Медведев Физические основы радиохимии 2011

– для четно-нечетных и нечетно-четных ядер; +34 МэВ – для четночетных ядер (четные N и Z).

При этом:

•а1А учитывает примерное постоянство удельной энергии связи ядра, т.е. отражает свойство насыщения ядерных сил,

•а2А2/3 описывает поверхностную энергию и учитывает более слабую связь поверхностных нуклонов в ядре,

Z 2

• a3 A1/3 описывает уменьшение энергии связи ядра, обуслов-

ленное кулоновским взаимодействием протонов,

Константы а1–5, входящие в формулу Вайцзеккера, соответствуют наилучшему описанию экспериментальных данных (рис. 1.1). Анализ кривой, представленной на рисунке, и уравнения Вайцзеккера позволяют сделать ряд выводов относительно свойств ядер и ядерных сил.

1. Из положительного значения AЕсв и ε для всех ядер (т.е. из факта существования ядер) следует, что ядерные силы имеют характер притяжения, которое с избытком компенсирует кулоновское расталкивание протонов между собой.

Из рис. 1.1 видно, что величина удельной энергии связи для большинства ядер лежит в пределах 6–8 МэВ/нуклон (член а1А в уравнении Вайцзеккера), из чего следует чрезвычайно большая интенсивность ядерного взаимодействия. Так, удельная энергия свя-

зи нуклона в ядре 42 Не (ε ≈ 7 МэВ) существенно больше энергии

кулоновского отталкивания двух протонов (Uкул ≈ 0,7 МэВ). Интенсивность сильного взаимодействия превосходит интенсивность

электромагнитного взаимодействия (при сравнении их на расстояниях порядка 10–13 см) в102–103 раз.

Максимум кривой (≈8,8 МэВ/нуклон) приходится на ядра с массовыми числами от 50 до 60, т.е. на ядра элементов середины пе-

22

риодической таблицы Д.И. Менделеева, которые считаются наиболее стабильными ядрами.

Поскольку для большинства ядер энергия связи на один нуклон составляет величину, примерно равную 8 МэВ, то связь между энергией связи и массовым числом можно выразить простым соотношением: ∆Есв ≈ ε А ≈ 8 МэВ. Между тем, a1 = 15,75 МэВ, т.е. примерно в 2 раза больше. Это означает, что примерно половина энергии сильного взаимодействия компенсируется за счет других эффектов.

Так как удельная энергия связи с увеличением массового числа остается практически постоянной, то можно говорить о таком свойстве ядерных сил, как насыщение. Это свойство заключается в том, что каждый нуклид в ядре взаимодействует не со всеми, а только с несколькими нуклонами, т.е. ядерные силы носят короткодействующий характер. Свойство насыщения приводит к приблизительному постоянству плотности ядерного вещества, вследствие чего ядро напоминает несжимаемую каплю жидкости (капельная модель ядра). Расчет плотности ядра приводит к величине примерно 1,8·1017 кг/м3.

2. Уменьшение ε с ростом А связано с поверхностными эффектами. В частности, нуклоны у поверхности ядра не полностью насыщают свои связи, что приводит к уменьшению общей энергии связи на величину, пропорциональную числу нуклонов в поверхно-

стном слое, т.е. пропорциональную А2/3 (член – a2 A2/3 в уравнении

Вайцзеккера). Роль поверхностных эффектов возрастает при переходе к легким ядрам.

3. Уменьшение ε с ростом А, связанное с кулоновским отталкиванием протонов, также учитывается в уравнении Вайцзеккера

отталкивания тем значительнее, чем тяжелее ядро (чем больше заряд ядра). Отсюда для наиболее тяжелых ядер более вероятен процесс деления, а для наиболее легких – процесс слияния (рис. 1.2).

Оба процесса сопровождаются выделением большой энергии в форме кинетической энергии частиц – продуктов реакции.

23

Количественно эффект спаривания учитывается введением поправок. Так, a5 = +34 МэВ – для четно-четных ядер; 0 МэВ – для четно-нечетных и нечетно-четных ядер; –34 МэВ – для нечетнонечетных ядер.

Дифференцированием уравнения Вайцзеккера по Z при постоянном А и приравниванием производной к нулю было получено уравнение, позволяющее по известному А вычислить заряд стабильного ядра-изобара:

Было показано, что если А нечетно и δ в формуле Вайцзеккера равна нулю, то каждому значению А отвечает только одно значение Z0, соответствующее наиболее устойчивому ядру. Для четного значения А данная функция будет двузначной: одна зависимость М = = f(Z) будет характерна для четно-четных ядер, другая – для нечет- но-нечетных, т.е. вместо одной параболы будем иметь две, расположенные одна над другой.

