5694
.pdf61
чисел h 1 и всех натуральных чисел n , причём равенство имеет место только в очевидных случаях: h 0 или n 1.
Доказательство проведём методом математической индукции.
При n 1 неравенство (3.13) имеет вид 1 h 1 h и, значит, справедливо вообще для всех значений h . Предположим, что оно справедливо
при n k : |
|
|
|
1 |
h k |
1 kh. |
|
Докажем его справедливость при n |
k 1. Для этого умножим обе части |
||
последнего неравенства на 1 |
h . Так как по условию h |
1, то 1 h 0 . |
Знак неравенства после умножения не изменится. В результате получим:
|
1 h k 1 |
1 kh 1 h 1 k 1 h kh2 . |
||
Так как kh2 |
0 , то из последнего неравенства следует, что |
|||
|
1 |
h k 1 |
1 |
k 1 h . |
Итак, доказана справедливость неравенства (3.13) при n 1 и уста- |
||||
новлено, что из его справедливости при n |
k следует справедливость при |
n k 1. Согласно методу |
математической индукции это |
неравенство |
|||
верно при всех натуральных значениях n . |
|
||||
Рассмотрим последовательность |
xn с общим членом |
|
|||
|
|
1 |
n |
|
|
xn |
1 |
|
, |
(3.14) |
|
n |
|||||
|
|
|
|
который представляет собой степенно-показательное выражение. Нужно выяснить, является ли последовательность (3.14) сходящейся. Так как
lim 1 |
1 |
1, а |
lim n |
, то теорема 10 для вычисления предела этой |
|
|
|||||
n |
|||||
|
|
|
|
||
последовательности xn |
неприменима. Наблюдается неопределённость |
вида 1 (см. пункт 3.6), которую и надо раскрыть.
Так как предел основания равен единице, а показателем является натуральное число, то можно было бы ожидать, что искомый предел равен единице. Однако это не так. Из (3.13) следует, что для любого n справедливо неравенство
1 |
1 |
n |
1 n |
1 |
2, |
|
|
|
|||
n |
|
n |
|||
|
|
|
|
и, следовательно, если последовательность (3.14) имеет предел, то lim xn 2 .
|
|
62 |
|
|
С другой стороны, так как основание 1 |
1 |
больше единицы, а предел |
||
|
||||
|
|
|
n |
|
показателя есть |
, то может показаться, что последовательность должна |
|||
быть бесконечно большой lim xn |
. Однако и это не так. |
Оказывается, что изучаемая последовательность ограничена сверху и монотонно возрастает (непосредственно это не усматривается). Согласно пункту 3.8 (пределы монотонных последовательностей) такая последовательность имеет конечный предел. По предложению Эйлера его принято обозначать буковой e :
|
1 |
n |
|
|
e lim 1 |
|
. |
(3.15) |
|
n |
||||
|
|
|
Можно доказать (это доказательство опускается), что e является иррациональным числом и, следовательно, представляется в виде бесконечной непериодической дроби. Приведём приближённое значение e с точностью до
пятнадцатого десятичного знака после запятой (с точностью до 10 15 ):
e2,718 281 828 459 045.
Вкачестве простейшего приближения для числа e берут число 2,72 , т.е. с
точностью до 10 2 :
e 2,72 .
Здесь опустим доказательство того, что последовательность (3.14) строго возрастает и ограничена. Приведём простое доказательство только наличия у неё конечного предела.
