5694
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) xn |
|
|
1 |
; |
|
5) xn |
|
n |
|
; |
|
6) xn |
1 |
|
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n! |
|
||||||||||||
|
|
2 |
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7) xn |
|
1 ( 1)n 1; |
8) xn |
|
1 |
|
|
; |
|
9) xn |
|
( 1)n 1 |
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10) x |
|
|
|
1 |
; |
11) x |
( |
|
1)n 1 |
; |
12) x |
( |
1)n 1n2. |
||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n2 |
|
n |
|
|
|
|
|
n2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Записать в каком-нибудь виде формулу общего члена следующих последовательностей:
1)1, 4, 6, 8, 10, ...;
2)12 , 23 , 34 , 54 , ... ;
3)1, 3, 9, 27, 81, ...;
4)12 , 14 , 18 , 161 , ... ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
1 2, |
|
2 3, |
3 4, |
4 5, ... ; |
|
|
||||||||||
6) |
3 |
|
, |
5 |
|
|
, |
|
|
7 |
, |
9 |
, ... |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
22 32 |
32 |
42 |
42 |
52 |
52 62 |
7)sin1, sin 2, sin 3,...
4.Выпишите последовательности, члены которых являются десятичными приближениями по недостатку к следующим числам:
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4) 7. |
||||||
1) |
; |
2) |
; |
3) 3; |
|||||||||
|
3 |
7 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найдите явную формулу общего члена последовательности, заданной
рекуррентной формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
1 |
|
xn |
rx1 |
n |
1 , |
||
при известном числе r и первом члене x1. |
|
|
|
|||||
6. Найдите формулу для |
xn , |
если последовательность xn задана |
||||||
рекуррентно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
xn |
|
|
1 |
, |
x1 |
1. |
1 |
|
|
|
|||||
|
n(n 1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
7. Требуется двумя способами изобразить геометрические последовательности xn , заданные их общими членами:
32
1) xn |
n; |
2) xn n2; |
|
3) xn |
1 |
; |
4) xn |
1 |
; |
|||
|
|
|
||||||||||
2n |
n |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) xn |
1 ( 1)n 1; |
6) xn |
1 ( 1)n |
; |
|
|
7) xn ( 1)n 1n. |
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Найти сумму, разность, произведение и частное последовательностей, заданных их общими членами:
1) xn |
1, yn |
|
1 |
; |
|
2) xn |
|
1 |
, yn |
n; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
||||
3) xn |
n, yn |
1 |
; |
4) xn |
|
|
1 |
, yn |
n; |
||||||
|
|
|
n2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
||||
5) xn |
|
( 1)n |
1 |
|
, yn n; |
6) xn |
1 ( 1)n 1, yn n. |
||||||||
|
n |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Укажите, при каких действиях (операциях) над последовательностями важен порядок их выполнения. Поясните это каким-нибудь примером из упражнения 8.
10. Существует ли частное |
xn |
, если xn n, yn 1 ( 1)n 1 ? |
|
||
|
yn |
11. С помощью логических символов запишите определение неограниченной снизу (сверху) последовательности.
12. Укажите промежуток, на котором находятся все члены ограниченной снизу (сверху) последовательности.
13. Приведите примеры следующих последовательностей:
1) ограниченной снизу, но неограниченной сверху;
2) ограниченной сверху, но неограниченной снизу;
3) неограниченной ни снизу, ни сверху.
14. Приведите примеры следующих последовательностей:
1)не принимающей ни наименьшего, ни наибольшего значений;
2)ограниченной последовательности, не принимающей ни наименьшего, ни наибольшего значений.
15.Выяснить, какие из последовательностей упражнений 1 и 2 являются
1)ограниченными снизу;
2)ограниченными сверху;
3)ограниченными;
4)неограниченными.
33
16. Доказать, что последовательности с общими членами
1) |
xn |
n |
; |
2) |
xn |
n2 |
|
; |
3) |
xn |
n4 |
|
|
|
n4 10 |
||||||||
|
|
n 5 |
|
|
|
n |
1 |
|
|
ограничены.
17.Приведите примеры следующих последовательностей:
1)ограниченной снизу, точная нижняя граница не является членом этой последовательности;
2)ограниченной сверху, точная верхняя граница не является её членом.
