Медведев Физические основы радиохимии 2011
.pdf
|
|
|
A (t) = A |
e−λ1t , |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
1, 0 |
|
|
(e−λ1t −e−λ2t ), |
|
|
|
|
|
|
A2 (t) = A1, 0 |
λ2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
λ2 −λ1 |
|
|
|
|
.................................................. |
|
|
|||||||||
An (t) = A1, 0 λn |
λ2 …λn−1 |
|
|
|
e−λ1t |
+… |
(2.26) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
λ2 −λ1 )(λ3 −λ1 ) (λn −λ1 ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
||||
|
e |
−λnt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...+ |
|
|
+ |
|
|
+(λn−1 −λn ) . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(λ1 −λn )(λ2 −λn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вывод уравнений (2.25) и (2.26) в общем виде достаточно сложен, поэтому ограничимся лишь выводом уравнения для наиболее важного случая: образования дочернего радионуклида из материнского. Помимо радиоактивных семейств, где обычно для расчета активности достаточно использовать представленные ниже уравнения, необходимо отметить, что эти уравнения используют и для расчета активности в так называемых «изотопных генераторах», когда период полураспада материнского радионуклида во много раз больше периода полураспада дочернего. Классическим примером изотопного генератора является пара 90Sr (29,1 года)→ 90Y (64,1 ч)→. Достоинством изотопных генераторов является возможность многократно получать дочерний радионуклид с активностью, практически равной активности материнского. Следует отметить, что при этом не происходит никакого нарушения законов сохранения. Законы сохранения действительны для массы, числа нуклонов, заряда и т.д., тогда как активность является производной числа ядер определенного вида по времени.
Дифференциальное уравнение для расчета числа ядер дочернего радионуклида N2 имеет вид
dN2 = −λ2 N2dt +λ1N1dt , |
(2.27) |
где индекс «1» относится к материнскому радионуклиду. Уравнение (2.27) отличается от дифференциального уравнения
закона радиоактивного распада (2.2) наличием в правой части второго члена, который показывает непрерывное образование дочернего радионуклида из материнского. При отсутствии второго члена интегрирование уравнения (2.27) привело бы к интегральному уравнению закона радиоактивного распада (2.4).
41
Дифференциальное уравнение (2.27) относится в математике к классу дифференциальных уравнений с правой частью. Для их интегрирования применяется замена переменных:
N2 =u ν ; dN2 =u dν +ν du . |
(2.28) |
Подставляя (2.28) в (2.27) и группируя аналогичные члены, по-
лучим: |
|
ν dt ) + ν du = λ N |
|
|
|
u (dν + λ |
2 |
10 |
e−λ1t dt . |
( 3.29) |
|
|
1 |
|
|
В уравнении (2.29) первый член в левой части приравнивают 0.
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν = e−λ2dt . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.30) |
|||||||||||
Подставляя (2.30) в (2.29), получим: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e−λ2dt du = λ N |
|
e−λ1t dt . |
(2.31) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
10 |
|
|
||||
Интегрирование (2.31) приводит к |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
u |
= |
|
|
|
|
λ1 |
|
|
|
N |
|
|
|
e(λ2 −λ1 )t +C . |
(2.32) |
||||||||||
|
λ |
|
|
|
−λ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
N |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
e−λ1t +C e−λ2dt . |
(2.33) |
|||||||||||
|
|
|
λ |
|
|
|
−λ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Постоянную интегрирования C определяем из условия: при |
||||||||||||||||||||||||||
t = 0 N2 = N20: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
N20 |
|
= |
|
|
|
|
|
N10 +C , |
(2.34) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
λ |
2 |
|
−λ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
C = N |
|
− |
|
|
λ1 |
|
|
N . |
(2.35) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
λ |
|
−λ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
2 |
|
10 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
Подставив (2.35) в (2.33), получим: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
N2 = |
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
N10 (e−λ1t |
−e−λ2t )+ N20 e−λ2t . |
(2.36) |
|||||||||||||||
λ |
2 |
−λ |
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уравнение (2.36) можно записать и через активности, умножив
левую и правую часть на λ2: |
|
|
|||||
A2 |
= |
|
|
λ2 |
A10 (e−λ1t −e−λ2t )+ A20 e−λ2t . |
(2.37) |
|
λ |
2 |
−λ |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
||
Уравнения (2.36) и (2.37) можно упростить для некоторых конкретных условий. Для начала можно пренебречь начальной ак-
42
тивностью дочернего радионуклида и вынести exp(–λ1t) из-под скобки, тогда
A2 = |
|
|
λ2 |
A1 (1−e |
−(λ2t −λ1t ) |
). |
(2.38) |
λ |
2 |
−λ |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
Вековое равновесие. Положим, что период полураспада материнского радионуклида (Т1/2)1 много больше, чем у дочернего
(Т1/2)2. Это эквивалентно неравенству λ2 >> λ1.Тогда уравнение (2.38) примет вид
A2 = A1 (1−e−λ2t ). |
(2.39) |
Уравнение (2.39) показывает, что с увеличением времени активность дочернего радионуклида приближается к активности материнского и в пределе становится равным ей. Тогда при t → ∞
А2 = А1. |
(2.40) |
Уравнение (2.40) выражает вековое равновесие.