Сначала докажем, что существует конечный предел у последова-
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тельности |
yn |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, а потом из существования этого предела вы- |
||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ведем существование предела (3.15). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
По неравенству Бернулли (3.13) имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(n |
1) |
|
|
|
|
1 1 |
|
|
2, |
|
||||||
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
т.е. yn |
ограничена снизу. Покажем, что эта последовательность не воз- |
||||||||||||||||||||||||||||
растает. Рассмотрим отношение |
|
yn |
|
|
|
и преобразуем его: |
|||||||||||||||||||||||
yn |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
n 1 |
|
|
n |
1 n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 2n 3 |
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
yn 1 |
1 |
|
1 |
|
n 2 |
|
|
n 2 n 2 |
|
nn 1(n 2)n 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63
n 1 2 |
n |
2 |
n |
|
|
1 |
n |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
. |
|||||
n(n 2) |
|
|
n 1 |
n(n 2) |
|
|
n 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
В соответствии с неравенством Бернулли (3.13)
|
|
|
1 |
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n 1 |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
(n |
2) |
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n(n |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n |
2) |
|
n |
|
|||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
n |
1 |
|
n |
1, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
1 |
|
|
n |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
т.е. для любого n yn |
1 |
|
|
yn . Это и значит, что последовательность |
yn |
|||||||||||||||||||
не возрастает (см. определение 8 из гл.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Таким образом, |
последовательность |
|
yn |
не возрастает и ограниче- |
||||||||||||||||||||
на снизу yn 2 . По теореме 16 она имеет конечный предел. |
|
|||||||||||||||||||||||
Так как |
|
|
yn |
|
и lim 1 |
1 |
|
|
1, то по теореме о пределе дро- |
|||||||||||||||
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
би последовательность |
xn |
также имеет предел, |
причём тот же, |
что и |
yn .
В равенстве (3.15) n стремится к бесконечности, принимая только натуральные значения. В дальнейшем это равенство будет обобщено (будет рассмотрена ситуация, когда аргумент стремится к бесконечности произвольным образом). В частности, имеет место следующее утверждение:
если |
|
n – любая |
бесконечно |
большая |
последовательность |
||
lim |
n |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Z n |
|
|
|
|
lim |
1 |
|
e. |
(3.16) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Z n |
|
||||
|
|
n |
|
|
|
|
Равенство (3.16) и теорема 10 широко используются при вычислении пределов степенно-показательных выражений. Поясним это несколькими примерами.
Пример 1. Требуется вычислить
|
n2 |
5 |
n 2 |
2 |
lim |
|
. |
||
n2 |
|
|
||
|
|
|
|
64
Так как lim |
n2 5 |
|
1 и lim(n2 |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
то имеется неопределённость |
|||||||||||||||||||||||
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вида 1 . |
Преобразуем последовательность следующим образом: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
(n 2 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
5 |
|
n 2 2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
n 2 |
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Z n |
Выражение |
|
справа |
в |
квадратных скобках |
|
имеет вид |
1 |
|
, где |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z n |
|
|
. |
Тогда согласно (3.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
5 |
|
|
|
|
5 |
|
e. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислим предел нового показателя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
5(n2 |
2) |
|
|
|
|
lim 5 |
10 |
|
5. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Остаётся применить теорему 10. В результате имеем |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
5 |
|
n 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e5. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 2. Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
5 |
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Так как lim |
n |
5 |
|
|
1 и lim(n2 |
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
, то снова имеем неопре- |
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делённость вида 1 . Сделав преобразования, на основании (3.16) и теоремы 10 получим следующее:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n 2 |
|
|
|
|
n |
5 |
n |
2 |
|
4 |
|
n 1 |
n 1 |
4 |
|||
lim |
lim 1 |
|
|
4 |
|
|
lim 1 |
|
|||||
n |
1 |
|
n |
1 |
|
|
n |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4n 2 n 1 lim n 1
4 |
e |
. |
|
Пример 3. Найти следующий предел:
|
n2 |
5 |
n |
|
lim |
. |
|||
n2 |
1 |
|||
|
|
Рассуждая аналогично, как при решении примеров 1 и 2, получим
65
следующее:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
5 |
n |
|
4 |
|
n |
|
4 |
|
|
n 2 1 n 2 1 |
lim |
|
4n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 1 e0 1. |
||||||||
lim |
1 |
lim 1 |
|
|
lim 1 |
|
|
|
e n |
||||||||||
n2 |
1 |
n2 1 |
|
n2 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что число Эйлера выгодно применять в качестве основания для логарифмов. Логарифмы с основанием e называют натуральными.
3.11. Некоторые приложения понятия предела
Прежде всего отметим, что lim qn |
|
|
|
0 при |
q |
1(доказательство |
этого факта внесено в упражнения).
