Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5694

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

3.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1111

101

2)	МР = (2,	1, 3), P(0, 1,		1);
3)	МР = (2, 3,		1, 5), P(1, 2,	1,	3);
4)	МР = ( 2,	2,	1, 1), P(0, 2, 1,		3).
4. Найти расстояние между точками M и P :
1)	M (2, 4),	P(4, 8);			2) M (1, 6),	P(2, 3);
3)	M (1, 1, 1,),		P(2, 3, 6);		4) M (0, 1,	2), P(1, 0, 1);
5)	M (0, 1, 2,		1), P(2, 3,	0, 1).

5. Найти, при

каком

значении

расстояние

между

точками

M (0, 1, 2,

1) и P(2, 3,

0, 1) равно 4.

6. Выписать несколько первых членов следующих последовательно-

стей:

1) M k

, K ;

2) M k K 2 , 2k ;

3) M k

K 1

;

4) M k

;

5) M k

( 1)k ,

K 2

;

6) M k K, K 2, K 3 .

7. Изобразить на плоскости несколько первых членов последователь-

ностей:

1) M

, K ;

2) M k K 2 , 2k ;

3) M k

, 2k

;

4) M k

( 1)k ,

8. lim

M k

M 0 (0, 1). Найти номер K

K (

) , начи-

ная с которого выполняется неравенство

(M k ,

M 0 ) .

9. Найти пределы следующих последовательностей:

1) M

K 1

;

2) M

;

и M 2 ( y1, ..., yn )

102

3) M k

;

4) M k

K 1

2K 1

;

5) M k

K 1

;

6) M k

;

5K 1

10. Доказать расходимость следующих последовательностей:

1) M

, K ;

2) M k K , K 2 ;

3) M

( 1)k ,

4) M

;

K ;

5) M

,( 1)k 1;

;

6) M

, 2k .

11. Привести примеры ограниченных расходящихся последовательностей точек.

12.	Доказать, что сходящаяся последовательность (M k ) точек
M k Rn	всегда ограничена.

13. Доказать, что любая неограниченная последовательность расходится.

14. Записать параметрические уравнения прямых, проходящих через точку M 0 параллельно заданному вектору q, в следующих случаях:

1)	M 0 (2, 5), q		(1, 1);
2)	M 0 (1,	2, 1), q	(2, 1, 4);
3)	M 0 (1,	0, 1, 2), q (0, 1, 2, 1).

15. Пусть M1(x1, ..., xn ) – две любые различ-

ные точки из Rn. Используя (4.9), записать уравнение прямой, проходящей через эти точки.

16. Записать параметрические уравнения прямой, проходящей через

точки M1(1, 1, 2, 1) и M2 (3, 1,				2,	1) . Выяснить, принадлежат ли
точки (2, 0, 0, 0)	, (1, 1, 1, 1,) ,	3		1	1	этой прямой.

		2	,	2 , 1,	2

103

17. Записать в координатной форме точки отрезка, соединяющего за-

данные точки M1 и M 2 :
1)	М1(1,	2), M2 (3, 5);	2) М1(0,	0), M2 (2, 2);
3)	М1(1, 1, 1), M2 (2, 2, 2);		4) М1( 1,	2, 1),	M2 (2,	4, 5);
5)	М1(	1, 2, 1, 3), M2 (1, 4, 5, 5).
18. На основании определения 5 (см.(4.13)) построить в соответ-
ствующем пространстве параллелепипеды:
1)	П	2, 5 ;	2) П	1, 1 ;	2, 2	;
3)	П	1, 1 ;	4) П	0, 1 ;	0, 1 ;
5)	П	2, 4 ; 3, 5 ; 2, 6 .

19. Найти все вершины параллелепипедов:

1)П 2, 5 ; 3, 5 ;

2)П 0, 1 ; 0, 1 ;

3)П 2, 3 ; 4, 6 ; 2, 5.

20. Выяснить, принадлежат ли прямоугольнику П

2, 5 ; 0, 8

точки (6, 2), (4, 5), ( 1, 7), (0, 10).

