5694

мерной сферой радиуса r с центром в точке M 0 .

В R3 множество (4.14) есть обыкновенная сфера; в двумерном про-

странстве R 2 это будет окружность, уравнение которой имеет вид x x0 2 y y0 2 r 2 .

На координатной прямой (в одномерном пространстве R1) это будет множе-

тым параллелепипедом, а множество точек, удовлетворяющих строгому неравенству M , M 0 r , называется открытым шаром.

Открытый параллелепипед есть параллелепипед без его граней. На плоскости это будет прямоугольник без его сторон. На координатной прямой это будет отрезок без его концов, т.е. интервал (a, b) .

Открытый шар есть шар без сферы (4.14). На плоскости это будет круг без окружности, а на координатной прямой – интервал

типов, то её можно окружить и окрестностью другого типа, содержащейся в первой (являющуюся подмножеством первой). Предоставляем доказать это читателю (например, в двумерном случае).

образом, в одномерном пространстве понятия параллелепипеидальной и шаровой окрестности точки совпадают.

4.4. Ограниченные, открытые, замкнутые, связные и выпуклые множества в пространстве Rn

Определение 11. Множество M точек M пространства Rn называ-

ется ограниченным, если это множество содержится в некотором параллелепипеде (в некотором шаре).

Любой параллелепипед и любой шар в Rn являются ограниченными множествами.

Из определений 6 и 11 следует, что все координаты любой точки M

чено тогда и только тогда, когда множество значений каждой координаты ограничено как множество точек на координатной прямой.

Так как в определении 11 можно взять шар с центром в начале коор-

начала координат ограничены.

Определение 10 применимо, в частности, и к последовательностям

Определение 17. Точка M 0 называется предельной точкой или точ-

кой сгущения множества M Rn, если в любой окрестности этой точки имеется хотя бы одна точка множества M , отличная от самой точки

M 0 .

Отметим, что сама предельная точка M 0 может принадлежать, а может и не принадлежать множеству M .

Например, в одномерном пространстве точки a и b являются предельными точками интервала a, b , однако обе самому интервалу не принадлежат. С другой стороны, точки a и b являются предельными для отрезка a, b и обе ему принадлежат.

Множество, состоящее из конечного числа точек, не имеет ни одной предельной точки.

Любая внутренняя точка множества M из Rn является предельной точкой этого множества.

Любая точка из Rn является предельной точкой этого пространства. Все точки параллелепипеда (4.13) являются его предельными точка-

ми; все точки шара (4.15) также являются предельными точками этого множества.

ему принадлежат все его предельные точки.

При этом, по определению, множество, не имеющее ни одной предельной точки, также считается замкнутым.

является замкнутым множеством.

Параллелепипед (4.13) и, в частности, отрезок a, b одномерного

пространства есть замкнутые множества. Шар (4.15) является замкнутым множеством.

Теперь получено объяснение названиям замкнутые и открытые параллелепипеды, замкнутые открытые шары, применявшиеся а предыдущем

97

Граничных точек у пространства Rn нет (в частности, одномерное пространство R1 или множество ( , ) не имеет граничных точек). Следовательно, у пространства Rn нет границы. Из определения ограниченного множества непосредственно следует, что пространство Rn – множество неограниченное.

Обратимся к пространству R1. Граничными точками интервала a, b являются только точки a и b . Граница этого множества есть множество a, b , состоящее из двух точек. Граница самому множеству не принадлежит, а множество является открытым. Граничными точками отрезка a, b также являются только точки a и b . Граница состоит из этих

двух точек; граница принадлежит самому множеству, а множество является замкнутым.

Необходимо различать пределы последовательностей (M k ) и предельные точки последовательности как множества M k . Здесь возможны

разные ситуации, которые поясним ниже на примерах в случае одномерного пространства.

Рассмотрим последовательность 0, 1, 0, 1, ...; она не имеет предела (расходится). Эта последовательность как множество есть 0, 1 , т.е. состоит из двух точек 0 и 1. Множество 0, 1 не имеет предельной точки.

