5572
.pdf
при уровне значимости α = 0,05.
39. Проверьте значимость коэффициента корреляции по следующим данным:
а) rxy = – 0,43, n = 60, α = 0,1; б) rxy = 0,2, n = 45, α = 0,05;
40. Дано распределение фирм по величине объёмов продаж Х (млн. руб.) и размеру затрат на рекламу Y (млн. руб.), произведённой продукции:
Х |
4−6 |
6−8 |
|
8−10 |
10−12 |
ny |
Y |
12−14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5−2,0 |
|
|
2 |
3 |
1 |
6 |
2,0−3,5 |
|
4 |
5 |
1 |
|
10 |
3,5−5,0 |
|
8 |
5 |
5 |
|
18 |
5,0−6,5 |
3 |
8 |
2 |
|
|
13 |
6,5−8,0 |
2 |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
nx |
5 |
21 |
14 |
9 |
1 |
n = 50 |
|
|
|
|
|
|
|
Требуется:
а) вычислить условные средние Yx , X y ;
б) построить эмпирические ломаные регрессии; в) оценить тесноту линейной корреляционной связи между признаками;
г) составить и построить линейные уравнения регрессии Y на X и X на Y;
д) проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции.
Примерные варианты контрольной работы по теме "Случайные события "
Вариант 1
1. На курсах повышения квалификации бухгалтеров преподаватель предлагает пакет из 10 накладных, 3 из которых содержат ошибки. Из пакета наудачу выбирают 6 накладных. Найти вероятность того, что среди извлечённых накладных: а) 2 с ошибками; б) хотя бы одна с ошибками.
2. Пакеты акций компаний А, В и С могут дать доход владельцу с вероятностью 0,7, 0,8, 0,6 соответственно. Найти вероятность того, что владелец пакетов акций различных фирм получит доход а) только по одному пакету акций; б) хотя бы по одному пакету акций.
61
3.В торговую фирму поступили телевизоры от трёх поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го, и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно
в98%, 88% и 92% случаев. Найти вероятность того, что поступивший в продажу телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.
4.Частное предприятие при определённых факторах производства
выпускает в среднем 85% продукции первого сорта. Чему равна |
вероятность |
|
того, что в партии из 1000 изделий число первосортных |
заключено между 820 и |
|
910? |
|
|
Вариант 2
1.Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность, что выбранные наудачу 4 студента: а) имеют спортивный разряд; б) не имеют спортивного разряда.
2.На участке работают две бригады. Вероятность выполнения плана первой бригадой равна 0,89, а вероятность выполнения плана второй бригадой – 0,9. Найти вероятность выполнения плана: а) только одной бригадой; б) хотя бы одной бригадой.
3.В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием А, 30% – с заболеванием В, 20% – с заболеванием С. Вероятность полного излечения болезни А равна 0,7, для болезней В и С эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием С.
4.Вероятность того, что фирма, проведя рекламную кампанию, продаст
единицу своей продукции составляет 0,75. Найти вероятность того, что из 200 изделий фирма реализует не менее 170.
Вариант 3
1.В ящике 15 деталей, среди которых 9 стандартных. Сборщик наудачу извлекает три. Найти вероятность того, что извлечённые детали окажутся: а) стандартными; б) нестандартными?
2.Мастер обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены потребует внимания рабочего 0,32, второй – 0,24, третий – 0,41, четвёртый – 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены не потребуют внимания рабочего: а) один станок; б) 3 станка.
3.В вычислительной лаборатории имеется 6 персональных компьютеров одного
62
типа и 4 другого. Вероятность того, что за время работы компьютер первого типа не выйдет из строя, равна 0,999, а для компьютеров второго типа эта вероятность равна 0,99. Студент сел выполнять работу за наугад выбранный компьютер.
Найдите вероятность того, что до окончания работы компьютер не выйдет из строя.
4. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) меньше двух.
Примерные варианты контрольной работы
по теме "Случайные события "
Вариант 1
1. Заданы случайные величины X и Y законами распределения
xi |
– 1 |
0 |
2 |
|
уi |
0 |
1 |
2 |
pi |
0,2 |
0,4 |
0,4 |
|
pi |
0,4 |
0,5 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а)найти М(Х), М(У)
б)составить закон распределения случайной величины Z=3X+Y, найти М(Z), D(Z), используя свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины.
