Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Хабаровская государственная академия экономики и права" Кафедра математики и математических методов в экономике

Теория вероятностей и математическая статистика Практикум

для студентов очной и заочной форм обучения по направлению 230700 "Прикладная информатика"

2014

1

ХГАЭП, 2014. – 78 с.

Рецензент Е.В. Карачанская, кандидат физ.- мат. наук доцент каф. прикладной математики ТОГУ.

Утверждено УМУ академии в качестве методического пособия для студентов очной и заочной форм обучения.

Елена Николаевна Кравченко

Инна Витальевна Ясеновская

Теория вероятностей и математическая статистика.

Практикум для студентов очной и заочной форм обучения по направлению 230700 «Прикладная информатика»

680042, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, ХГАЭП

©Е. Н. Кравченко, И. В. Ясеновская 2014

©Хабаровская государственная академия экономики и права, 2014

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий практикум по теории вероятностей и математической статистики представляет собой учебное пособие для студентов 2 курса очной и заочной форм обучения по направлению 230700 "Прикладная информатика" .

Цель пособия состоит в освещении возможностей практического применения методов теории вероятностей и математической статистики и в освоении методики решения типовых задач.

Практикум охватывает все основные разделы теории вероятностей и математической статистики. Он содержит программу курса, список рекомендуемой литературы. По каждой теме приведены краткие сведения из теоретической части и подробно рассматриваются решения типовых задач. В пособии даны методические рекомендации по применению различных моделей теории вероятностей и математической статистики при решении практических задач. В практикум включены примерные варианты аудиторных контрольных работ по темам: "случайные события", "случайные величины", "математическая статистика", а так же приведены варианты тестовых заданий по всему курсу теории вероятностей и математической статистики для самостоятельного выполнения.

Каждому студенту, изучающему теорию вероятностей и математическую статистику, пособие позволит приобрести навыки самостоятельного использования теоретических знаний на практике.

3

Программа дисциплины Раздел 1. Теория вероятностей

Комбинаторика. Предмет теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности. Ограниченность классического определения. Относительная частота. Устойчивость относительных частот. Статистическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.

Повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступления событий. Локальная теорема Лапласа. Функция (х) и ее свойства. Формула Пуассона. Интегральная теорема Лапласа. Функция Ф(х) и ее свойства. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Случайные величины, их виды. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Определение функции распределения. Свойства функции распределения, ее график. Определение непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятностей. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Свойства функции плотности. Нахождение функции распределения по известной функции плотности.

Математическое ожидание дискретной случайной величины. Вероятностный смысл математического ожидания. Свойства математического ожидания. Дисперсия дискретной случайной величины. Формула для вычисления дисперсии. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Биномиальное распределение, его числовые характеристики. Распределение Пуассона, его числовые характеристики. Закон равномерного распределения вероятностей, его числовые характеристики. Нормальное распределение. Нормальная кривая. Влияние параметров нормального распределения на формулу нормальной кривой. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Правило «трех сигм».

Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.

4

Раздел 2. Математическая статистика.

Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборки. Способы отбора. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних. Выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ. Понятие о распределении Стьюдента. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ. Оценка истинного значения измеряемой величины.

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимость. Две основные задачи теории корреляции. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии. Свойства выборочного коэффициента корреляции. Групповая и общая средняя. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая дисперсии. Криволинейная корреляция.

Статистические гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода, уровень значимости. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область и область принятия гипотезы. Критические точки. Левосторонняя и правосторонняя критическая область. Отыскание критических областей. Мощность критерия. Критерий согласия. Примеры критериев согласия. Проверка гипотез о распределении Пуассона и о нормальном распределении совокупности с помощью критерия согласия Пирсона. Методики вычисления теоретических частот распределения Пуассона и нормального распределения.

5

Раздел 1 . Теория вероятностей

Тема 1. Элементы комбинаторики

Различные группы, составленные из каких-либо предметов называются

соединениями (комбинациями).

Размещениями из n элементов по m называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n элементов, и каждое из

Сколькими способами это можно сделать, если в день можно сдавать только один экзамен ?

Решение. Искомое число способов равно числу 4 элементных подмножеств множества из 8 элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо

Перестановками из n элементов называются такие соединения, каждое из

Пример 2. Сколькими способами можно разместить на полке четыре книги? Решение. Искомое число способов равно числу способов упорядочения

множества, состоящего из четырёх элементов, т.е. P4 12 3 4 24 .

Сочетаниями из n элементов по m называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются одно от другого только элементами.

