5694

Упорядоченный набор из n действительных чисел x1,..., xn называ-

ется

арифметическим

n -мерным

вектором

и

обозначается

a

x1,..., xn

. Числа

xi i

1,...,n называются координатами (иногда

компонентами) вектора a .

Если у n -мерного вектора все координаты

равны нулю, то вектор называется нулевым :

a

0,...,0 . Два n -мерных

вектора

a

x1,..., xn

и b

y1,..., yn

называются равными (записы-

вают a

b ), если xi

yi (i

1,...,n) .

Над вектором вводятся операции (действия) сложения векторов и

умножения вектора на действительное число.

Суммой двух n -мерных векторов a

x1,..., xn

и b

y1,..., yn

называется вектор

a

b

xi

y1,..., xn

yn .

Произведением вектора a

x1,..., xn

на

действительное число

1)

a b

a

b,

2)

a

a

a .

a,b

n

y )2

(x

i

i

i

1

ральному числу k(k

) ставится в соответствие единственная опреде-

лённая точка M k

R n .

Следовательно, последовательность точек пространства R n есть от-

ражение множества

всех натуральных чисел в пространство R n .

Подробно последовательность M k запишется так:

M1, M 2 ,...,M k ,....

Точки называются членами этой последовательности. Отметим, что в

R n каждая такая точка имеет n координат.

Точку M k

называют общим членом последовательности M k .

формула для координат общего члена M k

x1k ,..., xnk .

Если каждому натуральному числу

K будет поставлена в соответ-

ствие одна та же точка M 0 из R n ,

то получим последовательность

M 0 , M 0 ,...,M 0 ,..., которую называют стационарной (постоянной). M 0

тельность

M k

точек

M k

R1

будет

иметь

вид

M1 x 1 , M 2 x 2

,...,M k x k

,... или

x 1 , x 2 ,..., x k

,.... Последняя

представляет собой числовую последовательность с общим членом

x k ,

которые изучались в главе 2. Отметим только, что индекс k

общего члена

Пример 1. Каждому числу k ставится точка M k

из R 2 , общий член

которой имеет вид M k k,

1

. Следовательно, имеем последовательность

k

M1 1,1 , M 2

2,

1

, M 3

3,

1

,..., M k

k,

1

,...

2

3

k

M 1,1 ,

M

2

2, 4 , M

3

3, 9 ,...,M

k

k, k 2

,...,

1

плоскости (пространства R 2 ).

Пример

3.

Рассмотрим

последовательность

точек

M k

1

, k, k 2

R3 .

Члены этой последовательности имеют следую-

k

щий вид:

M 1,1,1 ,

M

1

M

1

M

1

,

k, k 2 ,....

1

2

, 2, 4

,

3

, 3, 9

,...,

k

k

2

3

Пример 4. Пусть

M k

есть последовательность точек M k

1

из

k

R1. Это означает, что имеем числовую последовательность точек

M1 1 , M 2

1

,

M 3

1

,..., M k

1

,...

2

k

3

1,

1

,

1

,...,

1

,...

(в краткой записи

хк

1

); в главе 2 её записывали как

2

3

k

k

последовательность с общим членом хn

1

. Ещё раз подчеркнём, что это

n

одна и та же последовательность.

Определение 1. Точка

M 0

R n

называется пределом последова-

тельности

M k

точек M k

R n , если

lim (М k , М0 ) 0.

(4.6)

k

lim Мk М0, М

k

М

0

.

k

k

При фиксированном k расстояние

является конкретным числом.

Определение означает, что для любого положительного числа

су-

ществует номер k k

, зависящий от

, такой, что при всех k

k

выполняется неравенство

M k , M 0

.

точке M k

на Ox соответствует некоторое действительное число xk .

За-

дание последовательности M k

точек на прямой равносильно заданию

числовой последовательности xk

. Расстояние между точками M k

xk

и M 0 x0

на прямой определяется равенством (Мk , М0 )

xk

x0

ность

M 0

имеет пределом точку M 0 .

Рассмотрим примеры на нахождение пределов.