2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(х). Найти: 1)
вероятность попадания случайной величины Х в интервал ( 13 ; 23 ); 2) функцию
плотности распределения вероятностей f(х); 3) математическое ожидание случайной величины Х; 4) построить графики F(х) и f(х).
|
|
0 |
|
при |
х |
1, |
|
F(х) = |
1 |
х |
1 |
при |
1 |
х 2, |
|
3 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
при |
х |
2; |
3. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением σ. Требуется: а) записать функцию плотности вероятности случайной величины Х – цена акции и построить ее график; б) найти вероятность того, что случайная величина Х примет значения, принадлежащие
интервалу ( , |
); в) найти вероятность того, что абсолютная величина Х- а |
окажется меньше . |
|
а 16 ; σ=0,3; |
α=15,8; β=16,1; ε=0,5. |
63
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Заданы случайные величины X и Y законами распределения |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
xi |
|
– 2 |
|
0 |
|
2 |
|
|
уi |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
pi |
|
0,2 |
|
0,3 |
|
0,5 |
|
|
pi |
|
0,4 |
|
0,5 |
|
0,1 |
|
|
|
|
|
||
а)найти М(Х), М(У) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б)составить закон распределения случайной величины Z=2X-Y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Найти М(Z), D(Z), используя свойства математического ожидания и дисперсии |
|||||||||||||||||||||||
случайной величины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(х). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Найти: 1) вероятность попадания случайной величины Х в интервал ( |
1 |
; |
2 |
); |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
2) функцию плотности распределения вероятностей f(х); |
|
3) математическое |
|||||||||||||||||||||
ожидание случайной величины Х; |
4) построить графики F(х) и f(х). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 при х |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F(х) = |
|
|
|
1 |
|
(х |
2)2 при |
2 х |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
при х |
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Среднее время обслуживания покупателя составляет 20 минут и подчиняется показательному закону. Найти плотность распределения, функцию распределения. Чему равна вероятность того, что обслуживание покупателя составит от 20 до 40 минут?
Вариант 3
1. Заданы случайные величины X и Y законами распределения
xi |
– 1 |
0 |
2 |
|
уi |
-2 |
1 |
2 |
pi |
0,2 |
0,1 |
0,7 |
|
pi |
0,4 |
0,5 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а)найти М(Х), М(У)
б)составить закон распределения случайной величины Z=X+4Y , найти М(Z), D(Z), используя свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины.
2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(х). Найти: 1)
вероятность попадания случайной величины Х в интервал (-1; 23 ); 2) функцию
плотности распределения вероятностей f(х); 3) математическое ожидание случайной величины Х; 4) построить графики F(х) и f(х).
64
|
|
0 |
|
при х |
0, |
|
F(х) = |
1 |
х2 |
5 |
х при 0 |
х 1, |
|
6 |
6 |
|||||
|
|
|
|
1при х 1;
3.Поезда метро идут с интервалом в 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Х, в течение которого ему придётся ждать поезд, представляет собой случайную величину, распределённую с
равномерной плотностью на отрезке [0; 2] мин. Найти: f (x), F(x), М (х), D(x) , а также вероятность того что пассажиру придётся ожидать ближайшего поезда не более 0,5 мин.
Примерные варианты контрольной работы по теме "математическая статистика"
Вариант 1
1. Выборка задана в виде распределения частот. а) Найти распределение
относительных частот. б) Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки и построить график функции F(x).
xi |
2 |
5 |
6 |
|
|
|
|
ni |
10 |
15 |
20 |
|
|
|
|
2. По данным выборки объема n=19 из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 5,4. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,95.
3. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.
X |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
Y |
18 |
19 |
20 |
23 |
25 |
29 |
36 |
47 |
61 |
85 |
65
Вариант 2.
