Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5572

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Алгоритм проверки основной гипотезы


1. Рассчитать наблюдаемое значение критерия Стьюдента tнабл	rB n	2	.

	1	r 2
	1	r 2
		B

2.По таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение Д) найти критическую точку tкр(α, k) для двусторонней критической области при k=n−2.

3.Сравнить tнабл и tкр. Если |tнабл| < tкр – нет оснований отвергнуть Н0, т.е. выборочный коэффициент корреляции незначим. Если |tнабл| > tкр – нулевая

гипотеза отвергается, т.е. X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.

Пример 37. Выборочно обследовано 100 торговых предприятий некоторого региона по количеству работников X и объёмам реализации Y (д.е.). Результаты представлены в корреляционной таблице (таблица 3).

						Таблица 3

X	5	15	25	35	45	ny
У

130	7	1				8

132	2	7	1			10

134	1	5	4	1		11

136		1	15	10	8	34

138			3	12	15	30

140				1	6	7

nх	10	14	23	24	29	n=100

По данным исследования требуется:

1)в прямоугольной системе координат построить эмпирические ломаные регрессии Y на X и X на Y, сделать предположение в виде корреляционной связи;

2)оценить тесноту линейной корреляционной связи;

3)проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции, при уровне значимости α=0,05;

4)составить линейные уравнения регрессии У на X и X на У, построить их графики в одной системе координат;

5)используя полученные уравнения регрессии, оценить ожидаемое среднее значение признака Y при х=40 чел. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

Решение.

1. Для построения эмпирических ломаных регрессии вычислим условные

средние Yx и X y

Вычисляем Yx . Так как при х = 5 признак Y имеет распределение

Y		130	132	134
ni		7	2	1
									130	7	132		2	134 1
	то условное среднее Yx							5	130	7	132		2	134 1		130,8.

											7 2		1
При х = 15 признак Y имеет распределение
Y			132	134			136
Y		130	132	134			136
ni		1	7	5			1
				130 1			132	7	134	5	136 1
тогда Yx 15				130 1			132	7	134	5	136 1			132,86.

								14

Аналогично				вычисляются					все Y X			и		. Получим таблицы, выражающие
Аналогично				вычисляются					все Y X			и	X Y	. Получим таблицы, выражающие
корреляционную зависимость Y от X, (таблица 4) и X от Y (таблица 5).
																Таблица 4

				Х		5		15			25			35			45
						130,8 132,86					135,74			137,08			137,86
				Y X		130,8 132,86					135,74			137,08			137,86
				Y X
																Таблица 5
				Y		130		132		134			136		138		140
						6,25		14		19,54			32,35		39		43,57
					X Y	6,25		14		19,54			32,35		39		43,57

В прямоугольной системе координат построим точки Аi(хi,YXi ), соединим их отрезками, получим эмпирическую линию регрессии Y на X. Аналогично строятся

точки Вj(			,yj) и эмпирическая линия регрессии X на Y											(рисунок 2.4 ).
точки Вj(	XY	j	,yj) и эмпирическая линия регрессии X на Y											(рисунок 2.4 ).
		j

		У х (У )									В6
											В6
139
									А		В5	А5
											В5	А5

							А
									В4
									В4
						А	В3
							В3
			А			В2
			А			В2
130				В1
				В1


			5		10	15	20	25	30	35	40	45	Х ( ХУ )
			5		10	15	20	25	30	35	40	45

Рисунок 2.4 Эмпирические ломаные регрессии

Построенные эмпирические ломаные регрессии Y на X и X на Y свидетельствуют о том, что между количеством работающих (X) и объёмом реализаций (Y) существует линейная зависимость. Из графика видно, что с

увеличением X , Y X увеличивается, поэтому можно выдвинуть гипотезу о прямой линейной корреляционной зависимости между количеством работающих и объёмом реализации.

2. Оценим тесноту связи. Вычислим выборочный коэффициент корреляции.

																																			y j n y
											xy x y																xi nx
								r			xy x y										,		x				xi nx		,			y						,
								r													,		x						,			y						,
												x						y									n								n
												x						y
											x		2n														y 2j nx									xi y jnij
								x2							x							2

												i						,		y										,			xy							;
												n						,		y							n			,			xy				n			;
												n															n										n

																																				2 ;
																									2 ,								y2
																x2
																																			y
											x													x			y								y
		5 10		14 14				25		23			35				24						45				29
x		5 10		14 14				25		23			35				24						45				29	29,8;

									100
									100
		130	8	132 10					134 11								136						34				138	30						140	7
y		130	8	132 10					134 11								136						34				138	30						140	7		135,78 ;

