4.3. Моменты случайной величины и их оценки, оценки стандартных отклонений результатов наблюдений и результата измерения
Начальным моментом
j-ого
порядка
случайной величины Х
называется математическое ожидание
случайной величины
.
Центральным моментом j-ого порядка случайной величины Х называется математическое ожидание j-ой степени отклонения случайной величины от её математического ожидания
.
Оценку начального момента j-ого порядка по результатам наблюдений можно определить по формуле
,
где – результаты наблюдений
n – общее количество результатов (объем выборки).
В случае статистического распределения
,
где – варианты (или центры интервалов),
– частота наблюдения i-ой варианты (или частота попадания результатов наблюдений в i-й интервал).
Оценку центрального момента j-ого порядка по результатам наблюдений можно определить по формулам
,
где
– оценка результата измерения,
– результаты наблюдений,
n – общее количество результатов (объем выборки).
,
где – варианты (или центры интервалов),
– частота наблюдения i-ой варианты (или частота попадания результатов наблюдений в i-й интервал),
– оценка результата измерения.
Чаще всего
используются центральные моменты 2, 3 и
4 порядков, несмещенные оценки которых
по выборочным оценкам
можно определить следующим образом
,
,
,
где n – объем выборки.
Второй центральный момент называется дисперсией. Корень второй степени из значения дисперсии является оценкой стандартного отклонения (среднеквадратического отклонения, СКО) результатов наблюдений.
Оценка выборочного СКО (из ) определяется по формуле
.
Несмещенная оценка выборочного СКО (из )
.
Эта оценка является несмещенной и состоятельной.
Соответствующие формулы для статистического распределения имеют вид
,
.
Зная СКО результатов
наблюдений
,
можно вычислить СКО результата измерения
.
Пример Определить в условиях предыдущей задачи (п.4.2.) оценки стандартных отклонений результатов наблюдений и результата измерения. Решение: Было установлено, что , тогда СКО результатов наблюдений:
СКО результата измерения:
|
,
4.4. Коэффициенты формы закона распределения случайной величины и их оценки
Выборочная оценка третьего центрального момента характеризует асимметрию закона распределения результатов наблюдений, т.е. скошенность спадов
.
Выборочная оценка четвертого центрального момента характеризует островершинность закона распределения результатов наблюдений, т.е. протяженность спадов
.
Для удобства в
статистике используются безразмерные
коэффициенты асимметрии
и эксцесса
,
несмещенные оценки которых можно
определить по формулам
,
где
– несмещенная оценка третьего центрального
момента ,
– выборочная
оценка третьего центрального момента
,
– несмещенная
оценка СКО результатов наблюдений ,
– выборочная
оценка СКО результатов наблюдений ,
n – объем выборки,
,
где
– несмещенная оценка четвертого
центрального момента ,
– выборочная
оценка четвертого центрального момента
,
– несмещенная оценка СКО результатов наблюдений ,
– выборочная оценка СКО результатов наблюдений ,
n – объем выборки,
Если
то это означает, что большинство значений
случайной величины превосходит среднее
значение, а если
,
то больше данных с меньшими значениями,
чем среднее.
Если
,
то данные более равномерно распределены
по всей области значений, если
,
то данные сконцентрированы около центра
распределения.