1. По выборке из 300 студентов заочного отделения, вызванных на сессию, было получено распределение Х – затрат на питание (руб.) в студенческой столовой за день:
|
|
|
xi |
|
0 – 50 |
|
5 – 100 |
|
|
100 – 150 |
|
150 – 120 |
200 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
ni |
|
6 |
|
|
8 |
|
|
|
|
18 |
|
|
11 |
7 |
|
|
|
|
||||||||
1). Найти несмещённую оценку |
|
|
|
|
|
и найти ожидаемую выручку столовой за |
|||||||||||||||||||||||
|
|
хг |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
месяц. 2) построить гистограмму частот . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметром . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Сделана выборка объёма n и найдена хВ . Найти с надёжностью |
|
доверительный |
|||||||||||||||||||||||||||
интервал неизвестного параметра а, если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) хВ = 100, |
|
n = |
36, |
= 0,95; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3. Известна динамика ВРП в регионе за 10 лет в сопоставимых ценах: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ВРП, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
млрд. руб. |
|
10 |
|
12,5 |
12,8 |
|
12,9 |
|
13,2 |
|
|
13,5 |
13,8 |
|
13,8 |
|
13,9 |
14,1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Требуется составить прогноз валового выпуска продукции в регионе в |
|||||||||||||||||||||||||||||
следующем году. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. Контрольные обмеры диаметров болтов дали следующие результаты: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2,32 |
|
|
2,31 |
|
2,29 |
2,30 |
2,31 |
2,28 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2,31 |
|
|
2,29 |
|
2,30 |
2,33 |
2,29 |
2,31 |
|
|
||||||||||||||
Найти точечные оценки для среднего диаметра болта и его дисперсии в контролируемом процессе производства.
2. С надёжностью 
найти доверительный интервал для математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности с неизвестной дисперсией по выборке объёма n, если:
|
|
|
|
s2 = 4; |
|
|
хВ = |
2,4; |
n = 25; |
= 0,9. |
|
||
3. |
По |
выборке |
объёма n, |
извлечённой из нормальной |
двумерной |
|
генеральной совокупности (X,Y), найден выборочный коэффициент корреляции rВ.
Требуется |
при |
уровне |
значимости |
проверить гипотезу о равенстве |
нулю |
генерального коэффициента корреляции, при конкурирующей гипотезе Н1 : rг |
0 . |
||||
n = 100, |
rв = |
0,2 , |
= 0,05; |
|
|
66
Примерные варианты тестовых заданий
Вариант 1
Задание 1. Среди 10 деталей 2 бракованные. Наудачу извлекается деталь. Найти вероятности возможных событий.
Варианты ответов:
1) |
|
2 |
и |
10 |
; 2) |
1 |
и |
1 |
; 3) |
2 |
и |
8 |
; 4) |
2 |
и |
|
3 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10 |
2 |
10 |
20 |
10 |
10 |
10 |
10 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Задание 2. События А и В несовместны. Какова вероятность Р(А + В) ?
Варианты ответов:
1) Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ); 2) Р(А + В) = Р(А) + Р(В); 3) Р(А + В) = Р(А) - Р(В); 4) Р(А + В) = РА(В) + Р(А).
Задание 3. Два события называются …, если при появлении одного из них изменяется вероятность появления другого.
Варианты ответов: |
|
1) совместными; 2) равновозможными; 3) зависимыми; |
4) случайными. |
Задание 4. Вероятность того, что посетитель данного |
магазина совершит |
покупку равна 0,6. Найти вероятность того, что из пяти первых посетителей сделают покупку трое.
Варианты ответов:
1) |
P 3 |
C3 |
0,6 3 |
0,4 |
2 |
; 2) P 3 |
5 |
0,6 |
3 |
e |
3 ; |
||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
3! |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) P5 3 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
5 |
; 4) P5 3 1 P5 2 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5 |
0,6 |
0,4 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задание 5. Найти математическое ожидание случайной величины, зная ее закон распределения
X |
6 |
3 |
1 |
P |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
Варианты ответов: 1) 3,4; 2) 2,6; 3) 1; 4) 0.
Задание 6. Задана нормальная случайная величина функцией плотности
|
|
1 |
|
|
x |
5 2 |
|
|
f (x) |
|
|
e |
8 . |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||
Найти M(x) и D(x).
Варианты ответов:
1) M(x)= 2, D(x)=5; 2) M(x)= 5, D(x)=2; 3) M(x)= 2, D(x)=8; 4) M(x)= 5, D (x)=4.
Задание 7. Несмещенной оценкой X Г является
67
Варианты ответов: 1) M X ; 2) X ; 3) X B ; 4) X 2 .
Задание 8. Статистическое распределение выборки имеет вид
|
|
|
|
Х |
2 |
5 |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
3 |
6 |
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Медиана равна .... |
|
|
|
|
|
|||
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|||
1) 5; |
2) 7; |
3) 6,5; |
4) 8. |
|
|
|
||
Задание 9 . Зависимость, при которой изменение одной из величин влечет
изменение среднего значения другой величины называется ...
Варианты ответов:
1) статистической; 2) функциональной; 3) корреляционной; 4) многомерной.