Область расположения стабильных ядер обычно называют долиной стабильности. На рис. 1.3 показана N-Z диаграмма атомных ядер. Черными точками показаны стабильные ядра. С левой стороны от стабильных ядер находятся ядра, перегруженные протонами (протон избыточные ядра), справа ядра, перегруженные нейтронами (нейтрон избыточные ядра). Линия Bp = 0 (Bp – энергия отделения протонов) ограничивает область существования атомных ядер слева (proton drip-line). Линия Bn = 0 (Bn – энергия отделения нейтронов) ограничивает область существования атомных ядер справа (neutron drop-line). Вне этих границ атомные ядра существовать не могут.

Сравнение средней энергии связи на нуклон для различных ядер

с соотношением в них np и анализ рисунка позволили дополнить nn

выводы, сделанные ранее при анализе уравнения Вайцзеккера.

1. Неустойчивость ядер связана с неравновесным значением со-

отношения np в этих ядрах. При этом следует отметить, что с уве- nn

25

личением Z более стабильными становятся ядра с относительно большим числом нейтронов.

2. Четно-нечетные ядра характеризуются большей устойчивостью.

Рис. 1.3. N–Z диаграмма атомных ядер

Интересно, что распространенность элементов с четным Z приблизительно в 10 раз выше, чем с нечетным.

Вместе с тем, капельная модель и формула Вайцзеккера не учитывают некоторые специфические детали структуры атомных ядер. Например, в экспериментальных исследованиях была выявлена периодичность в изменении индивидуальных характеристик основных и возбужденных состояний атомных ядер (таких, как энергия связи, магнитные моменты, четности, некоторые особенности α- и β-распадов, размещение ядер-изомеров среди остальных ядер и др.), которая в рамках капельной модели не может быть описана, так как в основу модели положено однородное

26

распределение нуклонов в фазовом пространстве, т.е. не учитывается оболочечная структура ядра. На самом деле оболочечная структура приводит к неоднородности распределения нуклонов в ядре.

Отклонение энергии связи ядер от плавной кривой на рис. 1.1, предсказываемой капельной моделью, явилось первым прямым указанием на оболочечную структуру ядра. Различие в энергиях связи между четными и нечетными ядрами указывает на наличие сил спаривания в атомных ядрах. Отклонение от «гладкого» поведения величин энергий отделения двух нуклонов в ядрах между заполненными оболочками служит указанием на деформацию атомных ядер в основном состоянии.

Сравнение экспериментально измеренных масс атомных ядер с результатами расчетов по формуле Вайцзеккера показывает, что наблюдаются систематические различия между экспериментальными данными и результатами теоретических расчетов, обусловленные оболочечной структурой атомных ядер. В частности, при сравнении ε для всех четно-четных ядер было отмечено, что ядра, содержащие одно из чисел протонов Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 114 и (или) нейтронов: N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, характеризуются более высокими значениями средней энергии связи на один нуклон.

Эти числа, да и сами ядра были названы магическими. Наиболее

устойчивые ядра, у которых магическими являются и Z и N, называются дважды магическими (4He, 16O, 40Ca, 48Ca, 208Pb являются

стабильными). Особая устойчивость магических ядер объясняется оболочечной моделью ядра. Согласно данной модели нуклоны движутся в ядре в поле, создаваемом окружающими нуклонами и обладающем в нулевом приближении сферической симметрией. Нуклоны в ядре последовательно заполняют энергетические уровни, начиная с самого нижнего. Уровни группируются в оболочки. Согласно принципу Паули на каждой оболочке может находиться не более определенного количества (магическое число) нуклонов данного вида. На ядрах с заполненными оболочками происходит резкое увеличение энергий отделения нуклонов, что характеризует повышенную устойчивость магических ядер. Следует отметить, что особая устойчивость ядер, содержащих магическое число ну-

27

клонов, совпадает с их повышенной распространенностью в природе. Так, процентное содержание изотопа кальция-40 в естествен-

ной смеси изотопов кальция составляет 97 %; при этом ядро 4020 Са является дважды магическим ядром. Более того, предшествующее ядро с Z = N ( 3618 Ar ) составляет 0,3 % в природной смеси аргона, а следующее ядро ( 4422Ti ) в природе вообще не встречается. Особенно устойчивы дважды магические ядра 42 Не2 , 68 О8 , 4020 Са20 , 20882 Pb126 .

