Елохин Автоматизированные системы контроля радиационной обстановки окружаюсчей среды 2012

сти носителей заряда приводит и к различию в коэффициентах диффузии, которые описываются формулой:

D = 0,341 TM (Nσрез (2,13 2TM )),

где параметры Т, М, N имеют тот же смысл, что и для подвижности ионов. Система уравнений, описывающих пространственное распределение ионов того и другого знаков в диффузионно-дрейфовом приближении имеет вид:

241

где Ea – напряженность собственного электрического поля, возникающего при разделении ионов; Eвн – напряженность внешнего поля Земли; μ+, μ– – подвижность положительных и отрицательных ионов соответственно; D+, D- – коэффициенты диффузии положительных и отрицательных ионов; kr = kii; ε – диэлектрическая проницаемость воздуха; ε0 – диэлектрическая постоянная; H(r, z) – мощность дозы (Р/с), создаваемая γ-, β-излучением радио-активной примеси.

Рис. 8.4. Зависимость мощности дозы фотонного излучения от высоты на оси цилиндра (r = 0) (1) и от радиуса при z = const (2)

На рис. 8.4 приведено распределение H (r, z) (1)r=0 , H (r, z) (2)z=const от источника, представляющего собой цилиндр, заполненный радиоактивным газом (вентиляционная труба АЭС). Из анализа распределений следует, что эффективная область ионизации, подобно наблюдаемой при помощи РЛС, создается на высоте не более 100 м от устья вентиляционной трубы и не может подниматься на более значительную высоту кроме как за счет внешних воздействий. В радиальном распределении мощности дозы наблюдается резкий (в пределах порядка) спад при R ≤ 6 м. Таким образом, анализ распре-

242

деления мощности дозы и соответственно концентрации ионов, пропорциональной распределениям H(r, z), затруднения в понимании и объяснении наблюдаемых радиолокационными станциями свечей или столбов от радиоактивных пятен над подстилающей поверхностью и радиоактивными захоронениями, а также устойчивость этих образований не позволяют дать разумной интерпретации экспериментальным данным без привлечения дополнительной информации об электрическом и магнитном полях Земли и особенности атмосферы в ее пограничном слое.

При отсутствии внешнего электрического поля (|Eвн| = 0) пространственное распределение ионов будет обусловлено амбиполярной диффузией [13], а плазма при выполнении условия rD << L,

где rD – радиус Дебая ( rD = kT8πe2 N 1 см при N ≈ GHkr 104 см-3 , H 10-4 Р/ч); L – характерное расстояние,

на котором существенно изменяется концентрация ионов, будет являться квазинейтральной N+ ≈ N-. При этом коэффициент амбиполярной диффузии определяется выражением

Da = (D–μ+ + D+μ–)/(μ+ + μ–),

собственное электрическое поле – формулой

Eа = [(D+ – D–)/(μ+ + μ–)]grad(N)/N, (8.10)

где N = N+= N– определяется решением уравнения дN/дt = GH – –krN2+Da N, где – оператор Лапласа с соответствующими граничными условиями. Для ионов кислорода μO-2 = 0,63, μO+2 = 0,53

(В/см2); DO-2 = 0,016 cм2/c, DO+2 = 0,014 см2/с при grad(N)/N ~ 10-3см-1 и |Ea| ≈ 2 10-6 В/см.

Для сравнения отметим, что электрическое поле Земли вблизи поверхности составляет ~1,3 В/см при ее полном заряде –5,7 105 Кл [14]. Рассматривая всю совокупность ионов (тяжелые, средние, легкие) следует учитывать, что скорость диффузии в этом случае будет определяться в основном тяжелыми ионами. Полагая, что отрицательные ионы на высоту в несколько километров поднимаются за счет их дрейфа в электрическом поле Земли, в уравнениях (8.2), (8.3) последними членами можно пренебречь, а вместо E = = Eа + EВН в уравнении (8.4) ограничиться Eвн. Выражение для плотности тока дрейфа при Ez(z) = |Eвн| будет иметь вид jдр = e(μ+ + μ–)×

243

× N(r, z)Eвн. В поперечном направлении распространение ионов без учета собственного магнитного поля, создаваемого током J, и вертикальной составляющей магнитного поля Земли могло бы осуществляться за счет амбиполярной диффузии, однако как возникновение азимутальной составляющей Hϕ собственного магнитного поля, так и наличие вертикальной составляющей Hвн магнитного поля Земли могут изменить поведение ионов. При больших значениях продольного тока jдр возникающее собственное магнитное поле Hϕ может удерживать равновесную конфигурацию плазмы. При локальном увеличении тока возможно образование перетяжек (так называемый z-пинч) [13,15].