состоит из одной точки на координатной прямой. Это множество не имеет предельной точки.

(предоставляем убедиться в этом читателю, отметив на оси Ox, например, десять точек этой последовательности). В этом примере ситуация объясня-

тельности (M k ) , начиная с некоторого номера K ( ) , должны находиться

множества, хотя, быть может, и не все точки с номерами K K ( ).

Выше отмечено, что у множеств, состоящих из конечного числа точек, предельных точек быть не может. Но не всякое бесконечное множе-

ство имеет предельные точки. Например, множество N натуральных чисел предельных точек не имеет, так как все его точки изолированные. В связи с этим естественно установить критерий, выделяющий класс бесконечных множеств, имеющих предельные точки.

Теорема 2 («принцип Больцано-Вейерштрасса»). Всякое бесконечное ограниченное множество в пространстве Rn имеет хотя бы одну предельную точку.

Доказательство. Ограничимся случаем множества M одномерного пространства. Так как множество ограничено, то можно указать отрезок

где каждый последующий составляет половину предыдущего и содержит бесконечное подмножество точек множества M .

Так как

то рассмотренная система отрезков является стягивающейся. Следовательно, то теореме 17 главы 3 существует единственная точка M 0 (x0 ), общая для всех отрезков an , bn . Покажем, что эта точка является предельной

множества M , что и требовалось доказать.

При доказательстве этой теоремы в пространстве Rn надо исходить из того, что ограниченное множество содержится в некотором n -мерном исходном параллелепипеде П1. Далее надо строить систему вложенных параллеле-

пипедов Пn делением каждого ребра пополам; при этом в системе будут те параллелепипеды, которые содержат бесконечно много точек из M . Останется устанавливать, что система вложенных параллелепипедов имеет общую точку M 0 , которая и будет предельной для M .

При изучении функций часто применяется понятие «область». Под областями в соответствующем пространстве понимают множества без изолированных точек. Так, множества a, b c и a, b c одномерно-

го пространства, где точка c не принадлежит соответствующему промежутку, областями не называют. Для областей, как и для множеств, вводятся понятия : область ограниченная, открытая, замкнутая, связная, выпуклая. Ограничимся рассмотрением понятий открытая и замкнутая области. Остальные понятия для области читатель должен ввести самостоятельно по аналогии с соответствующими понятиями для произвольных множеств.

Множество, полностью состоящее из внутренних точек, называют

открытой областью.

Примерами открытых областей служат: интервал a, b на координатной прямой, открытый круг (M k , M0 ) r и открытый прямоуголь-

ник на плоскости.

Частным случаем замкнутого множества является замкнутая область. Замкнутой областью называется любое множество, все точки которого являются его предельными точками.

Примерами замкнутых областей являются: отрезок a, b на координатной прямой, а на плоскости – круг (M k , M 0 ) r вместе с точками

ограничивающей его окружности, прямоугольник с включёнными точками его сторон.

Полезно сравнить определения замкнутого множества и замкнутой области. Различие этих определений поясним примерами. Множество a, b c (точка c не принадлежит a, b ) является замкнутым, т.к. со-

100

держит все свои предельные точки, которыми являются точки отрезка a, b . Это множество не является замкнутой областью в одномерном про-

странстве, т.к. точка c , принадлежащая этому множеству, не является его предельной точкой, хотя и является граничной точкой множества.

Обратимся к областям, имеющим так называемые проколотые точки. Рассмотрим на координатной прямой проколотые в центре x0 интервал

является открытой, т.к. состоит только из внутренних точек. Вторая область не является ни открытой, ни замкнутой. Действительно, этой области

принадлежат точки x0 r и x0 r , которые не являются её внутренними точками; следовательно, это не открытая область. Эта область не является замкнутой, т.к. в это множество не входит его предельная точка x0 .

С примерами областей на плоскости читатель ознакомится в упражнениях.

Упражнения

1. В следующих случаях по заданным координатам точек M и P найти координаты вектора МР:

2. По данному вектору МР и известным координатам его начала (точки M ) найти координаты конца этого вектора – точки P :