Еще одна иллюстрация изменения свойств ядер вблизи магических чисел приведена на рис. 1.4.

Следует отметить, что и оболочечная модель ядра имеет ряд недостатков. Она, как и капельная модель, может быть использована лишь в ограниченных пределах.

Рис. 1.4. Относительная распространенность различных четно-четных ядер с A > 50

Наряду с изложенным выше, существует и другой (упрощенный) подход к объяснению устойчивости и неустойчивости ядер. При этом, кроме средней энергии связи ядра, приходящейся на

28

один нуклон, можно рассматривать энергию связи ядра относительно каких-либо других составных его частей. Оказалось, что в некоторых случаях рассчитанная таким образом энергия связи ядра становится малой, а нередко и отрицательной.

Так, энергия связи 9Be относительно всех девяти нуклонов приблизительно равна 58 МэВ, тогда как энергия связи данного ядра с учетом его распада на два ядра гелия и нейтрон равна всего 2 МэВ.

Другой пример: ядро 238U имеет большую энергию связи, приходящуюся на все его нуклоны, тогда как средняя энергия связи ядра урана относительно гелия и 234Th получается отрицательной: –4,25 МэВ. Это означает, что ядро урана238 склонно к самопроизвольному α - распаду, который должен сопровождаться выделением энергии. Расчеты показывают, что ядра урана неустойчивы не только по отношению к испусканию α-частицы, но и к делению на два примерно равных осколка. Аналогичные примеры можно привести и для случаев нейтронного и протонного распадов.

Главной особенностью β-распада является то, что он обусловлен не ядерными или электромагнитными силами, а происходит под действием слабых сил, поэтому протекает значительно медленнее. Так, самый короткий период полураспада для β-радиоактивных ядер составляет примерно 10–2 с, что более чем в 1021 раз больше ядерного времени. Следует также отметить, что β-распад – процесс не внутриядерный, а внутринуклонный, что будет показано ниже.

Вопросы для самоконтроля

1.Дайте краткую классификацию элементарных частиц.

2.Какие частицы относятся к: а) лептонам; б) барионам?

3.Назовите и дайте краткую характеристику фундаментальным взаимодействиям, к которым можно свести все действующие в природе силы.

4.Каков радиус сил слабого взаимодействия?

5.Каков радиус сил сильного взаимодействия?

6.Что такое барионный заряд?

7.Что такое лептонный заряд?

8.Для каких частиц вводится изотопический спин?

9.Какие элементарные частицы создают электромагнитное поле?

29

10.Какие частицы являются носителями слабого взаимодействия?

11.Какая энергия в МэВ эквивалентна 1 а.е.м. в физической шкале?

12.Какая энергия в МэВ соответствует массе покоя электрона?

13.Перечислите группы нуклидов и приведите в качестве примеров нуклиды, относящиеся к этим группам.

14.Что такое: дефект масс, энергия связи, удельная энергия свя-

зи?

15.Как зависит удельная энергия связи от массового числа?

16.Дайте анализ полуэмпирической формулы Вайцзеккера для энергии связи и сформулируйте основные выводы, вытекающие из этого анализа.

17.Какие нечетно-нечетные ядра являются стабильными?

18.Какие ядра называются: а) магическими; б) дважды магически-

ми?

Задачи для самостоятельного решения

1.Масса нейтрального атома 16О mат(А,Z) = 15,9949 а.е.м. Определите удельную энергию связи ε ядра 16О.

2.Массы нейтрона и протона в энергетических единицах равны со-

ответственно mn = 939,6 МэВ и mр = 938,3 МэВ. Определите массу ядра 2Н в энергетических единицах, если энергия связи дейтрона

Есв(2,1) = 2,2 МэВ.

3. Массы нейтральных атомов в а.е.м.: 16О – 15,9949, 15О – 15,0030,

15N – 15,0001. Чему равны энергии отделения нейтрона и протона в ядре 16О?

4.Α-частица имеет энергию 20 МэВ. Определите скорость этой частицы (см/с) без учета и с учетом зависимости массы от скорости.

5.Рассчитайте кинетическую энергию электрона, который летит со скоростью 2,5·1010 см/с.

6.Используя справочные данные, определите:

а) энергию связи на один нуклон в α-частице;

б) энергию связи нейтрона и α частицы в ядре 22Ne;

в) энергию, необходимую для разделения ядра 18О на 4 одинаковые частицы.

7. Используя справочные данные, покажите, что ядро самария-152 неустойчиво относительно α-распада, и вычислите энергию испускаемой α-частицы.

30