Чтобы определить скорость достижения векового равновесия,
надо учесть (2.11), и тогда уравнение (2.39) примет вид |
|
|||||||||
|
|
|
|
A2 |
=1−e−λ2t =1− |
1 |
|
, |
(2.39а) |
|
|
|
|
|
A |
2n |
|
||||
|
|
t |
1 |
|
|
|
|
|
||
где |
n = |
– число периодов полураспада |
дочернего радионук- |
|||||||
(T1/2 )2 |
||||||||||
лида.
Уравнение (2.39а) показывает, что скорость установления векового равновесия зависит только от периода полураспада дочернего радионуклида. Через один период полураспада накапливается половина максимального количества дочернего радионуклида, через два – три четверти, через три – семь восьмых и т.д. Через 10 периодов полураспада дочернего радионуклида его активность меньше максимальной на 1/1024, и это время обычно условно принимается как время наступления векового равновесия. В дальнейшем активности как первого, так и второго радионуклидов, а также и последующих будут меняться во времени одинаково. То есть устанавливается вековое равновесие, при котором число ядер изотопов в цепочке последовательных распадов связано с постоянными распада (периодами полураспада) соотношением
43
N1 |
= |
λ2 |
= |
(T1/2 )1 |
. |
(2.41) |
|||
N |
|
λ |
|
||||||
2 |
|
|
(T |
) |
2 |
|
|
||
|
|
1 |
|
1/2 |
|
|
|
||
Радиоактивным равновесием называют состояние системы,
содержащей материнский и связанные с ними дочерние нуклиды, при котором соотношение количеств материнского и дочерних нуклидов не меняется со временем. К состоянию радиоактивного равновесия приводит конкуренция процессов распада и накопления
дочерних нуклидов в тех случаях, когда (Т1/2)1 >> (Т1/2)2 и t >> (Т1/2)2. Можно обобщить этот результат для большего числа последова-
тельных распадов при условии (Т1/2)1 >> (Т1/2)i: |
|
N1 : N2 : N3 = (T1/2 )1 :(T1/2 )2 : (T1/2 )3 . |
(2.41а) |
Поэтому в естественном состоянии все изотопы, генетически связанные в радиоактивных рядах, обычно находятся в определенных количественных соотношениях, зависящих от их периодов полураспада.
Подвижное равновесие. Если λ1 и λ2 различаются не более чем в 5–10 раз, то в этом случае говорят о подвижном равновесии, и тогда из уравнения (2.38) можно найти соотношение между количествами ядер материнского и дочернего нуклида
N2 |
= |
|
|
λ1 |
|
. |
(2.42) |
|
N |
λ |
2 |
−λ |
1 |
||||
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
Переходя от количеств генетически связанных радионуклидов к
их активностям, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
= |
|
|
λ2 |
. |
(2.43) |
|
A |
λ |
2 |
−λ |
|||
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
1 |
|
|
||
Из уравнения видно, что при подвижном равновесии активность
|
|
|
λ2 |
|
дочернего нуклида больше активности материнского в |
|
|
|
. |
λ |
2 |
−λ |
||
|
|
1 |
|
|
Характерные кривые для векового и подвижного равновесий представлены на рис. 2.1 и 2.2.
Отсутствие равновесия. Если соотношение периодов полураспада материнского и дочернего радионуклидов таково, что (Т1/2)1 < < (Т1/2)2, то это означает, что материнский радионуклид распадается быстреедочернегоиравновесиенедостигается.