18.Пусть имеется последовательность с положительными членами
(xn |
0) . Выясните, что следует из соответствующего неравенства: |
|||||||||||||||||||||||||
1) |
xn 1 |
|
1; |
2) |
xn 1 |
|
|
1; |
|
|
3) |
xn 1 |
1; |
4) |
xn 1 |
1. |
|
|
|
|
||||||
xn |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
xn |
xn |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
19. Докажите, что последовательности с общими членами |
|
|
||||||||||||||||||||||
1) xn |
|
n; |
2) xn |
|
|
n |
; |
|
3) xn |
n3 n; |
4) xn |
|
|
n2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n2 10 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
строго возрастают. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
20. Докажите, что последовательности с общими членами |
|
|
||||||||||||||||||||||
1) xn |
|
1 |
; |
2) xn |
|
n 1 |
; |
|
3) |
xn |
|
n2 |
10 |
; |
4) xn lg 1 |
|
n4 |
8 |
|
|||||||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
n2 |
1 |
|
n4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строго убывают.
21. Заёмщик хочет купить у банка кредит в размере 80 млн руб. на 5 лет. Найти долг заёмщика и процентные деньги банка, если кредит будет выдан под 12% годовых:
1) по простой процентной ставке;
2) по ставке сложных процентов.
22. В настоящий момент времени население города составляет 600 тыс. человек. Определить численность населения этого города через 5 лет
при прогнозируемом постоянном темпе роста 102% |
1,02 . |
34
Глава 3. Теория пределов последовательностей
3.1. Определение предела последовательности
Существуют последовательности, члены которых с увеличением аргумента (номера n ) приближаются к некоторому конкретному для данной
последовательности числу a . Иначе, расстояние |
(xn , a) от точек xn до |
|||||
фиксированной |
точки |
a |
на числовой оси |
Ox стремится к нулю |
||
|
|
|
|
|
||
(xn , a) |
xn |
a |
|
0 . |
Любую такую последовательность называют |
сходящейся, а число a – её пределом.
Перейдём к строгим определениям этих понятий.
Определение 1. Число a называется пределом последовательности
(xn ) , если для любого положительного числа |
существует такой номер |
||||
( ) , что при всех n |
выполняется неравенство |
||||
|
xn |
a |
|
. |
(3.1) |
|
|
С помощью логических символов определение записывается так:
0 |
( ) |
N |
|
n |
: |
xn a |
|
. |
|
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся (точ- |
|||||||||
нее, сходящейся к a ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если последовательность |
xn |
сходится и имеет своим пределом |
|||||||
число a , то символически это записывается так: |
|
|
|
||||||
|
lim |
xn |
a или xn |
n |
a. |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Иногда в этих записях указание, что n |
, опускают. |
|
|||||||
Последовательность, |
не |
являющаяся |
сходящейся, |
называется |
|||||
расходящейся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запись |
( ) в определении предела последовательности озна- |
||||||||
чает, что номер |
зависит от выбранного числа |
(конечно, |
и от самой |
||||||
последовательности). На примерах убедимся, что чем меньше |
, тем но- |
мер , вообще говоря, будет больше. Исключением является случай, ко-
гда последовательность стационарна (постоянна): a, a,..., a,....
|
Пределом этой последовательности является число a , а неравенство |
||
(3.1) |
выполняется для любого n , какое бы число |
0 ни взяли (для лю- |
|
бого |
0) номер |
можно взять равным единице). Аналогичное обстоя- |
|
тельство имеет место для последовательности (xn ) , |
значения которой с |
||
некоторого номера |
равны одному и тому же числу a . В этом случае |
пределом будет это число a , а все члены xn , номера которых начинаются
35
с , совпадают со своим пределом a . Таким образом, есть такое число 1, что для всех 0 1 номер уже меняться не будет. Последо-
вательности последнего типа называют финально постоянными.
Особо отметим, что в определении 1 число 0 можно взять сколь угодно малым. В этой ситуации неравенство (3.1) означает, что элемент
xn от a по абсолютной величине будет отличаться сколь угодно мало.
Можно также сказать, что число в определении предела задаёт точность приближения членов последовательности к числу a .