Для описания равновесной плазмы, покоящейся в постоянном магнитном поле, воспользуемся уравнениями магнитной гидродинамики [15]:

где P – газокинетическое давление плазмы P(r) = N(r)kT; с – скорость света; j – вектор плотности тока; Н – вектор напряженности магнитного поля. В цилиндрической системе координат при jr = 0, jφ = 0, jz = jдр, Hz = 0, Hr = 0 система уравнений (8.11)−(8.13) позво-

ляет найти зависимость равновесного радиуса rа от плотности тока jz. Решая систему при условии P(ra) = 0, находим:

Hϕ = 2 J cr; J = jz πr2 ; jz = e(μ+ +μ− )Ez N;

Из последнего выражения следует, что уменьшение равновесного радиуса rа может быть обусловлено как уменьшением температуры Т, так и ростом напряженности электрического поля Ez, причем последнее может быть связано с локальной неоднородностью (слоистостью) атмосферы. Для плотности тока jz 2,4 10-13

244

А/см2 ( N 106 см-3) равновесный радиус составляет ra ~ 1010см, т.е. значительно больше, чем характерный размер поперечной плазмы L ~ 103 м. Напряженность азимутального магнитного поля, создаваемого этим током, при характерном радиусе r ~ L, определяется Н ~ 1,2.10-8 А/м. Отметим, что нормальная составляющая магнитного поля Земли составляет ~20 А/м [16]. Таким образом, если с помощью азимутального магнитного поля, обусловленного дрейфовым током ионов в электрическом поле Земли, и удается объяснить появление перетяжек на большой высоте в плазменных столбах, где низкая температура очевидна и, по-видимому, имеет место слоистость атмосферы, что может приводить к локальному росту Ez , то устойчивость плазменного образования в приземном слое атмосферы на основании этого механизма объяснить невозможно.

Рассмотрим влияние нормальной составляющей магнитного поля Земли на формирование плазмоида. На ион массой М, дви-

гающийся со скоростью v = 2k TM поперек магнитного поля,

действует сила Лоренца, что приводит к его вращению вокруг силовой линии с циклотронной частотой wc = |e|В/М ≈ 150 с-1 (В – магнитная индукция) и ларморовским радиусом rL = v/wc ≈ 60 см. При характерной длине свободного пробега lm ~ 1/(σgN0), где N0 – концентрация нейтральных молекул в атмосфере (2,7.1019см-3), σg ~ 10-15 см2 – сечение столкновения молекул в газе [16], среднее время между столкновениями τ ~ lm/v ≈ 10-9с. Дрейф и диффузия ионов за счет собственного электрического поля плазмы в поперечном направлении к магнитному полю осуществляются с подвижностью μ и коэффициентом диффузии D соответственно равными [13]: μ = = μ/(1 + τ2ωс2), D = D/(1 + τ2ωc2), которые при заданных условиях слабо отличаются от их продольных значений. Но поскольку собственное электрическое поле плазмы значительно меньше внешнего, диффузионно-дрейфовый перенос зарядов в поперечном направлении значительно меньше продольного, что и позволяет говорить об относительной стабилизации плазмоида в поперечном направлении, т.е. поперечные размеры плазмоидов будут определяться поперечными размерами области радиоактивного загрязнения (подстилающей поверхности) или факела выбросов радиоактивной примеси в атмосферу.