Задание10. Правило, по которому нулевая гипотеза отвергается или
принимается называется ... |
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
1) |
Статистическим критерием |
2) |
Нулевой гипотезой |
3) |
Статистической гипотезой |
4) |
Альтернативной гипотезой |
Вариант 2
Задание 1. Вероятность попадания стрелком в цель 0,7. Найти вероятность противоположного события.
1 Варианты ответов: 1) 0,5; 2) 1,7; 3) 70 ; 4) 0,3.
Задание 2. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, – 0,7; второй – 0,6. Найти вероятность того, что он сдаст один экзамен.
Варианты ответов:
1) Р = 0,7 + 0,6 – 0,7 0,6 = 0,88; 2) |
Р = 0,7 0,3 + 0,6 0,4 = 0,45; |
3) Р = 0,7 0,4 + 0,3 0,6 = 0,46; |
4) Р = 0,7 (1 – 0,6) = 0,28. |
. |
|
Задание 3. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1 , А2, …, Аn, независимых в совокупности, определяется по формуле
Варианты ответов:
1) Р(А) = р1 + р2 + … + рn ; 2) Р(А) = 1 – рn;
68
3) Р(А) = р1 q1 + … + рn qn; 4) Р(А) = 1 – q1 q2 … qn.
Задание 4. Если в условиях схемы Бернулли число испытаний неограниченно в возрастает, а вероятность появления события А в каждом испытании уменьшается так, что np = 
10, то вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно m раз, вычисляют по формуле:
Варианты ответов:
1) Бернулли; |
2) Пуассона; 3) Локальной Лапласа; |
|
4) Интегральной Лапласа. |
||||||||||||||
Задание 5 . Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
2 |
5 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
0,2 |
0,4 |
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти Р(X=8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: 1) 0,4; 2) 0,8; |
3) 0,2; |
4) 0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задание 6. Как найти числовые характеристики случайной величины, |
|||||||||||||||||
распределенной |
по геометрическому закону? |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1) M(x)=D(x)=λ; |
2) M ( x) |
|
|
a b |
|
, D(x) |
b - a 2 |
; |
||||||||
|
2 |
|
|
12 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3) M(x)=np, D(x)=nрq; 4) M ( x) |
|
1 |
, D(x) |
|
q |
. |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
p 2 |
|||
Задание 7. Статистическая оценка не должна удовлетворять требованию
Варианты ответов:
1) несмещенность; 2) эффективность; 3) состоятельность; 4) неотрицательность.
Задание 8. Мода вариационного ряда 2 , 5 , 5 , 6 , 7 , 9 , 10 равна …
Варианты ответов:
1) 10; 2) 5; 3) 7; 4) 9.
Задание 9. По выборке объема n=100 построена гистограмма частот.
Тогда значение а равно…
Варианты ответов: 1)15 ; 2) 50; 3) 6 ; 4) 12 ;
69
Задание 10. Выборочный коэффициент корреляции rВ = 0,85. Оценить тесноту связи.
1) умеренная; 2) высокая; 3) заметная; 4) весьма высокая.
Вариант 3
Задание 1. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым равна…
Варианты ответов: 1) 0,9; 2) 0,6; 3) 1; 4) 1,2
Задание 2. Равенство |
имеет место для ............событий |
Варианты ответов: |
|
1)независимых ; 2) равновозможных; |
3) зависимых; 4) несовместных. |
Задание 3. Сделано 10 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0,7. Наивероятнейшее число попаданий равно …
Варианты ответов: 1) 8; 2) 10; 3) 1; 4) 7.
Задание 4. Формулой Пуассона целесообразно пользоваться, если …
Варианты ответов:
1) |
n = 500, p = 0,4 |
3) |
n = 1000, р= 0,02 |
2) |
n = 500, p = 0,003 |
4) |
n = 100, p = 0,5 |
Задание 5. Дискретная случайная величина задана распределением
Х -1 0 2 3
Р 0,1 0,2 0,3 0,4
Найти М(Х2)
Варианты ответов:
1) 2 ; 2) 4,9; 3) 5; 0.
Задание 6. Нормально распределенная случайная величина Х задана плотностью
|
|
1 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
e 2 |
. Дисперсия |
равна … |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Варианты ответов: 1) 0; |
2) 2; 3) 1; 4) |
|
. |
|||||||
|
||||||||||
Задание 7. Х – непрерывная случайная величина, принимает значения из промежутка [0; 100]. Значение вероятности 
равно …
Варианты ответов: 1) 0; 2) 1; 3) 0,5; 4) 1,5.
70