Елохин Автоматизированные системы контроля радиационной обстановки окружаюсчей среды 2012

Граничные условия (7.63), (7.64) записывают, исходя из соображений симметрии задачи, условия (7.65) отвечают состоянию покоя механической системы, уравнения (7.66), (7.67) соответствуют плоскому фронту воздушного потока, в котором отсутствуют поперечные пульсации, а условия (7.68), (7.69) сформулированы с учетом результатов работы [31].

Уравнение (7.61), представляющее собой условие несжимаемой жидкости (div(U) = 0), являясь уравнением первого порядка, требует при определении V(r, z) одного граничного условия (7.64) или V|r=1 = 0 из (7.65), поэтому чтобы удовлетворить тому и другому условиям при численном решении этого уравнения целесообразно ввести искусственную вязкость и рассматривать как уравнение второго порядка. Граничное условие на твердой стенке (7.64) для продольной скорости справедливо, как при ламинарном, так и при турбулентном потоках, движущихся в канале. Однако при численном решении системы реализация этого условия требует очень мелкого шага в пристеночной области. Последнее связано с тем, что в δ-окрестности стенки возникает ламинарный подслой, в котором скорость потока растет линейно с расстоянием от стенки [29]. Уменьшение шага численной сетки ведет к общему увеличению числа шагов, что, в свою очередь, требует увеличения оперативной памяти и ведет к увеличению времени счета. Чтобы избе-

221

жать этого, в пристеночной области расчеты проводят с помощью пристеночных функций [32]. При решении рассматриваемой задачи найдем толщину слоя δ(z) как функцию расстояния по потоку и значение скорости потока в этой точке Uδ, используя аналитические решения, полученные для плоского ламинарного пограничного слоя на пластине, при выполнении условия δ << R0:

где α = 11,5, ρ – плотность газа (воздуха), τω – напряжение трения на поверхности пластин. Величину τω для пластины определяют по формуле Блазиуса [29]:

где μ = ρv0 – динамическая вязкость, U∞ – скорость набегающего потока (в нашем случае U0). Подставляя (7.72) в (7.70), (7.71) и сравнивая полученное, находим:

Таким образом, для любого z ≠ 0 по потоку можно найти Uδ(z) и δ(z). При этом максимальное значение Uδ(z) будет равно для Z = = Zmin = Z – шагу по длине:

δ > δmin. При этом в диапазоне (R0 – δ) ≤ r ≤ R0 продольная скорость потока как функция радиуса изменяется от нуля при r = R0 до Uδ линейно рис. 7.39.

Используя формулы линейной интерполяции и формулу (7.74), находим:

222

а для R0 ≤ r ≤ (R0 – ○)

Поскольку δmin << R0, то турбулентный поток занимает практически весь канал, оставляя на ламинарный подслой лишь пристеночную область. Таким образом, определяя пристеночные функции (7.73), (7.74) и используя формулу Блазиуса, вместо граничного условия (7.65) для W будем использовать условия (7.70), (7.71). Решение системы уравнений (7.59)−(7.74), (7.75), (7.76) осуществлялось численно итерационным методом, в силу ее нелинейности с критерием сходимости вида:

и аналогично для функций Vi,j,Еi,j, εi,j. Решение системы приведено

ввиде графиков для продольной W(r, z) и поперечной V(r, z) скоростей воздушного потока как функций радиуса на различных расстояниях z от входа в канал (z = 0). Анализ решения системы позволяет сделать следующие выводы. В турбулентном воздушном потоке, распространяющемся в цилиндрическом канале с началь-

ной скоростью U0 на входе, как и в свободных струях [12] наблюдается три участка:

•начальный, в котором изменения в радиальном распределении продольной скорости наблюдается лишь в пристеночной области, а

вобласти оси канала скорость изменяется слабо (рис. 7.40, графики 1−4). В радиальном распределении поперечной скорости на этом участке абсолютная величина последней на 2−3 порядка

223

меньше продольной, возрастая к периферии (r → 1) рис. 7.41, 7.42. В решении на этом участке наблюдается хорошая сходимость, но число итераций увеличивается с ростом числа слоев j, на которых находят решение;

Рис. 7.40. Зависимость радиального распределения продольной скорости W(r, z) воздушного потока в цилиндрическом канале радиусом R0 на различном расстоянии Z = J×dz от входа в канал, dz = 10 см, J = 1,2,3…7

Рис. 7.41. Зависимость радиального распределения поперечной скорости V(r, z) воздушного потока в цилиндрическом канале радиусом R0 на различном расстоянии Z = J×dz от входа в канал, dz = 10 см, J = 1, 2, 3

224

7.44, 7.45. В этой области в отличие от начального и основного участков наблюдается плохая сходимость решения. Поэтому при заданном числе итераций ~ 400 находили итерацию с минимальной погрешностью, определяя ее как решение на данном слое, и затем переходили на другой слой j;