245

8.2. Определение мощности источника радиоактивных выбросов по коэффициенту отражения электромагнитных волн

Рассмотрим распространение электромагнитных волн в холодной плазме. Изучение распространения электромагнитных волн в плазме сводится к решению двух задач, первая из которых состоит в нахождении зависимости диэлектрической проницаемости ε'(N(r)) от концентрации заряженных частиц, характеризующих плазму, вторая – в решении волновых уравнений при заданной функции ε'(r) и определении коэффициента отражения электромагнитной волны.

В рамках элементарной теории зависимость диэлектрической проницаемости ε, проводимости σ от концентрации электронов и ионов имеет вид:

ε' = ε– (4πσ/ω)i,

где i – мнимая единица. В приближении, отвечающем элементарной теории, для ионной плазмы с равной концентрацией ионов того и иного знаков получаем [17]:

ε = 8πе2N/М(ω2 + ν2эф ); σ = 2e2Nνэф/M(ω2 + ν2эф ),

где ω = 2πc/λ0; λ0; c – длина волны и скорость света в вакууме соответственно. Для ионов νэф описывается выражением:

νэф ≈ 4 109 (Nm 2,7 1019 ) T300.

При распространении электромагнитных волн диэлектрическая проницаемость ε и проводимость σ играют вспомогательную роль. Непосредственный же физический смысл имеют показатели преломления n и поглощения χ. Их значения в предельных случаях

χ = 2πσω ε. Более корректные выражения для ε, σ, n и χ полу-

чают в рамках кинетической теории.

Распространение электромагнитной волны в среде в общем случае описывается системой уравнений Максвелла, которая после несложных преобразований сводится либо к уравнению для электрического поля:

246

либо для магнитного H. Рассматривая прохождение электромагнитной волны через ионизированный слой воздуха в пограничном слое атмосферы, ограничимся частным случаем нормального падения на слой неоднородной среды. В этом случае поля E и H будут зависеть лишь от одной координаты z и уравнение (8.14) принимает вид

d2E/dz2 + (ω2/c2)ε'(ω,z)E = 0,

где под E понимается компонент Ex или Ey (из уравнения сразу следует, что Ez = 0, если ε'(ω,z) ≠ 0). Строгие решения последнего уравнения могут быть получены лишь для определенных зависимостей ε'(ω, z), но приближенное решение, выражаемое аналитической зависимостью, находят в рамках приближения геометрической оптики. Суть этого приближения состоит в том, что если в неоднородной среде ее свойства слабо изменяются на длине волны, то в небольшой области распространение волны близко к распространению в однородной среде с показателями преломления и поглощения, соответствующими данному участку неоднородной среды. Условие медленности изменения свойств на длине волны, т.е. условие применимости приближения геометрической оптики, можно считать выполненным при (dε/dz)λ << ε, где λ = λ0/n – длина волны в среде, или в более общем случае:

где λ0 = 2πcω – длина волны в вакууме, и, для простоты, поглощение предполагается отсутствующим.

Условие (8.15) не выполняется в случаях, если ε → 0, n → 0 или dn/dz → ∞. И в том и другом случаях имеет место полное отражение электромагнитной волны. В частности, отражение имеет место при наличии резких градиентов, причем коэффициент отражения не слишком мал только тогда, когда переходная область от одного значения n к другому ~λ0/2π и меньше. Оценим мощность дозы фотонного излучения, а также концентрацию ионов в случае отражения электромагнитной волны от ионной плазмы при длине волны λ = 10 см, ω = 1,9 1010 с-1. Величина νэф при атмосферном давлении и Т = 300 К равна 4 109 с-1, концентрация ионов, при которой ε = 0,

247

N = Mω2/4πe2 ≈ 6,55 1015 см-3. Мощность дозы в этом случае должна составлять H ≈ 2,89 1016 P/c. Для электрон-ионной плазмы соответствующие величины равны Ne = 9,1 1012 cм-3, H ≈ 1010 P/c. Эти оценки убедительно показывают, что первое условие (ε → 0 или n → 0) не может быть выполнено, поскольку мощность дозы γ- излучения реальных выбросов радиоактивной примеси даже при запроектных авариях на АЭС во много раз меньше найденных значений.

