4.7. Определение вида закона распределения результатов наблюдений

В качестве функции плотности распределения вероятностей результатов наблюдений следует принимать закон, близкий к нормальному, при соблюдении следующего условия: имеются основания полагать, что статистическая функция плотности распределения – функция симметричная, одномодальная, отличная от нуля на конечном интервале значений аргумента, и другая информация о плотности распределения отсутствует. Это можно определить по виду гистограммы или методом моентов.

В тех случаях, когда нет основания полагать, что указанное условие выполняется, следует принимать какую-либо другую аппроксимацию функции плотности распределения вероятностей выборки.

4.7.1. Определение вида закона распределения методом моментов

Для идентификации закона распределения используются центральные моменты 2-ого, 3-его и 4-ого порядков, по значениям которых вычисляются коэффициенты формы закона распределения результатов наблюдений: несмещенные оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса (см. пп.4.3–4.4.).

Эти коэффициенты должны быть малы, если распределение нормальное. О малости коэффициентов асимметрии и эксцесса судят по сравнению этих коэффициентов с оценками их стандартных отклонений

,

,

где n – количество наблюдений (объем выборки).

Закон распределения нормальный, если одновременно выполняются условия

Если хотя бы одно из условий не выполняется, то закон распределения отличен от нормального и идентификацию закона распределения можно провести по сравнению оценок коэффициентов эксцесса и асимметрии с их теоретическими значениями.

Пример Проверить методом моментов принадлежность выборки объемом n=40 (из примера п.2.2.) к нормальному закону распределения. 79 58 54 52 73 67 71 63 85 53 73 67 62 53 41 43 61 52 63 80 72 65 65 77 42 67 64 67 70 68 59 61 75 59 32 69 60 60 60 76 Решение: В примере п.2.2. было получено интервальное распределение выборки Границы интервалов Середины интервалов Частота попадания в интервал [32; 39.571) [39.571; 47.142) [47.142; 54.713) [54.713; 62.284) [62.284; 69.855) [69.855; 77.426) [77.426; 85] 35.786 43.357 50.928 58.499 66.070 73.641 81.212 1 3 5 9 11 8 3 Определим координату центра распределения выборки . Если выборка распределена по нормальному закону, то оценкой центра распределения является выборочное среднее арифметическое, которое для интервального распределения вычисляется по формуле . Оценку стандартного отклонения выборки вычислим по формуле . Определим выборочные центральные моменты 3-его и 4-ого порядков по формуле , . Вычислим несмещенную оценку коэффициента асимметрии по формуле . Вычислим несмещенную оценку коэффициента эксцесса по формуле . Вычислим оценку стандартного отклонения коэффициента асимметрии по формуле . Вычислим оценку стандартного отклонения коэффициента эксцесса по формуле . Поскольку условие выполняется, то есть основания полагать, что выборка принадлежит к нормальному закону распределения.