Теперь поставим задачу о вычислении суммы геометрической прогрессии с первым членом a и знаменателем q при условии, что q 1.
Эта последовательность задаётся общим членом xn aqn 1 (см. гл. 2).
Так как имеется бесконечное число слагаемых, то сумму S ещё надо определить.
Получим сначала формулу для вычисления суммы первых n членов этой геометрической прогрессии. Нас интересует сумма
Sn a aq aq2 ... aqn 1, (3.17)
которую принято называть n -й частичной суммой. Умножим равенство (3.17) на q и полученное равенство Snq aq aq2 ... aq1 вычтем из
исходного. В результате получим равенство Sn qSn a aqn (часть членов при вычитании сократилась), откуда получаем искомую формулу для Sn :
Sn |
a(1 q n ) |
. |
(3.18) |
||
1 |
q |
||||
|
|
|
Часто равенство (3.18) называют формулой для вычисления суммы конечной геометрической прогрессии.
Под суммой бесконечной геометрической прогрессии естественно понимать предел, к которому стремится сумма (3.17) при безграничном возрастании n . Отметим, что сумма (3.17) сама представляет собой после-
довательность Sn . Таким образом, надо перейти к пределу в равенстве
(3.18):
66
S lim Sn |
lim |
a(1 |
q n ) |
|
a |
|
lim (1 q n ) |
|
a |
|
lim 1 lim q n |
|
a |
|
(1 0) |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
q |
1 |
q |
1 |
q |
1 |
q |
1 q |
(здесь учтено замечание начала этого пункта и применены теоремы данной главы).
Следовательно, сумма бесконечной геометрической прогрессии со зна-
менателем q , удовлетворяющим условию q 1, вычисляется по формуле
S |
|
a |
. |
|
|
||
1 |
q |
Теперь обратимся к описанию непрерывных процессов в экономике. Здесь рассмотрим так называемое непрерывное начисление процентов. В главе 2 выведены формулы для наращённых сумм, когда проценты
начисляются один раз за период, к которому относится процентная ставка r . В практике применяется и многократное начисление процентных денег.
Предположим, что номинальная ставка за один период (скажем, год) равна r , а начисление процентных денег производится m раз за период при первоначальной сумме S денежных единиц. При многократном начислении сложных процентов наращённая сумма через n периодов составит величину
|
|
r |
mn |
(3.19) |
|
Sm |
(n) 1 |
|
S |
||
m |
|||||
|
|
|
|
(сравните с соответствующей формулой сложных процентов из гл. 2). Если бы начисление процентов производилось не дискретно, а
непрерывно, то m должно бы неограниченно возрастать. Следовательно, в
равенстве (3.19) нужно перейти к пределу при m |
и фиксированном |
n : |
|
|
|
|
S(n) |
|
lim Sm (n). |
||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
r |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
Так как lim |
|
|
|
|
r |
er , то из (3.19) следует, что |
|||
1 |
lim |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
m |
|
m |
|
|
|||||
m |
|
m |
|
|
|
|
|
S(n) ernS .
Это и есть формула наращённой суммы через n периодов при непрерывном начислении процентов.
3.12. Определение и основные свойства подпоследовательностей
Пусть задана числовая последовательность
67
x1, x2 ,..., xn ,... |
(3.20) |
Из её членов образуем частичную последовательность следующим |
образом: в качестве первого члена новой последовательности выберем член исходной последовательности с номером n1, в качестве второго члена новой последовательности – член исходной с номером n2 n1, и т.д. В результате получим новую последовательность
xn |
, xn |
2 |
,..., xn |
k |
,... |
|
|
|
(3.21) |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
называемую подпоследовательностью |
|
по отношению к исходной после- |
|||||||||||
довательности (3.20). Таким образом, |
|
подпоследовательность хn |
|
со- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
стоит из членов (3.20) таких, что |
nk |
|
|
k и |
nk 1 |
nk для всех k |
|
. |
|||||
В частности, последовательность |
|
(3.21) может и совпадать с после- |
|||||||||||
довательностью (3.20); в этом случае |
|
xn |
k |
xk , k |
|
. Следовательно, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сама последовательность |
хn |
может рассматриваться как подпоследова- |
|||||||||||
тельность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Из последовательности |
xn |
1 n |
можно выбрать |
||||||||||
подпоследовательность с чётными номерами n : |
|
|
|
|
|
x2 1, x4 1, x2k |
1, |
, |
||
или только с нечётными номерами n : |
|
|
|||
x1 |
1, |
x3 |
1, x2k 1 |
1, . |
|
Из определения |
следует справедливость следующих свойств подпо- |
||||
следовательностей. |
|
|
|
|
|
Свойство 1. Если последовательность ограничена, то и любая её |
|||||
подпоследовательность также ограничена. |
|
|
|||
Свойство 2. Если |
последовательность |
xn сходится и имеет сво- |
им пределом число a , то и каждая подпоследовательность этой последовательности сходится и имеет своим пределом число a .