44
Рис. 2.1. Подвижное равновесие при (Т1/2)1 = 8 ч; (Т1/2)2 = 0,8 ч.
a – полная активность препарата, содержащего первоначально очищенный материнский и накапливающийся дочерний изотоп; б – прямая, характеризующая распад материнского изотопа; в – кривая изменения активности дочернего изотопа; г – прямая, характеризующая распад чистого дочернего изотопа
Рис. 2.2. Вековое равновесие при (Т1/2)1 = ∞, (Т1/2)2 = 8 ч (обозначения те же, что и на рис. 2.1)
45
2.5. Определение периода полураспада
Определение периода полураспада долгоживущего нукли-
да. Если период полураспада радиоактивного нуклида настолько велик, что за время исследования активность препарата практически не меняется, то для нахождения периода полураспада используют уравнение (2.12). Условием применения этого уравнения является отсутствие других радионуклидов в образце.
Определение периода полураспада короткоживущего нук-
лида. Методы определения периодов полураспада, лежащих в интервале от нескольких минут до нескольких месяцев или даже лет, основаны также на использовании интегральной формы ос-
новного закона радиоактивного распада: N = N0 e−λt .
На практике поступают следующим образом. В строго постоянных условиях через некоторые промежутки времени определяют регистрируемую активность препарата (скорость счета). Измерения продолжают до тех пор, пока активность не уменьшится, по крайней мере, в 2 раза.
При обработке результатов экспериментальные данные представляют в полулогарифмических координатах, откладывая по оси абсцисс время t, прошедшее с момента начала измерений, а по оси ординат – логарифм регистрируемой активности lgIt (целесообразно применять полулогарифмическую бумагу).
Если в исследуемом препарате присутствует только один радиоактивный изотоп, то график зависимости lgIt от t будет представлять собой прямую линию. Действительно, логарифмируя уравнение It = I0 e−λt , получим:
lg It = lg I0 −0,4343λt . |
(2.44) |
Для того чтобы по графику определить период полураспада, надо отложить по оси ординат отрезок, численно равный lg2, и найти на оси абсцисс отрезок, соответствующий Т1/2.
Применение электронных схем с автоматической записью результатов позволяет распространить предыдущий метод на радионуклиды с периодом полураспада до долей секунды.
46
Использование векового равновесия. При наступлении веко-
вого равновесия согласно (2.41) и (2.41а) отношение числа атомов различных радионуклидов пропорционально отношению их периодов полураспада. Тогда для определения периодов полураспада различных генетически связанных радионуклидов достаточно знать период полураспада одного из них и провести массспектрометрическое определение отношения их числа.
2.6. Определение возраста минералов
Уран и торий являются рассеянными элементами, которые в небольших количествах присутствуют практически во всех минералах и горных породах. При распаде этих элементов образуются изотопы свинца. Тогда, сравнивая количество урана (тория) и количество соответствующих изотопов свинца, можно определить возраст минерала (породы). Изложим сущность наиболее простого уран-свинцового метода определения возраста минералов. Положим, первоначально было N0 ядер урана-238. После времени t осталось NU ядер урана-238 и NPb ядер свинца-206. Соотношение между этими величинами определяется уравнениями:
NU = N0 e−λt , |
(2.45) |
NPb = N0 (1−e−λt ) = NU (e−λt −1) , |
(2.46) |
где λ – постоянная распада урана-238.
В уравнении (2.46) пренебрегается наличием промежуточных продуктов распада урана-238: согласно (2.41а) число ядер каждого продукта распада при вековом равновесии пропорционально его периоду полураспада, а сумма периодов полураспада всех продуктов распада чуть больше 3·105 лет, тогда как для урана-238 Т1/2 = = 4,468·109 лет, т.е. превышает эту сумму более чем в 104 раз. Вследствие этого уравнение (2.46) может быть использовано после масс-спектрометрического определения соотношения NU : NPb для расчета возраста минералов при наличии векового равновесия, т.е при возрасте, превышающем примерно 1 млн. лет. Мешает определению наличие в минерале (породе) нерадиогенного свинца. Чтобы исключить возникающую из-за этого ошибку, проводят аналогич-
47
ное масс-спектрометрическое определение отношения NU : NPb для урана-235 и свинца-207. Так как в нерадиогенном свинце соотношение изотопов 206 и 207 известно, то по этим двум определениям можно рассчитать возраст с поправкой на нерадиогенный свинец. Этот метод называется изотопно-свинцовым.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте современное определение активности радиоактивного нуклида. Единицы активности.
2.Приведите закон радиоактивного распада в дифференциальной и интегральной форме. Каков физический смысл постоянной распада?
3.Поясните высказывание: «По истечении времени, равного десяти периодам распада любого радионуклида, можно считать, что он практически распался».
4.Каково свойство распределения Пуассона?
