значения коэффициентов А и В в эту систему координат.

Стандартное отклонение i-ого результата совместного наблюдения величины зависит от величины и при значении вычисляется по формуле

,

где , , , .

Границы доверительного интервала для i-ого результата совместного наблюдения величины при доверительной вероятности рассчитываются по формуле

где – квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы .

Если нанести доверительные границы на координатную плоскость, то кривые и ограничат область, которая будет представлять собой геометрическое место доверительных интервалов результата измерения величины в зависимости от величины . Эта область называется доверительной областью регрессии.

.

Таким образом, границы доверительной области для уравнения регрессии с учетом и представляют собой функции, которые записываются в виде

где , , , .

В системе координат, где уравнение регрессии – линейная функция, доверительные границы представляют собой гиперболы вида

После того, как доверительные границы будут найдены, необходимо провести обратный переход в исходную систему координат (см. замену переменных метода выравнивания в п.9.3.2.).

Доверительная область находится для прогнозирования по уравнению регрессии. Под прогнозированием понимается вычисление по уравнению регрессии значения величины при некотором значении величины , отличного от условий проведения эксперимента. При этом доверительные границы служат для вычисления границ доверительного интервала значения

Пример Построить доверительную область для результатов совместных наблюдений из примера п.10.2 при доверительной вероятности p=0.95. Определить точечную и интервальную оценку прогнозируемого значения отклика при xпр=50. xi 2 3 7 10 11 13 18 21 25 31 yi 8 11 14 18 20 26 31 32 34 41 Решение: Доверительные границы линейной регрессии найдем непосредственно по формулам . Из примера п.10.2 имеем уравнение регрессии . Из примера п.10.4.1. имеем значения выборочного среднего арифметического и несмещенной оценки дисперсии выборки . Из примера п.10.4.1. имеем также значение квантиля распределения Стьюдента Коэффициент можно найти с помощью значения несмещенной оценки дисперсии выборки . Вычислим значение выборочного среднего арифметического выборки . Вычислим значение коэффициента М , тогда . Верхняя граница или . Соответственно, нижняя граница . Вычислим по уравнению регрессии точечную оценку прогнозируемого значения величины Y . Вычислим доверительные границы для значения , . Таким образом, с вероятностью можно утверждать, что прогнозируемое значение лежит в интервале .

Регрессия полиномами

Если уравнение регрессии построено по равноотстоящим значениям ( ) с помощью полиномов Чебышева, то доверительные границы для прогнозируемого значения (r – глубина прогноза) при доверительной вероятности р определяются следующим образом

где – остаточная дисперсия,

k – степень полинома, описывающего уравнение регрессии,

– квантиль распределения Стьюдента

– коэффициент, зависящий от объема наблюдений и глубины прогноза.

Для линейной регрессии ( )

,

Для квадратичной регрессии ( )

,

где , .

Для вычисления и можно использовать следующие формулы

,

.

Пример Для уравнения регрессии, полученного в примере п.10.3. вычислить точечную и интервальную оценки для значения отклика при глубине прогноза r=10. Доверительная вероятность p=0.95 Решение: В примере к п.10.3. было получено - уравнение регрессии , - остаточная дисперсия . Во втором примере к п.10.4. было получено Так как , и , то . Прогнозируемое значение . Проведем промежуточные вычисления , , тогда и доверительные границы , . Таким образом, прогнозируемое значение с вероятностью лежит в интервале .