95
ПРИЛОЖЕНИЕ
МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ (МЕТОД СААТИ)
ТЕХНОЛОГИЯ РАСЧЁТА
Основным понятием данного метода является понятие иерархии. Под иерархией понимается определённый тип системы, сформированный из гипотезы, что все элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Иерархия возникает при определении соподчинения одного уровня функционирования целой системы другому, т.е. проблема может рассматриваться как совокупность многофакторных (критериев) решений в зависимости от разных аспектов исследования.
Для применения метода Саати воспользуемся нормированной оценочной шкалой для ведения попарного сравнения характеристик. Обычно при построении численных предпочтений необходимо решить 2 задачи:
–какой из двух попарно сравниваемых объектов более важен;
–насколько сильна разница в важности исследуемых объектов, если воспользоваться некоторой заданной шкалой.
Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента модели над другим. Экспертные суждения выражаются в целых числах 9-балльной шкалы в соответствии с таблицей 13. Эксперт, сравнивая две альтернативы, относительно критерия, расположенного на вышележащем уровне иерархии, оценивает это сравнение числом из интервала 1 – 9.
Таблица 4 – Оценочная шкала
Численная оценка |
Лингвистическая оценка предпочтений |
Пояснения |
|
предпочтений |
|
|
|
0 |
Несравнимы |
Затруднения в сравнении |
|
1 |
Одинаково предпочтительны |
Две альтернативы дают рав- |
|
|
|
ный вклад относительно за- |
|
|
|
данного критерия |
|
2:1 |
Очень незначительно превосходит |
Компромисс между суждени- |
|
3:1 |
Слабо превосходит |
ями. Оттенки степеней пред- |
|
4:1 |
Более или менее превосходит |
почтительности при сравне- |
|
5:1 |
Превосходит |
нии альтернатив учитываются |
|
|
|||
6:1 |
Сильно превосходит |
в дальнейшем анализе в чис- |
|
ловой форме |
|||
7:1 |
Значительно превосходит |
||
|
|||
8:1 |
Существенно превосходит |
|
|
9:1 |
Абсолютно превосходит |
|
Выбор шкалы определялся следующими требованиями:
(а) Шкала должна давать возможность улавливать разницу в чувствах людей, когда они проводят сравнения, различать как можно больше оттенков чувств, которые имеют люди.
(б) Эксперт должен быть уверенным во всех градациях своих суждений одновременно.
Рассмотрим математическое решение данной задачи. Пусть С1, С2, …, Сn – перечень основным тем курса, которые необходимо подвергнуть
96
оценке. Количественные суждения о парах объектов (темы Ci,Cj) представлены квадратной матрицей размера nxn: A=(aij), (i,j=1,2,…,n).
Элементы матрицы {aij} определяются следующим образом: если aij=a (численная оценка предпочтений тем Ci и Cj согласно таблице 13), то aji= 1a ,
при условии что a 0.
После построения количественных суждений о парах тем (Ci, Cj) в числовом выражении через aij задача сводится к получению весовых коэффициентов, которые соответствовали бы зафиксированным суждениям экспертов.
В подобной постановке задачи решение проблемы состоит в отыскании вектора удельных весов тем (v1, v2, ..., vn), удовлетворяющих условию
aij |
vi |
. |
|
||
|
v j |
|
Для этого применим наиболее простой метод «грубой» оценки в тех случаях, когда нет возможности использовать ЭВМ (таблица 5):
1.Суммируются по строкам элементы матрицы парных сравнений (для каждого значения i вычисляется сумма ai=ai1+ ai2+...+ ain).
2.Все ai нормируются так, чтобы их сумма была равна 1. В результате получаем искомый вектор v. Таким образом vi=ai/(a1+ a2+...+ an).
Таблица 5 – Нахождение вектора удельных весов метод «грубой» оценки
|
С1 |
… |
Сn |
Суммирование по строкам |
Вектор удельных весов |
||||||||||||||
С1 |
1 |
… |
v1/ vn |
а |
(1 |
|
v1 |
|
... |
|
|
v1 |
) |
v |
а1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
vn |
1 |
Sum |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сn |
vn/ v1 |
… |
1 |
а |
|
( |
vn |
|
... |
|
vn |
|
|
1) |
v |
аn |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
|
|
vn 1 |
n |
Sum |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Sum |
а1 |
... |
аn |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другой способ более точного нахождения вектора удельных весов состоит в следующем (таблица 6):
1.Умножить n элементов каждой строки и извлечь корень n-й степени.
2.Нормализовать полученные числа.
Таблица 6 – Нахождение вектора удельных весов метод точной оценки
|
С1 |
… |
Сn |
Извлечение корня n-й степени из |
Вектор удельных |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
произведения по строкам |
|
весов |
||||||||||||||||||
С1 |
1 |
… |
v1/ vn |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
v |
1 |
|
|
|
|
а1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
а |
(1 |
|
1 |
|
... |
|
1 |
) n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
v2 |
|
|
vn |
|
|
Sum |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сn |
vn/ v1 |
… |
1 |
|
|
|
vn |
|
|
|
|
vn |
|
|
|
1 |
|
vn |
|
аn |
|
|||
|
|
|
|
а |
n |
( |
|
... |
|
|
|
1) n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sum |
|||||||||||||||
|
|
|
|
v1 |
|
vn 1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Sum |
а1 |
... |
|
|
|
аn |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97
Рассматриваемая версия метода парных сравнений позволяет установить качество исходных данных – удельный вес наших тем в структуре курса. Причём Саати советует при плохо согласованной матрице либо сменить экспертов, либо найти дополнительные данные, либо решать проблему другим методом. Рассогласованность матрицы парных сравнений может быть вызвана, по крайней мере, двумя факторами:
–личными качествами эксперта;
–степенью неопределённости объекта оценки.
Очень важно проверить качественную часть работы экспертов при помощи синтеза приоритетов, удостоверяющую согласованность расставленных оценок предпочтений. Синтез приоритетов комментируется следующими параметрами:
max – наибольшее собственное значение матрицы суждения А (чем она ближе к n, тем более согласован результат);
ИС = ( max - n)/(n-1) – индекс согласованности (даёт информацию о степени нарушения согласованности оценок экспертов), где n – размерность матрицы.
ОС = ИС/ – отношение согласованности, где – случайная согласованность (значение этого показателя зависит от размера матрицы и определяется по данным таблицы 7).
Таблица 7 – Зависимость значения |
от размера матрицы (сгенерировано Национальной |
||||||||||
лабораторией Окриджа) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Размер матрицы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Случайная |
0 |
0 |
0,58 |
0,9 |
1,12 |
1,24 |
1,32 |
1,41 |
1,45 |
1,49 |
|
согласованность |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Значение ОС меньшее или равное 0,1 считают приемлемым. В том случае, если ОС больше 0,1, то матрица суждений несогласованна и суждения экспертов должны быть пересмотрены.
Для вычисления max – главного параметра согласованности произведём следующие действия:
1.Умножим матрицу количественных суждений на полученный вектор – столбец удельных весов, в результате получим новый вектор – вектор решений 1.
2.Разделим первую компоненту вектора решений 1 на первую компоненту вектора удельных весов, вторую компоненту вектора решений 2 на вторую компоненту вектора удельных весов и т.д. В результате определим вектор решений 2.
3.Разделим сумму компонент вектора решений 2 на число компонент
получим max .