Вычислим геометрический смысл понятия предела последовательности. При этом будем исходить из двух способов геометрического изображения последовательностей (см. гл. 2).
Сначала будем исходить из изображения членов последовательности
точками на Ox. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенство (3.1) равносильно неравенствам |
xn |
a |
или |
||||
a |
xn a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, определение означает, |
что члены последовательно- |
||||||
сти (xn ) , имеющей пределом a , с номерами n |
попадают в интервал |
|||||||
(см. рис. 9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
, a |
, |
|
|
|
(3.2) |
который называется –окрестностью точки a : |
|
|
|
|||||
|
|
xN 1, xN 2 ,... |
a |
, a |
. |
|
|
|
|
a |
|
a |
xN 2 |
xN 1 |
a |
x |
|
|
|
|
|
Рис. 9
Вне интервала (3.2) может оказаться лишь некоторое число из точек x1 ,..., xN . Но могут и эти точки попасть на интервал (3.2). Это зависит от
выбора числа . Конечно, если взять большим числом, то уже все члены последовательности будут принадлежать такому интервалу.
Если на плоскости в выбранной системе координат Oxy провести
окружность с центром в точке a,0 радиуса |
, то она пересечёт ось Ox в |
|||
точках a |
и a |
. Поэтому число можно трактовать как радиус этой |
||
окружности. |
|
|
|
|
Теперь |
обратимся |
к изображению последовательности точками |
||
M n (n, xn ) |
на плоскости в выбранной системе координат Oxy. Тогда |
|||
определение 1 будет означать, что все точки |
|
|||
|
M n 1(N |
1, xN 1), M n 2 (N |
2, xN 2 ),... |
36
будут принадлежать горизонтальной полосе, серединой которой является
горизонтальная прямая y a , а граничными прямыми будут y a |
и |
|
y a |
(см. рис. 10). |
|
y
a
a
xN 1 |
M n 1 |
a |
|
x N |
|
x2 |
|
x1 |
|
|
1 |
2 |
N+1 |
x |
|
|
Рис. 10 |
|
|
Изображённая на этом рисунке полоса ширины 2 |
будет с умень- |
|||
шением |
сужаться. Тогда |
ясно |
следующее: чтобы все точки |
|
M n 1, M n |
2 ,... попали в эту более узкую полосу, нужно увеличить но- |
мер . Доказать по определению 1 наличие предела означает, что нужно
указать номер |
( ) такой, |
что при всех |
|
n |
N будет выполняться |
||||||||||||||
(3.1). Раз говориться о номере, то |
|
|
N (см. определение предела в логи- |
||||||||||||||||
ческих символах). Любое натуральное число, большее чем |
, также будет |
||||||||||||||||||
годиться в качестве нужного номера определения 1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Докажем по |
определению |
1, |
|
что |
lim |
n |
1 |
1. |
Возьмём |
любое |
|||||||||
|
|
n |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0. Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn 1 |
|
n 1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||||||||||||
то для отыскания значений n , удовлетворяющих неравенству |
xn |
1 |
, |
достаточно решить неравенство 1n . Последнее неравенство выполняет-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ся при n |
1 |
. Следовательно, за номер |
можно взять любое натуральное |
|||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
число, не меньшее числа |
1 |
. Например, |
|
|
|
( |
) |
1 |
|
1, |
где |
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
есть |
|
целая |
часть |
числа |
1 |
. |
В |
частности, |
если |
0,01, |
то |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
N |
1 |
|
|
|
1 |
101, |
если |
|
|
|
1, то |
N |
1 |
1 2, |
если |
|
10 , |
то |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||
0,01 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
N |
1 |
|
|
1 |
1, |
и т.д. Геометрически это означает следующее: в окрест- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ность точки a |
1 при радиусе |
|
|
|
0,01 попадут члены данной последова- |
|||||||||||||||||||||||
тельности с номерами n 101, а при радиусе |
|
10– с номерами n |
1 |
|||||||||||||||||||||||||
(очевидно, конечно, что и x1 |
2 принадлежит последней окрестности). В |
|||||||||||||||||||||||||||
качестве номера |
в этом примере можно выбрать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
при |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
при |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выбранные таким образом номера |
для различных значений |
будут |
||||||||||||||||||||||||||
наименьшими из возможных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Приведём примеры расходящихся последовательностей. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим последовательность с общим членом x |
|
1 n 1 |
: 1, |
1, 1, 1,.... |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, что она не имеет предела. Будем рассуждать от противного. Предположим, что эта последовательность имеет пределом некоторое число a .