Число сочетаний из n элементов по m и вычисляется по формуле

Пример 3. Сколькими способами читатель может выбрать три книги из пяти ? Решение. Искомое число способов равно числу трёхэлементных

подмножеств множества из пяти элементов, каждое из которых отличается от

6

Если в размещениях (сочетаниях) из n элементов по m, некоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие размещения

(сочетания) называют размещениями (сочетаниями) с повторениями из n элементов по m.

Формула для вычисления размещений из n элементов по m с повторениями

цветов в букете не важен, то искомое число букетов равно числу сочетаний с повторениями из шести элементов по девять в каждом.

Если в перестановках из общего числа n элементов есть k различных

называются перестановками с повторениями из n элементов.

Формула для вычисления числа перестановок с повторениями из n элементов:

Пример 6. Сколько семизначных чисел можно записать с помощью цифр 2, 3, 5 при условии, что цифра 2 повторяется в каждом из чисел три раза, а цифры три и пять по два раза ?

Решение. Искомое число записей является числом различных перестановок с повторениями из цифр 2, 3 и 5, в которых цифра 2 повторяется 3 раза, а цифры 3 и

7

Правило суммы. Если объект А может быть выбран m способами, а объект В

– другими n способам, причём выборы объектов А и В несовместны, то выбор

Пример 8. В группе 5 отличников из них 3 девушки и 2 юноши. Сколькими способами можно выбрать пару « девушка и юноша » для участия в научной

способами. По правилу произведения число способов выбора пары « девушка и юноша » равно n1n2 32 6

Тема 2. Классическое и статистическое определения вероятности. Геометрическая вероятность

Согласно классическому определению, вероятность события А вычисляется по

где n – число всех равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов испытания; m – число исходов, благоприятствующих появлению события А. Таким образом, нахождение вероятности события сводится к вычислению значений параметров n и m, а так как 0 ≤ m ≤ n, то 0≤ Р(А) ≤ 1.

Статистической вероятностью события А называют относительную частоту появления этого события в n произведённых испытаниях, т.е.

где m – число испытаний, в которых появилось событие А

8

n – общее число испытаний.

Пример 9. Имеется 100 одинаковых деталей, среди которых 3 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется без брака.

Решение. В этой задаче производится испытание – извлекается одна деталь. Число всех исходов испытания равно 100, т.к. может быть взята любая деталь из 100. Эти исходы несовместные равновозможные и единственно возможные. Таким образом, n = 100. Событие А состоит в появлении детали без брака. Всего в партии 97 деталей без брака, следовательно, число исходов, благоприятных

97

появлению события А равно 97. Итак, m = 97, тогда Р( А) 0,97 100

Пример 10. Код банковского сейфа состоит из 6 цифр. Найти вероятность того, что наудачу выбранный код содержит различные цифры.

Решение. Так как на каждом из шести мест в шестизначном номере может стоять любая из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всех различных шестизначных номеров, по правилу произведения, будет равно

n = 10 10 10 10 10 10 = 106. Номера, в которых все цифры различны, это размещения из 10 элементов по 6. Поэтому число благоприятных исходов m= А106 .

жребию хозяйственную команду в составе пяти человек. Какова вероятность, что в составе команды окажутся три юноши и две девушки ?

Решение. Испытание состоит в том, что из двадцати одного человека выбирают пятерых. Так как выбор осуществляется по жребию, то все исходы испытания равновероятны и, кроме того, они не совместны. Число исходов испытания n C215 , так как выборка состоит из пяти элементов и порядок их расположения в выборке не учитывается.

Пусть событие А состоит в том, что в составе выбранных окажутся три юноши и

Тема 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

9

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р( А В) Р(А) Р(В) Р( АВ) . (1.10)

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Р( А) Р( А) 1.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие наступило:

пять – в Хабаровский край, три – в Приморский край. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления в Хабаровском крае?

Решение. Событие А – первый взятый наугад заказ для Хабаровского края. Событие В – второй заказ так же предназначен для потребления в Хабаровском крае. Нам необходимо найти вероятность Р(АВ). Тогда по теореме об умножении вероятностей зависимых событий, используя формулу (1.11), имеем

Пример 13. Из партии изделий товаровед наудачу отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранное изделие окажется высшего сорта, равна 0,8; первого сорта − 0,7; второго сорта − 0,5. Найти вероятность того, что из трёх наудачу отобранных изделий будут: а) только два высшего сорта; б) все разного сорта.

Решение. Пусть событие А1 – изделие высшего сорта; событие А2 – изделие первого сорта; событие А3 – изделие второго сорта. События А1,А2,А3 – независимы. По условию задачи Р(А1) = 0,8, Р(А2) = 0,7, Р(А3) = 0,5.

а) Событие А – только два изделия из трёх отобранных высшего сорта будет выглядеть так: А = А1А1А2+А1А1А3,

10