21. Выяснить, какие из точек (0, 5, 3), (3, 5, 5), (2, 6, 4), 2, 4, 2 принадлежат параллелепипеду П 2, 3 ; 4, 8 ; 2, 6 .

22. Доказать, что множество M			R2 : x2	x2	4 содержится в
			1	2
прямоугольнике П	2, 2 ;	2, 2 .

23.Доказать, что прямоугольник П 3, 3 ; 3, 3 содержится

вкруге (O, M ) 32.

24. Пусть П есть n -мерный параллелепипед (4.13) и d max(bi ai ) – длина наибольшего из его рёбер. Доказать, что если

точки M1, M 2	П , то
	(M1, M 2 ) d n.
25. Пусть X	Y и Y – ограниченное множество в R2. Доказать, что

104

и X – ограниченное множество в R2.

26. Доказать, что пересечение конечного или бесконечного числа ограниченных множеств есть ограниченное множество (указание: воспользоваться определением пересечения множеств и предыдущей задачей 25).

27. Доказать, что объединение двух ограниченных множеств на плоскости является ограниченным множеством.

28. Доказать, что множество	M	R2: x1	x2	4,	x1 0, x2 0
есть ограниченное множество на плоскости.
29. Доказать, что множество M	R2	: x1	x2	4	на плоскости
неограничено.

30. Доказать, что множество n -мерного пространства, состоящее из конечного числа точек, ограничено.

31. Установить, какие из перечисленных множеств являются связными в соответствующем пространстве:

1)	, a ,	, a ,				a,		, a,	,	,	, 0, 1	2 ,
	0, 1	2 , a, b					c , 2, 5		6, 8 ;
2) M	R2: x2	x2	1		,		M R2: x2		x2	4 ,
	1	2						1	2
	M R2: 1 x2				x2		4 ,	1, 2 ; 1, 2		3, 4 ; 1, 2 ,
		1			2
	M R2 : x1		x2			1, x1		0, x2	0 ,
	M R2: x1 0 , M R2: x1 0, x2									0 , M R2: 0 x2		1 ,
	M k R2: M k		1			, K , K N .
	M k R2: M k			K		, K , K N .
				K

32. В следующих случаях построить множества и выяснить, какие из них являются выпуклыми:

1)	M	R2: x		2	x	2	1 ;						2) M R2: x		2		x2	1 ;
			1			2								1		2
3)	M	R2: x		2	x2			;					4) M	R2: x 1 ;
				2	1											1
	M	2	: x	2	x	2		4, x2	1	x	2		6) M	2	:		x1	1 ;
		2		2		2			1		2			2
5)		R										;		R
5)		R										;		R
			1			2			2	1
7) M		R2: 1 x2				x2		4 ;
				1			2
8)	M R2 : x1				x2			4, x1	0, x2				0 .

105

33. Указать изолированные точки следующих множеств:

1)	1, 5, 10	R1;					2)	1, 2	3		R1;
3)	x R: x n, n N ;						4)	1, 10	R1;
5)	x R: x ( 1)n			1	, n	N ;	6)	x R: x		1	, n N ;
5)	x R: x ( 1)n			n	, n	N ;	6)	x R: x		n	, n N ;
				n						n
7)	M R2: x2	x2	1			M (2, 2)	R2;
	1	2
8)	M R2: 1 x2		x2		4	M 0, 0		R2.
		1	2

34. Приведите примеры множеств, не имеющих изолированных точек.

35. Записать -окрестности заданных точек M 0 в соответствующем пространстве при данном 0:

1) 1, M 0 (0) R1;	2)		1	, M 0 (1) R1;
		10

3)	5,	M 0 (1, 2)	R2;	4)		1	, M 0 (1, 1)	R2;
					10
			1, 4) R3;					R3.
5)	10,	M 0 (2,		6)	1,		M 0 (1, 1, 1)

В одномерном и двумерном случаях построить эти окружности.

36. При заданном 0 и данной точке M 0 указать несколько точек, принадлежащих окрестности (M , M 0 ) , и несколько точек, ей не

принадлежащих:
1)	5, M 0 (2)	R1;		2)	1,	M 0 (0) R1;
3)	10, M 0 (2, 2)		R2;	4)	4,	M 0 (0, 0) R2;
5)	2, M 0 (1,	1, 1)	R3.