Из анализа распределения H(r) (см. рис. 8.4 (2)) следует, что область, где градиент мощности дозы наибольший, равна примерно двум диаметрам вентиляционной трубы. Если учесть, что пространственное распределение мощности дозы β-излучения имеет подобное ограничение (пробег электрона в воздухе с Ee ≈ 0,5 МэВ составляет Re= 1,5 м), то становится очевидным, что фронтальное распределение ионов в источнике будет иметь достаточно резкую границу. Более того, столь же резкую границу будут иметь и плазменные образования. Это следует из того, что размытие фронта ионной плазмы за счет амбиполярной диффузии в отличие от нейтральных частиц не может быть больше радиуса Дебая, а наличие вертикальной составляющей магнитного поля не увеличивает диф- фузионно-дрейфовые параметры переноса. Поэтому после достижения равновесия и стабилизации во внешнем магнитном поле плазмоида его фронтальная поверхность будет также иметь резкую границу, что и позволяет использовать градиентный механизм отражения электромагнитных волн от ионизированных образований.

Если dn/dz резко изменяется на расстоянии, малом по сравнению с длиной волны c/ω = λ0/2π, то эта область изменения n может быть аппроксимирована скачком, для которого справедливо следующее выражение для коэффициента отражения – отношение амплитуд отраженной электромагнитной волны к падающей [17]:

248

где начало координат z = 0 помещено в точку скачка; (dn/dz)1,2 –

производная dn/dz = –1/2ε-1/24πe2/Mω2(dN/dz) ≈ –2πe2/Mω2(dN/dz),

так как ε ≈ 1. В общем случае коэффициент отражения |R| определяется формулой

(8.17)

Если (z2 – z1)/λ целое число, то 4(z2 – z1)/λ всегда четное и cos(2πт) = (–1)2m ≈ 1, где т = 2(z2 – z1)/λ и выражение (8.17) при-

нимает вид (8.16). Зависимость эффективной площади рассеяния σэф(λ) от длины волны λ, приведенная на рис. 8.5 [1], величина которой согласно уравнению радиолокации [18], [19]: Pr/Pt = Gt(σэф/4πL2).(Ar/4πL2), пропорциональная квадрату коэффициента отражения, показывает, что в сантиметровом и в начале дециметрового диапазонах длин волн зависимость R2(λ) растет с ростом длины волны λ. В последнем выражении Рr – мощность принятого сигнала, Pt – излучаемая мощность (R2= Pr/Pt), Gt – усиление антенны на передачу, Аr – эффективная площадь поглощения приемной антенны, L – дальность объекта.

Рис. 8.5. Зависимость модуля коэффициента отражения ||R|| от длины волны. Результаты расчета автора (1), экспериментальные данные работы [1] (2)

249

По-видимому, оптимальная длина волны, при которой коэффициент отражения будет максимальным, должна находиться в метровом диапазоне. Это следует из того, что условие неприменимости приближения геометрической оптики (8.15) при распространении электромагнитной волны в неоднородных средах, т.е. условие, при котором будет иметь место ее отражение, выполняется тем эффективнее, чем больше длина волны. Для санти- и дециметрового диапазонов длин волн эффект также должен наблюдаться при целом (z2 – z1)/λ, где (z2 – z1) поперечный размер плазмоида, что не противоречит экспериментальным данным.

Для оценки коэффициента отражения |R| воспользуемся уравнением амбиполярной диффузии ионов, в котором при выполнении условия Da N ~ DaN/L2 krN2 пренебрежем третьим членом и, ограничиваясь асимптотическим решением полученного уравнения,

Из последнего следует, что чем резче выражен фронт в распределении мощности дозы от радиоактивной примеси, тем больше величина производной dH/dr и тем выше коэффициент отражения

|R|.

Используя выражение для объемной активности радиоактивной примеси, определяемое формулами (6.48), (6.49), (6.65) и, представляя мощность дозы γ-, β-излучения последней выражением [20]

марную мощность дозы, мощность выброса PВ (см. рис. 8.6) можно определить по измеренному коэффициенту отражения |R|, представляя его также в виде:

где S0(x, z) дается формулой (6.65) при PВ = 1.

250