													100
													100
		52	10			142		14		252				23								352				24		452						29
x 2		52	10			142		14		252				23								352				24		452						29	1059 ;
x 2										100																									1059 ;
										100
		130 2		8		132 2		10		134 2					11				136 2								34	138			2			30	140 2			7
y 2		130 2		8		132 2		10		134 2					11				136 2								34	138			2			30	140 2			7	18 443,4
y 2																	100																						18 443,4
																	100
		1
xy		1	130 5 7					130 15 1						132 52												132 15 7								132 25 1				134 5 1

		100
134 15 5					134 25 4					134 35 1												136 15 1						136 25 15									136 35 10
136 45 8					138 25 3					138 35 12													138 45 15								140 35 1
140 45 6)						40 75,55 ;

																																		(135,78)2
	x	1 059				(29,8)2				13,08				;					y							18 443,4								(135,78)2					2,68 ;
rв		4 075,55				29,8 135,78											0,84 .

				13,08			2,68
				13,08			2,68

Значение rB=0,84 свидетельствует о наличии тесной линейная корреляционная

связи между количеством работников и объёмом складских реализаций. Этот вывод подтверждает первоначальное предположение, сделанное исходя из графика.

3. Проверим гипотезу о значимости найденного коэффициента корреляции rB = 0,84 при заданном уровне значимости α = 0,05. Для этого выполним следующий алгоритм:

1) рассчитаем наблюдаемое значение критерия

	rB	n 2
tнабл	rB	n 2	0,84	100 2	15, 315;

		r 2		(0,84)2
1		r 2	1	(0,84)2
		B

2) найдём критическую точку распределения Стьюдента (приложение Д) tкр( ; ) tкр(0,05; 98) 1,99;

3) так как |tнабл|>tкр, то нулевая гипотеза отвергается, т.е. rB = 0,84 – значим, а между показателями количества работников и объёмами реализации на предприятии существует линейная корреляционная связь.

4. Запишем уравнения регрессии:

		y
уˆ	х y rв	y

		x
		x

					x	( y		) .
(x x) ,	xˆ	y	x r		x		y
(x x) ,	xˆ		x r				y
				в
					y

Подставляя в эти уравнения найденные величины, получаем искомые уравнения регрессии:

1) уравнение регрессии Y на X:

yˆ x	135,78	0,84			2,68		(x 29,8)	или ˆ x			;
								y	0,17 x	130,71
					13,08			y	0,17 x	130,71
					13,08
2) уравнение регрессии X на Y:
xˆ y	29,8	0,84		13,08		( y	135,78) или xˆ y		4,1y	526,9 .
xˆ y	29,8	0,84	2,68			( y	135,78) или xˆ y		4,1y	526,9 .
			2,68

Построим графики найденных уравнений регрессии.

Зададим координаты двух точек, удовлетворяющих уравнению yˆ x 0,17 x 130 ,71.

Пусть х = 10, тогда yˆ x	132 ,41 . А1(10; 132,41),
Если х = 40, тогда yˆ x	137 ,51 . А2(40; 137,51)

Аналогично	находим точки, удовлетворяющие уравнению xˆ y 4,1y 526,9 .
В1(10,2; 131),	В2(43; 139).

139

В2

В1

10 15 20 25 30 35 40 45 х(ху )

График линий регрессии

Контроль: точка пересечения прямых линий регрессии имеет координаты x; y

(рисунок 2.5). В нашем примере: С(29,8; 135,78).

5. Найдём среднее значение Y при х=40 чел., используя уравнение регрессии Y на X. Подставим в это уравнение х=40, получим

yx 0,17 40 130,71 137,51.

Задания для самостоятельного решения Тема1. Случайные события

1. . Какова вероятность того, что число на вырванном наудачу листке нового календаря:

а) кратно 5; б) равно 29, если в году 365 дней.

2.В партии 5 изделий первого сорта и 7 – второго. Какова вероятность, что наудачу взятое изделие будет:

а) первого сорта; б) второго сорта.

3.Найти вероятность того, что из 10 книг, расположенных в случайном порядке, 3 определённые книги окажутся рядом?

4.При испытании партии приборов относительная частота годных приборов

оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено

150приборов.

5.Пакеты акций компаний А, В и С могут дать доход владельцу с вероятностью 0,7, 0,8, 0,6 соответственно. Найти вероятность того, что владелец пакетов акций различных фирм получит доход:

а) только по одному пакету акций; б) хотя бы по одному пакету акций.

6. Вероятности своевременного возвращения кредита каждым из трёх заёмщиков банку независимы и соответственно равны: 0,75; 0,85; 0,95. Найти вероятность следующих событий:

а) только один заёмщик возвратит кредит своевременно; б) хотя бы два заёмщика возвратят кредит своевременно.

