10. Обработка результатов совместных измерений

• Понятие о совместных измерениях и регрессии. Задачи статистического исследования регрессии.

• Регрессия элементарными функциями.

• Регрессия полиномами.

• Статистический анализ коэффициентов регрессии.

• Устранение грубых ошибок измерения.

• Построение доверительной области регрессии.

• Проверка соответствия уравнения регрессии экспериментальным данным.

10.1. Понятие о совместных измерениях и регрессии. Задачи статистического исследования регрессии

Совместные измерения – это производимые одновременно измерения двух или нескольких, как правило, неодноименных величин для нахождения зависимости между ними.

На практике чаще всего исследуются зависимости между двумя случайными величинами, которые представлены результатами их многократных наблюдений и . При наличии (значимости) корреляционной связи между случайными величинами и имеет место функциональная зависимость , которая называется регрессией, а сама функция – уравнением регрессии. В случае двух измеряемых величин регрессия называется парной, а в случае нескольких – множественной.

Аппарат регрессионного анализа предполагает, что значения взаимно независимы и нормально распределены. Зависимость может быть линейной и нелинейной.

Задача определения зависимости в аналитическом виде в большинстве случаев решается с помощью теории аппроксимации по методу наименьших квадратов элементарными функциями (см. п.9.3.3). Тем не менее, в случаях, когда регрессия не может быть адекватно описана элементарными функциями, появляется необходимость полиномиальной аппроксимации. В такой ситуации могут применяться специальные методы, например, регрессия полиномами Чебышева.

Рассчитанные по результатам наблюдения коэффициенты регрессии называются выборочным, а их истинные значения – генеральными.

Статистическое исследование регрессии включает в себя:

1. Статистический анализ коэффициентов регрессии.

2. Анализ статистической однородности регрессии (устранение грубых ошибок совместных измерений).

3. Определение доверительной области регрессии.

4. Оценка соответствия (адекватности) уравнения регрессии экспериментальным данным.

10.2. Регрессия элементарными функциями

Поиск уравнения регрессии проводится в два этапа. На первом этапе выбирается элементарная функция, которая наиболее точно соответствует экспериментальным точкам (см. п.9.3.2.). На втором этапе рассчитываются выборочные значения коэффициентов выбранной функции (уравнения регрессии) и методом наименьших квадратов (см. п.9.3.3). Обозначим истинные (генеральные) значения и .

Пример Рассчитать коэффициенты уравнения линейной регрессии по результатам наблюдений xi 2 3 7 10 11 13 18 21 25 31 yi 8 11 14 18 20 26 31 32 34 41 Решение: Объемы выборок . Коэффициент уравнения регрессии вычислим по формуле Проведем промежуточные вычисления тогда Коэффициент уравнения регрессии вычислим по формуле Таким образом, уравнение регрессии имеет вид