Пример 5.Докажем, что последовательность точек М k

1

,

k

2

из

k

k

R 2 сходится к точке M0 0,1 .

Действительно, согласно пункту 1

2

2

1

k 2

5

5

(М k , М 0 )

0

1

.

k 2

k

k

k

Тогда

lim

(М k , М 0 )

lim

5

0. Доказательство завершено,

т.к.

R

k

k

lim

M k

1

,

1

,

k

1

M 0 (0, 0, 1).

k

k

k

k

Применим формулу (4.1) дл нахождения расстояний между точками

в пространстве R3 . Получим, что

2

2

2

1

1

k 1

3

3

(М k , М 0 )

0

0

1

.

k 2

k

k

k

k

Так как lim (М k , М 0 )

lim

3

0,

то равенство (4.6) установле-

k

k

k

но.

Пример 7. Доказать, что

lim

M k

k

1

M 0 (1).

k

k

Имеем одномерный случай. Тогда

(M k , M 0 )

k 1

1

1

k

k

Если задана последовательность точек M k R n

M1 x11 ,..., xi1 ,..., xn1 ,..., M k x1k

,..., xi k ,..., xnk

,...,

то это означает, что имеется n числовых последовательностей:

1

,..., x k

x

,... (последовательность первых координат);

1

1

…

1

k

,... (последовательность i -х координат);

xi

,..., xi

…

1

xn

,..., xn k ,... (последовательность n -ых координат).

Теорема 1 (о координатной сходимости в R n ). Последовательность

точек

M k x1k ,..., xi k ,..., xnk

R n

сходится

к

точке

M 0 x10 ,..., xi 0 ,..., xn0

R n ( М k

М 0 ) тогда и только тогда, когда

k

88

Если предел хотя бы одной из последовательностей

xi

k

равен

бесконечности или вовсе не существует, то последовательность

M k

точек из R n расходится. Это утверждение следует из теоремы 1.

Пример 9. Исследуем на сходимость следующие последовательности

точек из R 2 :

1) М

k,

1

;

2) М

1

, ( 1)k 1 ;

3) М k ( 1)k 1, k 2 .

k

k

k k

Все последовательности расходятся. У первой последовательности

lim х(k)

lim

k

. У второй – lim х(k)

lim ( 1)k

1

не суще-

k

1

k

k

2

k

Определение 2. Последовательность {Mk },

Mk

R n

называется

фундаментальной, если для

0

N такое, что для

k

N и любо-

го натурального числа m выполняется неравенство

(Mk m , Mk )

.

Теорема 2 (критерий Коши сходимости последовательности). Для

того чтобы последовательность {Mk },

Mk R n

сходилась, необходимо

89

Вектором с началом в точке

M1 x1,..., xn

и концом в точке

P y1,..., yn называется n -мерный вектор

MP

y1 x1,..., yn

xn .

Вектор OM , где O 0,...,0 – начало координат n -мерного координатного

пространства, называется радиусом –

вектором точки M . Очевидно,

что координаты радиуса – вектора OM совпадают с координатами точки M .

Из сказанного в пункте 1 следует, что

M , P

M , P

,

O, M

O, M

.

Из аналитической геометрии на плоскости и в трёхмерном простран-

стве известно, что уравнение прямой имеет вид

M 0M

tq

t

,

(4.7)

где M 0 – точка, лежащая на этой прямой,

M –

переменная (текущая)

х х0

tg1,

(4.8)

у у0

tg2.

Здесь M x, y – текущая точка прямой, M 0 x0 , y0 – фиксирован-

ная точка этой прямой, q q1, q2 ,

t

. Уравнения (4.8) назы-

M 0M

tq

t

,

(4.9)

называется прямой в R n , проходящей через точку M 0 x10 ,..., xn0

парал-

лельной вектору q q ,...,q

n

R n

, где q – ненулевой вектор.

1

В силу пункта 1 равенство (4.9) приводит к следующим параметри-

ческим уравнениям прямой в R n :

х

х(0)

tg ,

1

1

1

.....

(4.10)

xn

xn(0)

tgn.