Рис. 7.44. Зависимость радиального распределения поперечной скорости V(r, z) воздушного потока в цилиндрическом канале радиусом R0 на различном расстоянии Z = J×dz от входа в канал, dz = 10 см, J = 7, 8, 9

Рис. 7.45. Зависимость радиального распределения продольной скорости W(r, z) воздушного потока в цилиндрическом канале радиусом R0 на различном расстоянии Z = J×dz от входа в канал, dz = 10 см:

1 – J = 50; 2 – J = 95; 3 – расчет по формуле [9]

226

• основной, в котором происходит установившееся движение воздушного потока. Начало этой области составляет 15−20 калибров (диаметров канала). Характерное радиальное распределение продольной скорости в этой области приведено на рис. 7.43. Она характеризуется плавным спадом скорости по радиусу и лишь в пристеночной области резко стремится к нулю. На этом участке сходимость решения достигается за две-четыре итерации. Результаты расчетов установившегося потока на основном участке удовлетворительно согласуются с распределением, рассчитанным по логарифмической формуле (3.7) при V* = 0,325.

Результаты расчетов W(r, z), V(r, z) позволяют найти оптимальную длину базы Lб, величину которой можно ограничить Lmax ≈ 70− 90 см. Определение длины базы позволяет закончить постановку задачи о переносе облака ионов по цилиндрическому каналу. Раскрывая скалярное произведение векторов в уравнении (7.49) и учитывая условие несжимаемости жидкости, приведем систему уравнений (7.49)−(7.57) к безразмерному виду, определяя безраз-

мерные переменные и функции следующими соотношениями: t′ = = t/tmax, q′=qn/q0, r0′= r0/R0, ϕ′ = ϕ/EgR0, τ′0 = τ0/tmax, r′ = r/R0, z′= z/Lmax,

W′ =W/U0, V′=V/U0. Опуская штрих у переменных и функций и учитывая, что E = –grad(ϕ), Ez = −∂ϕ∂z , Er = −∂ϕ∂r , получим:

∂∂qtn = −Aqn − B ∂ϕ∂r ∂∂qrn −C ∂ϕ∂z ∂∂qzn + DW (r, z) ∂∂qzn +

227

С учетом граничного условия (7.65) (V|r = 1 = 0) граничное условие (7.56) в безразмерных переменных принимает вид:

Граничные условия на входе и выходе из канала для потенциала запишем следующим образом:

Решение системы уравнений (7.78)−(7.87) осуществлялось численно с использованием итерационного метода. Для каждого момента времени предварительно методом Зейделя [33] находим решение уравнения Пуассона (7.79) с граничными условиями (7.84) − (7.87), используя в качестве начального приближения для потенциала (в безразмерном виде) выражение

после чего, для указанного момента времени, находили решение

qn(r, z, t).

Заметим, что если начальное приближение для потенциала задавать в виде последнего выражения, то величину граничного электрического поля можно найти из условия Eg ≥ dϕ0/dr при z = 0 и r = R0 (r = 1). Дифференцируя последнее и подставляя указанные значения аргументов в полученное выражение, находим:

228

что дает возможность определить поверхностную плотность заряда

для σ0 можно также получить, дифференцируя формулу для начального приближения потенциала по переменной r и полагая z = 0

С целью выявления диффузионно-дрейфовых особенностей переноса ионов по каналу, а также влияния неравномерности в пространственном распределении продольной и поперечной скоростей воздушного потока, расчеты проводились как при W(r, z) ≡ 1, V(r, z) ≡ 0, так и при неравномерных распределениях W(r, z), V(r, z) на заданном слое j в различные моменты времени К при начальной скорости воздушного потока U0 = 5 м/с. Временное распределение

получали при Tmax = 0,1 с, Kmax= 100, t = Kdt, dt = Tmax/Kmax.

Анализ результатов сводится к следующему: за счет диффузионных процессов при переносе облако ионов трансформируется так, что концентрация ионов в центре облака уменьшается, а ядро облака приобретает вид «корзины» (рис. 7.46, б), широкое отверстие которой расположено вниз по потоку.

Уменьшение концентрации ионов в области r ~ 0 в радиальном распределении обусловлено как их «расталкиванием» за счет собственного электрического поля, так и за счет поперечной скорости воздушного по тока, возрастающей вниз по потоку. Ассимметрия распределения концентрации ионов относительно плоскости перпендикулярной оси цилиндра (оси R на рис. 7.45,а) соответствует тому, что воздушный поток «поджимает» облако с наветренной его части, подавляя эффекты диффузии и дрейфа ионов, и, напротив, действует с ними в одном направлении с подветренной стороны.

229