Медведев Физические основы радиохимии 2011

Глава 7. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РАДИОМЕТРИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

7.1.Общие положения

Влюбой сфере человеческой деятельности для оценки количественных или качественных характеристик используемого объекта применяются измерения. Результаты измерений используются как для описания объекта, так и для оценки изменения его характеристик в течение времени и при воздействии влияющих факторов. Для регулирования деятельности в области измерений существует большое количество нормативных документов и технологических регламентов, основной целью которых является унификация и стандартизация процедур измерения. Наука, которая занимается в том числе и вопросами обработки результатов измерений называется метрология.

Основополагающим законом в РФ является Федеральный закон Российской Федерации № 102-ФЗ от 26 июня 2008 «Об обеспечении единства измерений», который устанавливает правовые основы обеспечения единства измерений в Российской Федерации, выделяет сферы государственного регулирования обеспечения единства измерений, регулирует отношения, возникающие при выполнении измерений, обеспечивает защиту прав и законных интересов граждан, общества и государства от отрицательных последствий недостоверных результатов измерений и потребность граждан, общества и государства в получении объективных, достоверных и сопоставимых результатов измерений.

Согласно данному закону измерение – это совокупность операций, выполняемых для определения количественного значения величины, единство измерений – состояние измерений, при котором их результаты выражены в допущенных к применению в Российской Федерации единицах величин, а показатели точности измерений не выходят за установленные границы.

Для проведения измерений количественного значения величины на практике применяют методику (метод) измерений – совокупность конкретно описанных операций, выполнение которых обеспечивает получение результатов измерений с установленными по-

171

казателями точности. Т.е. совокупность процедур и алгоритмов, которые необходимо выполнить, чтобы получить количественное значение величины. При этом данные операции включают в себя не только процесс измерения, но процесс подготовки объекта к измерениям, например, выделение и концентрирования стронция из почвы, упаривание раствора и нанесение его на подложку.

Результаты всех измерений, как бы тщательно и на каком бы научном уровне они ни проводились, подвержены влиянию различных факторов, которые приводят к отклонению результата от «истинного» значения. Например, не полное извлечение радиоактивного препарата из образца, унос части радиоактивного вещества при упаривании, неточность воспроизведения геометрии измерения, число зарегистрированных импульсов от радиоактивного источника и т.д. Стоит отметить, что для каждого измерения (методики измерения) характерны свои влияющие факторы, оказывающие воздействие на результат измерений, которые должны быть специальным образом исследованы, и определена степень их воздействия на конечный результат.

В данной главе будут рассмотрены не все факторы, влияющие на результаты определения радиоактивности, а только факторы, связанные со статистическим характером радиоактивного распада

идетектированием радиоактивного излучения.

7.2.Распределение Пуассона при радиометрических

измерениях

В гл. 3 отмечалось, что радиоактивный распада является случайным процессом, а число распадов за некоторый интервал времени n является случайной величиной, которая распределена по закону биноминального распределения. Если за время распада изменением числа радиоактивных ядер можно пренебречь, то биноминальное распределение переходит в распределение Пуассона, для которого вероятность распада n ядер выражается уравнением

(3.19).

При регистрации радиоактивного излучения уравнение (3.19) переходит в аналогичное:

172

где P(n) – вероятность регистрации n импульсов; n~ – математическое ожидание (среднее значение) числа импульсов.

Замечательным свойством распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии

Из уравнения (7.2) следует, что при регистрации радиоактивного излучения нет необходимости дополнительного определения дисперсии измеряемой величины: одно измерение позволяет одновременно определить и измеряемую величину, и ее дисперсию. Необходимо отметить, что распределению Пуассона подчиняется только число измеряемых импульсов n, а не скорость счета или другие величины, рассчитываемые по значениям n.

Распределение Пуассона является дискретным и несимметричным относительно среднего значения. Однако уже при ñ=30 оно с хорошей точностью может быть аппроксимировано нормальным распределением. Тогда можно построить доверительный интервал для числа зарегистрированных импульсов:

где up – квантиль нормального распределения для доверительной вероятности P; σ – стандартное среднеквадратичное отклонение,

которое в соответствии с (7.2) равно σ = n .

