Тема 8. Математические операции над случайными величинами

Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения

Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения

21

а) найти P(X 3), P(Y 3);

б) составить закон распределения случайной величины Z X Y. Найти M(Z), D(Z) и проверить выполнение свойств

M (X Y ) M ( X ) M (Y ); D( X Y ) D(X ) D(Y );

в) составить закон распределения V X Y . Найти M(V) и проверить выполнение свойства M ( X Y ) M ( X ) M (Y ).

Решение: а) Так как

P( X 1) P( X 3) P( X 4) 1, P(Y 0) P(Y 2) P(Y 3) 1, то P( X 3) 1 (0,1 0,6) 0,3, P( X 3) 1 (0,2 0,4) 0,4.

Запишем закон распределения случайных величин X и Y . :

б) Найдём возможные значения случайной величины Z X Y , которые равны суммам каждого возможного значения величины X с каждым возможным значением величины Y. Их соответствующие вероятности равны произведениям вероятностей слагаемых:

Одинаковые значения величины Z объединяем, складывая их вероятности. Закон распределения случайной величины Z будет иметь вид:

22

Найдём

23

Тема 9. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики

Случайная величина Х, для которой функция распределения вероятностей F(x) непрерывна , называется непрерывной.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f x − первую производную от функции распределения F x : f x F x .

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения – неотрицательная функция:

fx 0 .

2.Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

3. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

f x dx 1.

Теорема. Функция распределения непрерывной случайной величины связана с x

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с

24

если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку a, b , то

b

M ( X ) xf x dx.

a

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения от среднего значения.

Если возможные значения случайной величины Х принадлежат всей оси Оx, то

Если возможные значения X принадлежат отрезку a, b , то

b

D( X ) x M ( X ) 2 f x dx . a

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины

определяется, как и для величины дискретной, равенством

(X ) D(X ) .

Пример 23. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

25

в)

Рисунок 1.2 − Графики функций F(x ) и f(x)

г) для вычисления вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал , можно применить одну из формул:

Пример 24. Случайная величина задана плотностью распределения:

26

б) для нахождения функции распределения F x воспользуемся формулой

Рисунок 1.3 − Графики функций F(x) и f(x)

27

Тема 10. Основные законы распределения случайных величин

Основные законы распределения дискретных случайных величин

1. Равномерный закон распределения.

Дискретная случайная величина X называется распределённой по равномерному закону, если она принимает свои возможные значения с постоянной вероятностью

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой дискретной случайной величины вычисляются по формулам

2. Биномиальный закон распределения.

Для этого закона дискретная случайная величина X – число появлений события А при проведении испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли.

Вероятности её возможных значений вычисляются по формуле

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределения по биноминальному закону вычисляется по формулам

M ( X ) n p; D( X ) n p q.

3. Закон распределения Пуассона.

Для этого закона дискретная случайная величина X – число появлений события А при проведении испытаний, удовлетворяющих теореме Пуассона.

Тогда вероятность того, что в n испытаниях случайная величина X примет значение равное m вычисляется по формуле

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона вычисляются по формуле

M (X ) D(X ) .

4. Геометрический закон распределения.

28

Для этого закона дискретная случайная величина X – число проведённых испытаний до первого появления события А, если испытания удовлетворяют схеме Бернулли.

Тогда вероятность того, что в n испытаниях случайная величина X примет значение равное m вычисляется по формуле

Pn X m p q m 1, m 1,2,3 .

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по геометрическому закону, вычисляются по формулам

M ( X ) 1p ; D( X ) pq2 .

5. Гипергеометрический закон распределения.

Пусть имеется множество из n элементов, из которых s элементов обладают фиксированным свойством. Пусть из этого множества осуществляется выборка из r элементов.

Тогда дискретная случайная величина X – число элементов с фиксированным свойством, оказавшихся в выборке, а вероятности её возможных значений определяются по формуле

C m C r m

Pn X m s C rn s .

n

Пример 25. Предприятие выпускает 90 % изделий высшего сорта. Составить закон распределения случайной величины X – числа изделий высшего сорта из трёх, взятых наудачу изделий. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение. Случайная величина X – число изделий высшего сорта среди трёх отобранных изделий может принимать одно из значений: 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли:

Случайная величина X подчиняется биномиальному закону:

29

Пример 26. На сборку поступило 30 деталей, из них 25 стандартных. Сборщик берёт наудачу три детали. Составить закон распределения случайной величины X – числа стандартных деталей среди трёх взятых.

Решение. Случайная величина X – число стандартных деталей среди отобранных, подчиняется гипергеометрическому закону распределения.