9.3.3. Методы аппроксимации

Цель аппроксимации – рассчитать неизвестные параметры выбранной аппроксимирующей функции. Существует 3 метода аппроксимации, различающихся критерием близости аппроксимирующей функции и экспериментальных данных.

Метод выбранных точек

Критерий близости – минимальная сумма уклонений.

1. Выбирается N точек из таблицы экспериментальных данных (N – количество неизвестных параметров аппроксимирующей функции). Точки должны выбираться так, чтобы охватывать весь диапазон значений (например, из начала, середины и конца таблицы).

2. Составляется система уравнений, подобно тому, как это делалось для полиномиальной интерполяции (см. п.9.2.3 “Универсальный метод интерполяции”), только вместо полинома используется выбранная функция.

3. Решается составленная система уравнений для нахождения неизвестных параметров аппроксимирующей функции.

Пример Решить в общем виде задачу линейной аппроксимации методом выбранных точек Решение: Общий вид зависимости . То есть аппроксимирующая функция имеет 2 неизвестных параметра ( и ). Выберем 2 крайние точки с координатами и . Уравнение прямой , тогда . Таким образом, , .

Метод средних

Критерий близости – равенство нулю суммы всех уклонений, т.е.

Если у аппроксимирующей функции только один неизвестный параметр (например коэффициент в логарифмической функции вида ), то уравнения достаточно для его нахождения. Если неизвестных параметров несколько, то используется такой алгоритм:

1. Диапазон экспериментальных значений разбивается на N примерно одинаковых частей (N – количество неизвестных параметров аппроксимирующей функции).

2. Для каждого поддиапазона составляется уравнение . Эти уравнения объединяются в систему уравнений.

3. Решается составленная система уравнений для нахождения неизвестных параметров аппроксимирующей функции.

Пример Решить в общем виде задачу линейной аппроксимации методом средних Решение: Общий вид зависимости . То есть аппроксимирующая функция имеет 2 неизвестных параметра. Разделим экспериментальных значений на 2 примерно одинаковые части и обозначим точки из первой группы , а из второй . Пусть в 1-ой группе точек, тогда во второй точек. Составим 2 уравнения по формуле - для 1-ой группы точек - для 2-ой группы точек Получаем систему из 2-х уравнений Выразим из 1-ого уравнения и подставим во второе тогда и окончательно формула для расчета коэффициента будет иметь вид Подставив выражение для в выражение для , получим . Обозначим , тогда и окончательно получим

Таким образом, расчет коэффициентов линейной аппроксимирующей функции методом средних выполняется по формулам

Выравнивая функции заменой переменных (см. п.9.3.2.), можно по формулам и для расчета коэффициентов А и В линейной аппроксимации рассчитать коэффициенты для остальных функций.

Коэффициенты в общем виде

,

.

Аппроксимирующая функция	А	B	Переменные
			, , ,
			, , ,
			, , ,
			, , ,
			, , ,
			, , ,
			, , ,

Метод наименьших квадратов

Критерий близости – минимальная сумма квадратов всех уклонений, то есть нужно найти минимум функции

Если аппроксимирующая функция имеет только один неизвестный параметр t, то он находится из уравнения

то есть

Если же неизвестных параметров несколько, то

1. Находятся частные производные функции z по всем неизвестным параметрам.

2. Частные производные приравниваются к нулю. Из полученных уравнений составляется система.

3. Решается составленная система уравнений для нахождения неизвестных параметров аппроксимирующей функции.

Пример Решить в общем виде задачу линейной аппроксимации методом наименьших квадратов Решение: Общий вид зависимости . То есть аппроксимирующая функция имеет 2 неизвестных параметра. Составим выражение для функции по формуле (2.25) Найдем частные производные функции по неизвестным параметрам и Получим систему из 2-х уравнений Обозначим , тогда система будет иметь вид Выразим из первого уравнения системы параметр и подставим во второе уравнение в итоге получим выражение для Подставим в выражение для Возвращаясь к первоначальным обозначениям, окончательно получим

Таким образом, расчет коэффициентов линейной аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов выполняется по формулам

Выравнивая функции заменой переменных (см. п.9.3.2.), можно по формулам и для расчета коэффициентов А и В линейной аппроксимации рассчитать коэффициенты для остальных функций.

Коэффициенты в общем виде

Аппроксимирующая функция	А	B	Переменные
			,
			,
			,
			,
			,
			,
			,