В табл. 7.1 приведены значения квантилей up, доверительных вероятностей P и название соответствующих видов ошибок.

Таблица 7.1

Доверительная вероятность, квантили нормального распределения и названия соответствующих ошибок

173

7.3. Погрешность скорости счета

Целью радиометрических измерений является скорость счета препарата Іп, которую вычисляют как разность скоростей счета препарата с фоном Іпф и фона Іф по уравнению:

где nпф и tпф – число зарегистрированных импульсов и время измерения препарата с фоном; nф и tф – число зарегистрированных импульсов и время измерения фона, при этом точность измерения времени значительно превосходит точность числа зарегистрированных импульсов.

Для определения погрешности или ошибки скорости счета используются свойства функции Y, которая является линейной комбинацией двух случайных величин x1 и x2, распределенных по нормальному закону

В этом случае, как показано в математической статистике, выполняются уравнения для математического ожидания и дисперсии функции Y:

174

7.4. Определение необходимого времени проведения радиометрических измерений с заданной точностью

При радиометрических измерениях предварительно задаются допустимой погрешностью r, выраженной в процентах:

Из (7.10) легко найти количество импульсов n, которое необходимо зарегистрировать, чтобы погрешность составила r (%):

Уравнение (7.11) применяют для оценки необходимого числа импульсов только при условии, что скорость счета фона в уравнении (7.4) много меньше скорости счета препарата. В противном случае используют следующие уравнения для определения времени измерения препарата с фоном и фона при заданной точности r (%):

Уравнения (7.12) и (7.13) получены минимизацией суммарного времени t = tпф +tф . Для этого выражают r через уравнения (7.4) и

(7.9):

Iпф + Iф

r2 =104 (Itпфпф − Itфф)2 .

Далее выражают tф = t −tпф и получают уравнение для t как функции tnф:

175

После дифференцирования (7.14) по tnф и приравнивания производной 0 получим уравнение (7.12). Аналогично получаем уравне-

ние (7.13).

Из уравнений (7.12) и (7.13) следует, что время измерения будет быстро возрастать с уменьшением разности Inф – Iф. Очевидно, что наибольшие проблемы будут возникать при измерении малых активностей, которые наблюдаются при исследовании объектов окружающей среды. В этом случае для уменьшения времени измерений применяются установки малого фона, в которых используются схемы совпадений для уменьшения влияния космического излучения. Скорости счета фона в таких установках могут быть уменьшены до примерно 0,01 имп/с. Низкие значения скорости счета фона наблюдаются в α- и γ-спектрометрах.

7.5. Проверка правильности работы счетной аппаратуры

Проверяется выполнение распределения Пуассона при анализе данных, полученных на счетной установке. В математической статистике показано, что выборочная дисперсия s2 связана с дисперсией генеральной совокупности σ2 следующим уравнением:

где χ2 – распределение «хи-квадрат» или распределение Пирсона, математическое ожидание которого равно k – 1, где k – число независимых экспериментов.

При проверке правильности работы счетной аппаратуры проводят k определений одного и того же препарата без изменения его положения. Тогда выборочная дисперсия s2 может быть рассчитана по уравнению:

176

Подставив (7.16) в (7.15), получим с учетом σ2 = n :

Втаблицах распределения Пирсона даны вероятности P того, что значение χ2 будет больше приведенного в таблице значения. Обычно значимым отклонением от распределения Пуассона считаются случаи, когда вероятность P больше 0,95 или меньше 0,05.

Втабл. 7.2 представлены значения χ2 для P = 0,95 и 0,05 в зависимости от числа степеней свободы k – 1. Видно, что отношение

χ2 0,05 сначала быстро уменьшается с ростом числа степеней свобо-

χ0,952

ды от 1 (980) до 9 (5,08), а затем уменьшение замедляется и при 19 оно равно 2,97, а при 40 – 2,10. Поэтому обычно число опытов при использовании этого метода должно быть больше 9, но редко, когда оно превосходит 20.

