5572

Функция распределения примет вид:

Графики обеих функций изображены на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 − Графики функций F(x) и f(x)

M(X) и D(X) равномерно распределенной случайной величины рассчитываются

Показательное распределение Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей

случайной величины X, которое описывается плотностью

где − постоянная положительная величина.

31

Функция распределения примет вид: F x

0, при x 0; 1 e x , при x 0.

Графики плотности и функции распределения показательного закона

F(x)

f (x)

1

Рис. 1.5− Графики функций F(x) и f(x)

Для M(X) и D(X) показательного распределения справедливы равенства

M ( X ) 1 ; D( X ) 12 .

Вероятность попадания в интервал a; b показательно распределённой случайной величины вычисляется по формуле

P a X b e a e b .

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятностей выражается формулой

где a − математическое ожидание, − среднее квадратическое отклонение. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой

или кривой Гаусса (рисунок 1.6).

1.Функция ƒ(х) определена на всей оси Х.

2.При любых значениях Х функция принимает положительные значения,

т.е. лежит выше оси ОХ.

32

Рис. 1.7 − Графики функций F(x) и f(x) Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:

Пример 28. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2. Составить функцию распределения, функцию плотности этой случайной величины. Найти числовые характеристики и вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (0,3;1).

Решение. Очевидно, искомая плотность распределения

Искомая функция распределения

34

Тогда, P 0,3 X 1 e20,3 e2 1 e 0,6 e 2 0,549 0,135 0,414.

Пример 29. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали равна а=35, среднее квадратическое отклонение 4. Требуется:

а) составить функцию плотности вероятностей; б) найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше

34 и меньше 40;

в) найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет меньше 36 г) найти вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не

нормальному закону, есть ее плотность распределения вероятностей выражается формулой

35

Тема 11. Закон больших чисел

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Неравенства Маркова и Чебышева

Неравенство Маркова. Пусть случайная величина X принимает только неотрицательные значения и имеет конечное математическое ожидание M(X). Тогда для любого δ>0 имеют место неравенства Маркова:

P( X ) 1 M ( X ) , P( X ) M ( X ) .

Пример 30. Вероятность того, что у отдельного вкладчика некоторого сберегательного банка сумма вклада не больше 3 млн руб., превышает 0,8. Банк

Пример 31. Вероятность того, что студент учебного заведения в период работы читального зала посетит его, равна 0,3. Оценить вероятность того, что среди 900 студентов читального зала посетят от 240 до 300 человек.

Решение. M(X) = np = 900 · 0,3 = 270; D(X) = npq = 189.

Величина отклонения от M(X) равна 240 270300 270 30 .

Закон больших чисел в форме Чебышева

Теорема (непредельная форма). Пусть X1 , X 2 , …, X n последовательность попарно независимых, однородных случайных величин, имеющих конечные

36

Закон больших чисел в форме Бернулли

Теорема (непредельная форма). Если проводится n повторных независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событий A постоянна и равна p, то при n , и для любого сколь угодно малого числа 0 , имеют место неравенства:

Раздел 2 . Элементы математической статистики

Тема 12. Первоначальные понятия математической статистики

Проведение экономических исследований связано с изучением свойств различных совокупностей однотипных объектов (людей, предприятий, товаров и т.п.). При этом каждый объект, входящий в состав совокупности, характеризуется

37

некоторым числом хi — величиной изучаемого признака X. Для обозначения таких совокупностей вводится понятие генеральной совокупности.

Под генеральной совокупностью понимается вся совокупность однотипных объектов, которые изучаются в данном исследовании. Примером генеральной совокупности может служить совокупность работников данной отрасли, а признаком Х, например, годовой доход работника. Однако на практике в большинстве случаев мы имеем дело только с частью возможных наблюдений, взятых из генеральной совокупности.

Выборка (выборочная совокупность) — это совокупность случайно отобранных объектов, составляющих лишь часть генеральной совокупности.

Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов данной совокупности.

Например, из 1 000 изделий отобрано для обследования 100 изделий, объем генеральной совокупности N=1 000, а объём выборки n=100.

Наблюдаемые значения хi признака Х называют вариантами . Если расположить варианты в порядке возрастания получим дискретный вариационный ряд.

Под частотой ni значения признака понимают число членов совокупности с данной вариантой. Отношение частоты к объему совокупности называют

относительной частотой значения признака: wi = .

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант xi и

соответствующих им частот ni или относительных частот wi (причем сумма всех частот равна объёму выборки, а сумма всех относительных частот равна 1).

Вариационный ряд, заданный в таком виде, называют дискретным. Графическим представлением статистического распределения может служить

полигон частот ( или относительных частот) .

38

Полигоном частот называют ломаную , отрезки которой соединяют точки (хi,

ni).

Полигоном относительных частот называют ломаную , отрезки которой соединяют точки (хi, wi).

Непрерывное статистическое распределение выборки можно получить, разбив весь интервал, в котором заключены все значения признака, на k частичных интервалов длины h. Согласно формуле Стерджеса число частичных интервалов определяется по формуле , а величина интервала .

Для каждого частичного интервала ставится в соответствие ni - сумма частот вариант, попавших в данный частичный интервал.

Графическим представлением непрерывного статистического распределения может служить гистограмма частот ( или относительных частот) .

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру,

состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению .

Пример 32. Из большой группы предприятий одной из отраслей промышленности случайным образом отобрано 30, по которым получены значения стоимости основных фондов в млн руб.:

3; 4; 2; 3; 3; 6; 5; 2; 4; 7; 5; 5; 3; 4; 3; 2; 6; 7; 5; 4; 3; 4; 5; 7; 6; 2; 3; 6; 6; 4.

Составить дискретное статистическое распределение выборки, записать распределение относительных частот, построить полигон частот.

Решение. Различные значения признака запишем в порядке возрастания и под каждым из них запишем соответствующие частоты. Получим дискретное

Проверка: сумма всех частот должна быть равна объёму выборки: n=4+7+6+5+5+3=30.

39

Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объём выборки

Строим полигон частот. Для этого строим точки с координатами (xi;ni):

(2;4), (3;7), (4;6), (5;5), (6;5), (7;3) и соединяем их последовательно отрезками.

ni

7

6

5

4

3

2

1

полигон частот

Пример 33. Выборочно обследовано 26 предприятий лёгкой промышленности по объему валовой продукции. Получены следующие результаты в млн руб.:

15,0; 16,4; 17,8; 18,0; 18,4; 19,2; 19,8; 20,2; 20,6; 20,6; 20,6; 21,3; 21,4; 21,7; 22,0; 22,2; 22,3; 22,7; 23,0; 24,2; 24,2; 25,1; 25,3; 26,0; 26,5; 27,1.

40