Тогда по определению 1 для любой |
0, в частности и для |
|
1 |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
найдётся такой номер |
, что для n |
|
будет выполняться неравенство |
||||||||||||||||||||||||||||
|
xn a |
|
|
|
|
1 |
. Поскольку |
xn принимает поочерёдно значения 1 и |
|
1, то |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
для n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. Ис- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
будут выполняться неравенства |
1 a |
|
|
и |
( 1) |
a |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
пользуя эти неравенства, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
1 a a ( 1) |
|
|
1 a |
|
a ( 1) |
|
|
1 a |
|
|
( 1) a |
|
1 |
|
|
1 |
|
1, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
т.е. 2 |
|
|
|
1, чего быть не может. Полученное противоречие означает, что |
предела нет.
Доказательство расходимости этой последовательности можно провести геометрическим способом. Если бы некоторое число a было преде-
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
лом, то при |
1 |
интервал (3.2) имел бы вид |
a |
1 |
, |
a |
1 |
и в него долж- |
||
2 |
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
ны были бы попадать все точки 1 и |
1 после n |
|
|
. Так как длина этого |
интервала равна единице, то в него не могут попасть одновременно точки 1 и 1, поскольку расстояние между ними равно двум. Следовательно, бесконечное число членов этой последовательности будет находиться вне
интервала |
a |
1 |
, a |
1 |
; поэтому число a не может быть пределом этой |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
xn .
Рассмотрим теперь последовательность с общим членом xn n :1, 2, 3, ..., n, .... Покажем, что она расходится. Предположим противное: некоторое конечное число a является её пределом. Тогда при
любом |
|
0 члены xN 1, xN 2 ,... этой последовательности должны |
||||||||||||
находиться в интервале a |
, a |
|
. Но этого быть не может. Действи- |
|||||||||||
тельно, при любом действительном числе a |
найдётся натуральное число |
|||||||||||||
n1 |
a |
, |
а так как xn |
n, то члены |
|
xn1 |
n1, xn1 1 n1 1,... будут |
|||||||
больше числа a |
, т.е. бесконечное число членов этой последовательно- |
|||||||||||||
сти будет находиться вне интервала |
|
a |
|
, a |
. Таким образом, число |
|||||||||
a не может быть пределом данной |
xn . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Последовательность xn |
n обладает тем свойством, что при любом |
||||||||||||
C |
0 все члены, начиная с некоторого номера, будут больше C . |
Такие |
||||||||||||
последовательности отдельно изучим в следующем пункте. |
|
|
||||||||||||
|
Поясним в общем виде тот факт, что a не является пределом данной |
|||||||||||||
последовательности. Тогда существует такое число (хоть одно) |
0 |
0 , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что какое бы натуральное число |
|
|
|
ни взяли, найдётся такой номер (хотя |
||||||||||
бы один) n0 |
N , для которого |
|
xn |
|
a |
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3.2. Бесконечно большие последовательности
Среди расходящихся последовательностей выделяют «стремящиеся к бесконечности».
Определение 2. Последовательность xn называется бесконечно
большой, если для любого |
0 существует такой номер |
, что |
при всех n N выполняется неравенство
|
|
39 |
|
|
|
|
|
хn |
|
Е. |
|
|
(3.3) |
|
|
|
|
|||
С помощью логических символов определение 2 записывается так: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
N |
n N : |
xn |
. |
Общий член xn любой последовательности представляет в общем случае переменную величину (исключение составляет ситуация xn a ).
Поэтому большую последовательность называют ещё бесконечно большой величиной.
О бесконечно большой переменной говорят, что она имеет бесконеч-
ный предел (стремится к бесконечности). Кратко это записывают так:
lim xn |
или xn |
(в этих записях указание n |
опущено). Обозначение lim xn |
условно, т.к. не представляет никакого числа, а знак равенства можно ставить только между числами.