Таблица 7.2

Значения χ2 для P = 0,95 и 0,05 в зависимости от числа степеней свободы k – 1

Возникает вопрос: что делать, если значение χ2 выходит за пределы интервала доверительной вероятности 0,95 > P > 0,05? Вероятность такого события достаточно большая – 0,10, т.е. в каждом десятом случае возможно получение значения χ2, которое больше или меньше значений, приведенных в табл. 7.2. Если это произошло, например, χ2 > χ0,052 , то можно рекомендовать простую процеду-

ру. Необходимо провести дополнительно не менее 10 измерений одного и того же препарата в близких условиях и рассчитать снова

177

значение χ2. Если оно снова окажется в той же области: χ2 > χ0,052 , то вероятность того, что такое событие произошло случайно, будет равна произведению 0,05·0,05 = 0,0025, т.е. очень мала и следует признать, что аппаратура действительно работает неправильно.

7.6. Оценка погрешности результата вычислений

При оценке погрешности результатов вычислений обычно используют закон сложения ошибок. Если величина Y является функцией величин xi, распределенных нормально с погрешностями xi, то дисперсия величины Y может быть рассчитана по уравнению:

2

D(Y ) =( Y )2 = Σ ∂∂xY ( xi )2 . (7.18)

i

В качестве примера использования закона сложения ошибок рассмотрим расчет ошибки при относительном определении активности препарата Ax по активности стандарта Aс.

где Ix и Iс – скорости счета препарата и стандарта.

При расчете по уравнению (7.19) обычно принимают, что погрешность активности стандартного источника Aс незначительна и

Аналогичные уравнения для расчета относительных погрешностей можно получить и для других вычисляемых величин.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте классификацию и основные источники погрешностей.

178

2.В чем заключается задача статистической обработки результа-

тов?

3.Как проверить правильность работы радиометра?

4.Что такое генеральное среднее и генеральная дисперсия?

5.Выборочная дисперсия, в чем ее отличие от генеральной дисперсии?

6.Дайте толкование доверительной вероятности и доверительной погрешности.

7.Что такое проверка гипотезы о пуассоновском распределении результатов измерения радиоактивности? Для чего она нужна?

8.Как уменьшить погрешность результата эксперимента?

9.В чем проявляется статистический характер радиоактивного распада?

10.Какими параметрами определяется закон Пуассона?

11.Что такое дисперсия случайной величины? В чем её смысл?

179

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Мухин К.Н. Экспериментальная ядерная физика: Учебник для вузов

вдвух томах. Т. 1. – 3-е изд. М.: Атомиздат, 1974.

2.Радиоактивные индикаторы в химии. Основы метода: Учебное пособие для университетов. / Под ред. В.Б. Лукьянова. М.: Высшая школа, 1985.

3.Лукьянов В.Б. и др. Радиоактивные индикаторы в химии. Проведение эксперимента и обработка результатов. М.: Высшая школа, 1977.

4.Сивухин Д.В. Атомная и ядерная физика: Учебное пособие для вузов. В 2-х частях. Ч.2. Ядерная физика. М.: Наука, 1989.

5.Мурин А.Н. Физические основы радиохимии: Учебник для химических специальностей университетов. М.: Высшая школа, 1971.

6.Краткий курс радиохимии. / Под ред. А.В. Николаева. М.: Высшая школа, 1969.

7.Юдин М.Ф. и др. Измерение активности радионуклидов: Справочное пособие. Екатеринбург: Полиграфист, 1999.

8.Кадменский С.Г., Фурман В.И. α-Распад и родственные ядерные реакции. М.: Энергоатомиздат, 1985.

9.Гусев Н.Г., Дмитриев П.П. Радиоактивные цепочки: Справочник. М.: Атомиздат, 1978.

10.Герфорт Л., Кох Х., Хюбнер К. Практикум по радиоактивности и радиохимии. / Пер. с нем. М.: Мир, 1984.

180