7.3. Проверка гипотезы о равенстве центров распределений
Критерий Стьюдента
Если для двух серий наблюдений Х и Y (объемы выборок соответственно и , закон распределения – нормальный) установлено, что дисперсии незначимо отличаются друг от друга, то гипотеза о равенстве центров распределений можно проверить по критерию Стьюдента.
Наблюдаемое значение критерия Стьюдента определяется по формуле
,
где
,
(
–
среднеквадратическая погрешность
разности
),
,
.
Нулевая гипотеза о равенстве центров распределений принимается с заданной доверительной вероятностью р, если наблюдаемое значение критерия Стьюдента не больше критического
,
где
– квантиль распределения Стьюдента с
числом степеней свободы
при доверительной вероятности р
(определяется
по формулам или ).
Если же это условие не выполняется, то различие между средними признается значимым, то есть об измерениях говорят, что они не сходятся и не воспроизводятся.
Пример Проверить гипотезу о равенстве центров распределений двух выборок (с нормальным законом распределения) при доверительной вероятности р = 0.9
Решение: В примере п7.2. (для критерия Фишера) с помощью критерия Фишера установлено, что дисперсии выборок незначимо отличаются друг от друга, поэтому можно использовать критерий Стьюдента. Из примера п7.2. (для критерия Фишера) имеем
- координаты
центров распределений
- несмещенные
оценки выборочных СКО
- степени свободы
Тогда
Наблюдаемое значение критерия Стьюдента по формуле
Критические значение критерия Стьюдента вычислим по формуле (аппроксимация Морана)
где число степеней свободы
а
тогда
Таким образом, гипотеза о равенстве центров распределений принимается, поскольку
Вывод: Так как
выборки
|
,
,
,
,
.
.
,
,
- квантиль стандартного нормального
распределения при
- найдем по формуле 
,
.
.
и
имеют
равные координаты центров распределений
и незначимо различающиеся дисперсии,
то они являются неравноточными
результатами наблюдений одной и той
же физической величины.
Дисперсионный критерий
Пусть есть
выборок (
)
равного объема
,
распределенных по нормальному закону
,
,
,
Нужно проверить нулевую гипотезу о статистической неразличимости (равенстве) центров распределений этих выборок.
Наблюдаемое значение дисперсионного критерия рассчитывается по формуле
,
где
–
несмещенная оценка дисперсии, обусловленной
рассеянием средних значений выборок
вокруг их общего среднего значения
,
,
–
несмещенная оценка
дисперсии j-ой
выборки,
Нулевая гипотеза принимается с заданной доверительной вероятностью р, если наблюдаемое значение критерия не превосходит критического
,
где
– квантиль распределения Фишера со
степенями свободы
и
(вычисляется по формуле ).
Дисперсионный критерий очень чувствителен к отклонениям выборок от нормального закона распределения. Для повышения устойчивости при расчете критического значения критерия используют коррекцию степеней свободы
где
,
,
,
,
,
.
Если число степеней
свободы
,
то можно упростить дисперсионный
критерий (метод Романовского). В этом
случае наблюдаемое значение критерия
вычисляется по формуле
,
где
,
и
аналогичны ,
.
Нулевая гипотеза принимается, если
.
Пример Для выборок из примера на применение критерия Бартлетта проверить гипотезу о равенстве центров распределений этих выборок с помощью дисперсионного критерия при доверительной вероятности р = 0.95
Решение:
По условию задачи
Из примера на применение критерия Бартлетта имеем
- выборочные
средние арифметические
- несмещенные
оценки дисперсий
Среднее значение всех выборок
Вычислим оценки
дисперсий
Тогда наблюдаемое значение дисперсионного критерия
Вычислим
критическое значение дисперсионного
критерия
Степени свободы ,
Значение квантиля распределения Фишера вычислим с помощью аппроксимации Воглера-Нортона (формула )
Вычислим константы (значение квантиля стандартного нормального распределения при уже вычислялось в предыдущих примерах),
тогда
Так как
то с вероятностью можно утверждать, что центры распределений выборок равны.
Применим теперь метод повышения устойчивости критерия при отклонении выборок от нормального закона распределения . Для этого определим корректирующий множитель для числа степеней свободы
Проведем промежуточные вычисления - для 1-ой выборки
- для 2-ой выборки
- для 3-ей выборки
- для 4-ой выборки
тогда
В итоге получаем корректирующий множитель
и скорректированные степени свободы по формуле
Вычислим квантиль распределения Фишера с новыми степенями свободы
тогда
Так как
то с вероятностью можно утверждать, что центры распределений выборок равны.
Решим задачу методом Романовского
Наблюдаемое значение критерия
Так как наблюдаемое
значение
|
(объемы выборок),
(количество выборок).
,
,
,
,
,
,
.
.
и
,
.
.
.
.
.
,
,
,
,
,
.
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
.
,
,
,
,
,
.
,
,
.
.
,
то нулевая гипотеза принимается.