В самом деле, так как |
lim |
xn |
a , |
то для |
|
0 можно указать |
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
номер |
N |
N |
|
такой, что |
при |
k |
N |
выполняется неравенство |
|||
| xk |
a | |
. |
Пусть |
xn |
– некоторая подпоследовательность xn . Так |
||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
как nk |
k |
N |
то, |
начиная с номера nk , |
все элементы подпоследова- |
||||||
тельности |
также удовлетворяют неравенству |
| xnk |
a | |
, что означа- |
|||||||
ет, что |
lim xn |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 3. Если все подпоследовательности данной последователь- |
|||||||||||
ности |
xn |
сходятся, то пределы всех этих подпоследовательностей равны |
68
одному и тому же числу a ; к этому же пределу сходится и сама исходная последовательность xn .
Действительно, так как xn также является подпоследовательно-
стью, то она сходится и имеет пределом некоторое число a . Но тогда и любая другая подпоследовательность также сходится и имеет тот же предел a .
Замечание. В примере 1 рассмотрен случай, когда последовательность x ( 1)n не имеет предела, но две её подпоследовательности
x2k |
1 и x2k 1 |
1 имеют пределы. Возникает естественный во- |
прос: «из любой ли последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность?» Ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицатель-
ный. Например, из последовательности xn 2n нельзя выбрать схо-
дящуюся подпоследовательность. Заметим, что эта последовательность неограниченная. Если же последовательность будет ограниченной, то положительный ответ на вопрос даёт следующая теорема, которая играет важную роль во многих исследованиях.
Теорема 18 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к конечному пределу подпоследовательность.
Доказательство. Пусть последовательность |
xn |
ограничена. Тогда |
|||
существуют числа a и b , a |
b такие, что a |
xn |
b для всех n |
. |
|
Возьмём отрезок [a,b] |
и поделим его пополам точкой d . Тогда по |
||||
крайней мере один из отрезков [a, d ] |
или [d ,b] содержит бесконечное |
||||
число членов последовательности xn |
. Возьмём тот из них, который со- |
держит бесконечное число членов последовательности и обозначим его [a1,b1]. Поделим отрезок [a1,b1] пополам точкой d1. Тогда по крайней мере один из отрезков [a1, d1] или [d1, b1]содержит бесконечное число
членов последовательности |
xn . |
Далее, выберем тот из них, который содержит бесконечное число |
|
членов последовательности |
xn и обозначим его через [a2 , d2 ]. Про- |
должая этот процесс до бесконечности, получим последовательность вложенных отрезков
[a, b] |
[a0 , b0 ], [a1, b1], [a2 , b2 ], ,[ak , bk ], |
|
||||
Очевидно, |
что длина отрезка ak ; bk |
b |
a |
и lim |
b a |
0. |
2k |
|
2k |
||||
|
|
|
k |
|
Согласно теореме 17 о вложенных стягивающихся отрезках существует единственная точка c принадлежащая всем отрезкам, к тому же
|
69 |
lim ak |
c и lim bk c . Выберем теперь в каждом из отрезков |
k |
k |
[ak , bk ] по одному члену из последовательности xn , который обозначим xnk . Это всегда можно сделать, так как любой из отрезков [ak , bk ] со-
держит бесконечное число элементов последовательности xn . При этом
элементы |
xn |
, k |
, |
мы |
можем |
выбрать так, |
чтобы неравенства |
||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
nk nk 1 |
выполнялись для всех |
k |
. |
В результате полученная после- |
|||||
довательность |
xn |
обладает следующими свойствами |
|
||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
xn |
bk |
и |
lim |
ak |
lim bk |
c , |
|
|
|
k |
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
применяя теорему 14 о промежуточной последовательности заключаем, что
и lim xn |
c , что и требовалось доказать. |
|
k |
k |
|
|
|
3.13. Критерий Коши
Теорему Больцано-Вейерштрасса далее будем применять при доказательстве критерия Коши сходимости числовой последовательности. Этот критерий указывает внутренний свойства последовательности, обеспечивающие её сходимость или расходимость. Ценность критерия Коши заключается ещё и в том, что в отличие от введённого ранее определения сходимости числовой последовательности, не требуется знание численного значения её предела.