В связи с введением понятия «бесконечный предел» условимся предел
в ранее определённом смысле lim xn |
a называть конечным пределом. |
||
Запись |
означает, что |
номер |
зависит от выбранного |
числа (конечно, и от самой последовательности). Важно также подчерк-
нуть, что число |
в определении 2 можно взять сколь угодно большим. |
|
|||||||||||||||||||||
Символ |
будем называть беззначной бесконечностью. Тогда при |
||||||||||||||||||||||
любом |
0 множество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, E E, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x R : |
x |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
называется – окрестностью беззначной бесконечности (см. рис. 11). |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
О |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
– Рис. 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теперь можно дать геометрическую трактовку бесконечного предела |
|||||||||||||||||||||||
lim xn |
. Определение 2 означает: при |
0 |
|
|
|
N такой, |
|||||||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xN 1, xN 2 ,... |
|
, E E, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пусть |
x |
|
1 n |
1n :1, 2, 3, |
|
4, .... Докажем, |
что |
lim x |
n |
. |
|||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенство (3.3) для данной последовательности имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
xn |
|
|
1 n 1n |
|
|
1 n 1 |
|
n |
|
n E . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, оно выполняется для всех n E |
n |
E |
|
xn |
|
n |
E . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
Тогда при любом |
E |
0 за номер |
|
можно взять |
|
E 1 |
||||||
(при целых |
E 0 можно даже взять |
E ). Возьмём несколько кон- |
||||||||||
кретных чисел E : 1) |
E |
0,1, |
1; 2) E |
100 , |
101 (можно взять |
|||||||
100); 3) E |
1000,2 , |
1001.Заметим, что с увеличением E воз- |
||||||||||
растает и номер . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рассмотрим теперь бесконечные пределы со знаком какого-либо ви- |
|||||||||||
да, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim xn |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim xn |
или xn |
. |
|
|
|
|
||
|
Дадим их определения с помощью логических символов. |
|
|
|||||||||
|
Определение 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim xn |
|
|
|
0 |
|
N |
n |
N : xn |
E . |
(3.4) |
||
|
Определение 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim xn |
|
|
|
0 |
|
N |
n |
N : xn |
E . |
|
(3.5) |
|
|
Символ |
будем называть отрицательной бесконечностью. Тогда |
||||||||||
при любом |
0 множество |
, |
называется |
-окрестностью отри- |
||||||||
цательной бесконечности. Символ |
будем называть положительной |
|||||||||||
бесконечностью, |
а |
промежуток |
E, |
при |
любом |
0– |
- |
|||||
окрестностью положительной бесконечности. При выбранном |
|
0 |
||||||||||
объединение этих окрестностей даёт |
-окрестность беззначной бесконеч- |
|||||||||||
ности (см. рис. 11). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Геометрическая интерпретация бесконечных пределов со знаком та- |
|||||||||||
кова: при |
0 |
|
|
|
такой, что |
|
|
|
|
|
||
1) xN 1, xN 2 ,... |
|
, |
E в случае lim xn |
, |
|
|
|
|||||
2) xN 1, xN 2 ,... |
|
E, |
в случае lim xn |
. |
|
|
|
|||||
|
Примером последовательности, стремящейся к |
, будет xn |
|
n , |
||||||||
а к |
– xn |
n. Очевидно, что при любом |
0 соответствующие нера- |
|||||||||
венства xn |
E , xn |
E будут выполняться, если положить |
|
E |
1. |
|||||||
|
Сопоставляя определения 2 и 3 с определением 1, видим, что если |
|||||||||||
lim xn |
или lim xn |
, |
то lim xn |
. Обратное утверждение не |
||||||||
верно. Это видно из рассмотренного примера xn |
1 n 1 n . Уже пока- |
|||||||||||
зано, |
что lim xn |
|
. Эта последовательность такова: 1, |
2, 3, |
4, ...; |
|||||||
она не стремится ни к |
|
, ни к |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Последовательности, стремящиеся к бесконечности какого-либо ви- |
да (бесконечно большие переменные величины), не ограничены. Это вытекает из определения 7 главы 2 и определений 2, 3, 4 данного пункта. Следовательно, неограниченными являются последовательности, рассмотрен-