7.На связке 5 ключей. К замку подходит только один ключ. Найти вероятность того, что потребуется не более двух попыток открыть замок, если опробованный ключ в дальнейших испытаниях не участвует?

8.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент из предложенных ему экзаменатором трёх вопросов знает:

а) все три; б) два; в) не более одного.

9.Комиссия проверяет качество товара двух отделов. Вероятность того, что случайно отобранный товар из первого отдела окажется бракованным, равна 0,1; для товара из второго отдела эта вероятность равна 0,09. Комиссия сначала наугад выбирает отдел, а затем анализирует качество продукции. Найти вероятность того, что отобранный для проверки товар окажется некачественным.

10.На рынок поступает продукция трёх фабрик, причём продукция первой

фабрики составляет 15% от всего объёма поставок, продукция второй − 50% и третьей − 35%. Известно также, что средний процент нестандартной продукции для первой фабрики равен 4%, для второй − 3% и для третьей − 2%. Взятый наугад образец продукции оказался нестандартным. Какова вероятность того, что он изготовлен на второй фабрике?

11.Тест по экономике состоит из 9 вопросов. На каждый вопрос в тесте предлагается 5 варианта ответа, из которых нужно выбрать один правильный. Какова вероятность того, что, будучи совершенно не готовым к тесту, студент угадает правильные ответы по крайней мере на 6 вопросов?

12.Сборник задач содержит 400 задач с ответами. В каждом ответе может быть ошибка с вероятностью 0,01. Какова вероятность, что 99% всех задач сборника даны без ошибок?

13.Страховая фирма заключила 10 000 договоров. Вероятность страхового

случая по каждому в течение года составляет 2%. Найти вероятность того, что таких случаев будет 230.

14.Каждый из 20 компьютеров в интернет-кафе занят клиентом в среднем в течение 80% рабочего времени. Какова вероятность того, что в момент проверки клиентом будет занято:

а) от 10 до 16 компьютеров; б) не менее 12 компьютеров; в) не более 17?

15.Вероятность производства стандартной детали в некоторых условиях равна 0,98. Найти наивероятнейшее число стандартных среди 625 деталей и вероятность такого числа деталей.

Тема 2. Случайные величины

16. Изучение спроса изделий некоторой фирмы дало распределение случайной

величины Х – числа потребляемых за месяц изделий:
	xi		10	20	30	40	50
	xi	0	10	20	30	40	50

	pi	0,1	0,1	0,2	0,3	0,1	0,2

Составить функцию распределения F(x), построить её график. Найти среднее число изделии, потребляемых в течение месяца. Найти вероятность того, что за месяц будет продано от 25 до 40 изделий данной фирмы.

17. Закон распределения случайной величины Х дан в таблице:

xi	– 1	0	2

pi	0,6	0,3	0,1

а) составить закон распределения случайных величин Y = 2X, Z = X + X и убедиться, что это различные случайные величины, т.е., что Y Z;

18. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и Y. Требуется составить закон распределения случайной величины

а) Z = X · Y, б) Z = Y3 + X2.

19.Вероятность своевременной поставки продукции для каждого из трёх поставщиков соответственно равны 0,8; 0,9; 0,6. Составить закон распределения случайной величины Х – числа поставщиков, своевременно поставивших продукцию. Найти числовые характеристики Х.

20.На курсах повышения квалификации бухгалтеров преподаватель предлагает проверить 8 накладных, 3 из которых содержат ошибки. Наугад берётся 2

накладных. Составить закон распределения случайной величины

Х – числа

накладных с ошибками среди отобранных. Найти М(Х), D(Х), (Х). Составить функцию распределения F(x) и построить её график.

21.Вероятность того, что в течение гарантийного срока прибор потребует ремонта, равна 0,15. Составить закон Х – числа приборов, которые потребуют ремонта, если случайно отобраны были три прибора. Найти числовые характеристики закона.

22.Случайная величина задана плотностью распределения

	0,		при	x	0,
f (x)		x2	, при	0	x 3,
	9

	0,		при x		3.

Найдите:

а) интегральную функцию распределения F(x) и постройте графики f(x) и

F(x);

б) математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х), среднее квадратическое отклонение, моду Мо(Х) и медиану Ме(Х);

в) вероятность Р(1

23. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения F(x):

	0,	при x	0,
F (x)	x3	x, при 0	x	1,
	1,	при x	1.

Требуется определить:

а) значение параметра ;

б) найти функцию плотности вероятности f(x);

в) математическое ожидание М(х), дисперсию D(x);

г) вычислить вероятность того, то Х примет значение, принадлежащее интервалу (1/2, 2).