5.Перечислите три группы радионуклидов, находящихся в приро-
де.
6.Что такое радиоактивные семейства? Объясните правила сдвига
(смещения). Приведите уравнения расчета числа α- и β-распадов при переходе от одного нуклида к другому внутри радиоактивного семейства.
7.Выведите уравнение для расчета количества ядер и активности дочернего радионуклида.
8.Что такое «вековое равновесие» и каковы условия его наступления? Объясните расчет скорости образования дочернего радионуклида, приведите примеры.
7.Что такое подвижное равновесие? Объясните графическое представление подвижного равновесия. Приведите примеры подвижного равновесия для генетически связанных пар.
8.Перечислите и дайте краткое описание методов определения периодов полураспада радионуклидов.
9.Опишите радиоизотопный метод определения возраста минера-
лов.
10.Как изменяется со временем суммарная активность препарата, содержащего первоначально очищенный материнский радионуклид, в случаях:
48
•векового равновесия;
•подвижного равновесия;
•отсутствия равновесия?
И как при этом изменяется активность дочернего продукта?
Задачи для самостоятельного решения
1.Период полураспада урана-238 составляет 4,468·109 лет. Определите активность 1 г урана-238 в беккерелях и кюри.
2.Определите, какое количество α- и β-распадов происходит в 1 г смоляной руды, содержащей 30 % UO3.
3.Приведите уравнение для расчета активности дочернего радионуклида в случае векового равновесия. Определите, через какое время
впрепарате урана -238 накопится 7/8 от равновесного количества то-
рия-234.
4.Периоды полураспада стронция-90 – 29,1 лет, иттрия-90 – 64,1 ч. Определите, какая доля от равновесного количества иттрия накопится через 10 суток после отделения стронция-90 от иттрия-90.
5.Выведите формулу для определения времени накопления максимального количества дочернего нуклида, накапливающегося при распаде материнского нуклида.
6.Определите удельную активность образца железа, 1 мг которого содержит 1 мкг 56Fe.
7.Определите удельную активность природного самария, если
содержание радиоактивного изотопа Sm-147 составляет 15,07 %, а его период полураспада – 1,3·1011 лет?
8.Сколько содержится 35S в 1 мг серы, если удельная активность образца составляет 1,58·106 распадов в секунду на 1 микрограмм?
9.Исходя из того, что человек, в среднем весящий 70 кг, содержит в своем организме примерно 130 г калия, оцените общую активность, создаваемую в организме радиоактивным калием-40.
10.За какое время масса 10 мг радия уменьшится на 1 мг?
11.Есть 1020 атомов радионуклида с периодом полураспада 14 дней. Какое количество атомов данного радионуклида распадется за:
1с, 1 мин, 1 ч, 1 сутки?
12.Определите, за какой промежуток времени распадется 1, 10, 25,
50% 60Со.
49
13.Активность препарата 32Р = 5 мКи. Какова она будет через не-
делю?
14.Вычислите постоянную распада, среднее время жизни и период полураспада радионуклида, активность которого уменьшается в 1,07 раз за 100 дней.
15.В кровь человека ввели небольшое количество раствора, содержащего 24Na общей активностью 2,0·103 Бк. Удельная актив-
ность 1 мл крови, взятой через 5,0 ч после этого, составила 16 расп/(мин · мл). Найдите объем крови человека.
16.При распаде 1 1 2 Pd образуется β-активный нуклид 112Ag. Их периоды полураспада соответственно равны 21 и 3,2 ч. Найдите отношение максимальной активности дочернего нуклида к начальной активности материнского препарата, если в начальный момент препарат содержал только материнский радионуклид.
17.Радиоактивный препарат содержит 2 мКи 64Сu (Т1/2 = 13 ч) и 250 мкКи 32Р (Т1/2 = 14 сут). Через какое время активности обоих радио-
нуклидов сравняются междусобой?
18.Активность препарата l40La измеряли в течение 4,5 ч. За это время было зарегистрировано 2·105 импульсов. Рассчитайте скорость счета в первую минуту.
19.Сколько времени необходимо для того, чтобы активность радона, образовавшегося из радия-226, составила 3/4 активности исходного вещества?
20.Вычислите, через какое время активность 90Y, находящегося в равновесии со 90Sr, уменьшится в 8 раз?
21.Определите, какая масса радона находится в равновесии с 5 мг
радия-226?
22. Из 1500 кг U3O8 выделено 100 мг 226Ra. Какую долю это количество радия составляет от равновесного?
50