|
Определение 1. |
Последовательность |
xn |
называется |
фундамен- |
|||||||
тальной, если для каждого малого числа |
0существует такой номер |
|||||||||||
N |
N |
, |
что для всех номеров |
n N |
и |
любых m |
выполня- |
|||||
ется неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
х n m |
x n |
|
|
|
|
|
||
|
0 N N : n N и m N |
|
хn m |
xn |
. |
|||||||
|
Данное определение эквивалентно следующему. |
|
|
|||||||||
|
Определение 2. |
Последовательность |
xn |
называется |
фундамен- |
|||||||
тальной, |
если для |
0существует номер |
N N , |
что для |
||||||||
n |
N |
и |
m |
выполняется неравенство |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
хn |
xm |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теорема 4.2 (Коши). Для того чтобы последовательность |
xn |
имела |
конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундамен-
70
тальной.
Доказательство (необходимость). Пусть последовательность (3.20)
сходится и lim |
xn |
a . Тогда для любого |
0 |
найдётся номер |
, за- |
||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
висящий от |
|
такой, что |
|
xn |
a |
|
|
|
|
|
для любых номеров n |
N . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Тогда при всех m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1, 2,... выполняется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
хn m xn |
|
|
xn m |
|
a a xn |
|
|
xn m |
a |
|
xn |
a |
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(Достаточность). Зафиксируем |
малое |
|
0 . По определению 1 |
|||||||||||||||||||||||
найдётся номер |
N |
N |
|
|
такой, что при любых номерах n |
|
N |
не- |
|||||||||||||||||||
|
хn m |
xn |
|
|
|
|
|
m |
1, 2,.... |
|
|
||||||||||||||||
равенство |
|
|
|
|
верно |
для всех |
|
Положим |
1 |
|
|
1, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xl |
|
|
|
|
|
|
xl |
m |
|
|
xl |
|
|
для всех m |
|
1, 2,... |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
т.е. последовательность |
xn |
|
ограничена. |
В силу |
|
теоремы Больцано- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вейерштрасса существует подпоследовательность |
|
xn m , которая сходит- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ся к некоторому |
|
a |
|
xl |
|
|
, |
xl |
|
|
|
. Покажем, что и сама последова- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельность |
|
xn |
сходится к этому пределу a . С этой целью выберем k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
настолько |
|
большим, |
|
чтобы |
|
|
xnk |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
и |
|
nk |
|
|
. Тогда, при |
||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
xn |
|
a |
|
|
xn |
|
|
|
xn |
|
|
xn |
|
|
|
a |
|
|
|
xn |
|
|
xn |
|
|
|
|
xn |
a |
2 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пример. Используя критерий Коши, покажем, что числовая последо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вательность |
xn |
|
|
|
sin 1 |
sin 2 |
... |
|
|
sin n |
сходится. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
xn |
|
m |
xn |
|
|
|
|
sin(n |
|
1) |
|
|
sin(n |
2) |
|
... |
|
sin(n |
|
m) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2n |
2 |
|
|
|
2n |
m |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
... |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
n 1 |
2 |
n 2 |
|
|
2 |
n m |
|
2 |
n |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
m |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|