24. Непрерывная случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [0; 100]. Найти вероятности a) Р(Х > 10), б) Р(40 < Х < 90), в) Р(Х = 50).

25.Непрерывная случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [1; 3]. Требуется:

а) найти функцию плотности вероятности, функцию распределения случайной величины Х, построить их графики;

б) найти математическое ожидание и дисперсию Х; в) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (1;2).

26.Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному

закону, заданному функцией распределения:

	0,	при x 0
F (x)	1 e 0,6x , при x 0 .

Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадёт в интервал (2, 5).

27. Среднее время обслуживания покупателя составляет 10 минут и подчиняется показательному закону. Чему равна вероятность того, что обслуживание покупателя составит от 5 до 12 минут ?

28.Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами М(Х) = − 2 и (Х) = 4. Составить функцию плотности распределения вероятностей данной случайной величины и построить её график.

29.Средний процент выполнения плана группой предприятий составляет 106%,

среднее квадратическое отклонение = 8%. Полагая, что процент выполнения плана этой группой предприятий подчиняется нормальному закону, определить, в каких границах следует ожидать процент выполнения плана этими предприятиями с вероятностью 0,95.

30. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения

		3		9( x	8)2
вероятностей	f (x)	3	e	32		. Найти М(Х), D(Х), Р(− 7 < X < − 6).
				32


	4	2

Тема. 3 Математическая статистика

31. Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. При этом

были получены следующие значения (Вт.):
216	220	220	221	225	224	212	217	219	220
227	221	227	224	226	210	211	220	218	223
222	220	219	222	225	224	219	220	219	224

Составить статистическое распределение выборки. Построить полигон частот. Найти среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение напряжения в выборке.

32. Выборочным путём получены следующие данные об урожайности

подсолнечника (ц/га):
16,8	17,2	17,6	17,5	17,9	18,0	18,2	18,4	18,6
18,9	18,9	19,0	19,1	19,2	19,2	19,3	19,7	19,9
20,0	20,0	20,2	20,3	20,4	20,7	21,5
Составить интервальное распределение выборки						с шагом	h = 1, взяв за начало

первого интервала х0 = 16,5. Построить гистограмму частот.

33. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметром .

Сделана выборка объёма n и найдена хВ . Найти с надёжностью доверительный интервал неизвестного параметра а, если:

1)	хВ	=	100,	n =	36,	= 0,95;

2)	хВ	=	100,	n =	36,	= 0,9722.

34. С надёжностью найти доверительный интервал для математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности с неизвестной дисперсией по выборке объёма n, если:

1)	х	В	=	2,4; n =	25;	s2	= 4;	=	0,9;
		В
						s2
2)	х	В	=	4,37; n =	120;	s2	= 0,01;	=	0,95.
		В

35. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением σ = 0,36 извлечена выборка объёма n = 36 и по ней найдена выборочная средняя х = 21,6. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н0 : Х = 21 при конкурирующей гипотезе

а) Н1 : Х ≠ 21;

б) Н1 : Х > 21.

36.По результатам n = 9 замеров установлено, что среднее время изготовления детали 48 с. Предполагая, что время изготовления – нормально распределённая случайная величина с дисперсией σ2 = 9 с2, на уровне значимости α = 0,05 решить:

а) можно ли принять 50 с. в качестве нормативного времени изготовления детали;

б) можно ли принять за норматив 49 с.?

37.По двум независимым выборкам объёмов n1 = 12 и n2 = 15, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей Х и У, найдены исправленные выборочные дисперсии S2x = 11,41 и S2y = 6,52. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н0 : σ2(х) = σ2(у) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Н1 : σ2(х) > σ2(у).

38.При выборочном обследовании занятости женщин домашним хозяйством было получено следующее распределение:

Занятость	в	0 – 5	5–10	10–15	15–20	20–25	25–30	30–35
неделю (час)

Число женщин		6	18	36	76	39	18	7

Выдвинуть гипотезу о законе распределения и проверить её по критерию Пирсона

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.9 Mб25567.pdf
#
13.11.20221.9 Mб45568.pdf
#
13.11.20221.9 Mб15569.pdf
#
13.11.20221.9 Mб25570.pdf
#
13.11.20221.91 Mб15571.pdf
#
13.11.20221.91 Mб05572.pdf
#
13.11.20221.94 Mб15573.pdf
#
13.11.20221.95 Mб15574.pdf
#
13.11.20221.95 Mб15575.pdf
#
13.11.20221.95 Mб05576.pdf
#
13.11.20221.95 Mб15577.pdf