37. Указать внутренние, предельные и граничные точки следующих множеств:

1)	5, 10	R1;				2)	5, 10			R1;
3)	2, 4	5	R1;			4)	2, 4			5	R1;
5)	1, 5, 10		R1;			6)		1	, n	N	R1;
5)	1, 5, 10		R1;			6)			, n	N	R1;
								n
7)	,	;				8)	0,			;
9)	M R2: x2		x2	4	;	10)		M		R2: x2	x2	4 ;
		1	2							1	2

	106
11) M R2: x2 0 ;	12) M R2: x1 0, x2 0 .

Записать указанные виды точек как множества.

38. Выписать границы множеств из упражнения 37.

39. Выяснить, какие множества из упражнения 37 являются открытыми и какие – замкнутыми. Имеются ли среди этих множеств множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми?

40. Доказать, что множество		1		, n	N	R1 не является ни от-
			n

крытым, ни замкнутым.
41. Пусть в Rn	(P, M 0 )	r , где M 0 – фиксированная точка. Вы-
яснить, какими являются точки		P		для	множеств		(M , M 0 )	r и
(M , M 0 ) r .
42. Привести пример бесконечного множества, не имеющего ни одной
предельной точки.
43. Пусть M 0 – предельная точка множества						M . Доказать, что она
является либо внутренней, либо граничной точкой этого множества.
44. Привести пример граничной точки множества, которая не является
предельной точкой этого множества.
45. Пусть M 0	M , но не является предельной точкой этого мно-
жества. Доказать, что M 0 есть изолированная точка для							M .
46. Доказать, что каждая окрестность предельной точки M 0 множе-
ства M содержит бесконечное множество точек из						M .
47. Выяснить,	является ли последовательность xk						K ( 1)k 1	сходя-
щейся. Найти предельную точку множества					xk K ( 1)k		1 , K N .

48. Приведите примеры, показывающие, что оба условия принципа Больцано-Вейерштрасса (и бесконечность множества и его ограниченность) существенны.

107

49. Выяснить, какие из перечисленных областей являются ограниченными, открытыми, замкнутыми, связными, выпуклыми:

1) 5, 10		15, 20 ;			2) 5, 10		15, 20 ;
3)	5, 0	0, 5 ;			4)	5, 0	0, 5 ;
5) 0	(M , M 0 ) r;				6) 0	(M , M 0 ) r;
7)	(M , M1) r1			(M , M2 ) r2 , M1			M2.
50. Сформулируйте определение нефундаментальной последова-
тельности	M k	пользуясь правилом построения отрицаний. Дайте геомет-
рическую интерпретацию этого определения.
51.	Докажите, что			фундаментальность			последовательности
M k x1(k ) ,	x2(k ) ,..., xn(k )		эквивалентна фундаментальности n числовых
последовательностей x(k )			,	x(k ) , ...,	x(k ) .
		1		2	n

108

Ломакина Елена Николаевна

Тиунчик Михаил Филиппович

Математический анализ.

Числовые последовательности и их приложения

Учебное пособие

Редактор Г.С. Одинцова

Подписано в печать	Формат 60 х 84 / 16.		Бумага писчая.
Печать офсетная.	Усл.п.л. 6,3.	Уч.-изд.л. 4,5.	Тираж 175 экз.
Заказ №

680042, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, ХГАЭП, РИЦ

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1111

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20223.49 Mб15689.pdf
#
13.11.20223.49 Mб25690.pdf
#
13.11.20223.5 Mб45691.pdf
#
13.11.20223.64 Mб75692.pdf
#
13.11.20223.64 Mб75693.pdf
#
13.11.20223.64 Mб35694.pdf
#
13.11.20223.98 Mб25695.pdf
#
13.11.20223.98 Mб25696.pdf
#
13.11.20224.25 Mб25697.pdf
#
13.11.20224.25 Mб25698.pdf
#
13.11.20224.27 Mб95699.pdf