10.4. Статистический анализ коэффициентов регрессии

Анализ коэффициентов регрессии содержит в себе следующие задачи:

1. Проверка гипотезы о значимости коэффициента регрессии (его существенном отличии от нуля).

2. Проверка гипотезы о равенстве коэффициента регрессии заданному значению.

3. Построение доверительного интервала для коэффициента регрессии.

Регрессия элементарными функциями

Для решения поставленных задач вычисляются СКО коэффициентов и

,

,

где – дисперсия, определяемая рассеянием значений вокруг линии регрессии (остаточная дисперсия),

– несмещенная оценка СКО результатов наблюдения величины ,

– выборочное среднее арифметическое величины ,

– объем наблюдений,

– экспериментальные точки, пересчитанные в систему координат, в которой уравнение регрессии является линейной функцией (см. замену переменных метода выравнивания в п.9.3.2.).

Далее при заданном уровне доверительной вероятности рассчитывается квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы .

Гипотеза о значимости коэффициента или регрессии принимается, если, соответственно, справедливы условия

,

.

Если гипотеза о значимости какого-либо коэффициента отклоняется, то его значение следует принять равным нулю.

Гипотеза о равенстве истинного значения коэффициента регрессии или заданному значению, соответственно, или , принимается если

,

.

Доверительные интервалы для истинных значений коэффициентов регрессии и определяются по формулам

,

.

Пример Для уравнения регрессии, полученного в примере п.10.2. проверить гипотезы о значимости коэффициента А и о его равенстве значению α0=1, определить доверительный интервал генерального значения коэффициента α. Доверительная вероятность p=0.95 xi 2 3 7 10 11 13 18 21 25 31 yi 8 11 14 18 20 26 31 32 34 41 Решение: Объемы выборок . Из предыдущего примера имеем значения выборочных коэффициентов , , Вычислим выборочное среднее арифметическое выборки . Вычислим несмещенную оценку дисперсии выборки . Вычислим оценку дисперсии, определяемая рассеянием значений вокруг линии регрессии Проведем промежуточные вычисления тогда . Вычислим стандартное отклонение коэффициента по формуле . Вычислим квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы при , т.е. значение по формуле . Квантиль стандартного нормального распределения определим по формуле , тогда . Поскольку условие выполняется , то гипотеза о значимости коэффициента принимается с вероятностью . Поскольку условие выполняется , то гипотеза о равенстве принимается с вероятностью . Определим доверительный интервал коэффициента по формуле , , .

Регрессия полиномами

Если уравнение регрессии найдено с помощью полиномов Чебышева в виде , то стандартное отклонение коэффициента можно найти по формуле

,

где – значения полиномов Чебышева в эксприментальных точках ,

– величины, определяемые по формулам и , т.е.

.

Д алее при заданном уровне доверительной вероятности рассчитывается квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы (где n – количество экспериментальных точек, k – степень полинома, описывающего уравнение регрессии).

Гипотеза о значимости коэффициента принимается, если справедливо условие

.

Если гипотеза о значимости какого-либо коэффициента отклоняется, то его значение следует принять равным нулю.

Гипотеза о равенстве истинного значения коэффициента регрессии заданному значению принимается, если

.

Доверительный интервал для истинного значения коэффициента определяется по формуле

Пример Для уравнения регрессии, полученного в примере п.10.3. проверить гипотезу о значимости коэффициента А2, определить доверительный интервал генерального значения коэффициентов α2. Доверительная вероятность p=0.95 xi 1.1 3.2 5.3 7.4 9.5 11.6 13.7 15.8 17.9 20.0 yi -27.1 -60.7 63.9 22.4 93.6 175.0 246.8 319.1 452.8 601.3 Решение: В примере к п.10.3. было получено - коэффициент . - значение , - значение . Стандартное отклонение коэффициента (по формуле ) . Вычислим квантиль распределения Стьюдента по формуле Для этого предварительно вычислим квантиль стандартного нормального распределения по формуле , тогда Поскольку выполняется условие , то с доверительной вероятностью 0.95 принимается гипотеза о значимости коэффициента . Определим по формуле доверительный интервал для истинного значения коэффициента . , , .