Аверянов Введение в оператсионные системы и основы программирования 2015

Последовательность итераций метода деления отрезка пополам

В качестве решения, для определенности можно принять

ξср. Значения погрешности ε и невязки δ определяются из со-

ображений необходимой точности решения задачи и входят в блок

Рис. 4.12. Решение уравнения делением отрезка пополам

ξ

рицательного на положительный, если функция возрастает и с положительного на отрицательный, если функция убывает.

Соответственно, на концах половины отрезка, которая содержит корень уравнения, функция будет иметь разные знаки, а на концах половины отрезка, не содержащей корня, – одинаковые знаки.

Произведение чисел с разными знаками отрицательно, тогда как произведение чисел с одинаковыми знаками положительно.

На первой (1) итерации (рис. 4.12) функция меняет знак на от-

На второй итерации (2) функция меняет знак уже на отрезке ср , (выполняется критерий: ср 0), и точка ср ста-

новится новой точкой . Все последующие итерации выполняются по той же схеме.

Условием применимости метода деления отрезка пополам является непрерывность функции на заданном отрезке , и наличие единственного корня функции на этом отрезке.

Сначала строится хорда (прямолинейный отрезок) соединяю-

зом, определяется приближенное значение корня уравнения – точка и соответствующая ей на графике точка .

232

а

б

Рис. 4.13. Метод хорд: а – опорная точка A; б – опорная точка B

Далее строится хорда, соединяющая точку с опорной точкой ( или ) и позволяющая найти следующие приближение корня уравнения – точку , и т.д. В результате последовательного построения хорд (см. рис. 4.13, б) формируется последовательность

функции в опорной точке со знаком второй производной функции

В примере, представленном на рис. 4.13, указанному критерию

рис. 4.13, а), то последовательность точек пересечения с осью выйдет за пределы отрезка , .

233

Соответственно, координаты пересечения точки пересечения хорды и точек пересечения последующих хорд осью будет определяться выражениями:

;

;

4.3.4. Метод касательных (метод Ньютона)

Метод касательных используется для решения уравнения (4.24), если кривая функции на конечном (или бесконечном) отрезке монотонно возрастает или убывает без точек перегиба, т.е. на от-

Критерий выбора опорной точки – совпадение знака функции в

По своей сути этот метод похож на метод хорд и отличается только способом построения линейных функций, с помощью кото-

234

рых определяется очередное приближённое значение корня уравнения – вместо хорд используются касательные (рис. 4.14).

Аналогичным образом получаются все последующие приближения:

. (4.31)

Метод касательных является условно сходящимся методом, для его сходимости в области поиска корня должно быть выполнено условие:

в противном случае сходимость будет лишь в некоторой окрестности корня ξ. Процесс решения завершается на итерации с номером

235

при достижении заданной погрешности и невязки, как и для метода хорд.

4.3.5. Метод секущих

Модификацией метода касательных является метод секущих,

В этом случае достаточно вычислить значение производной в опорной точке для нахождения точки по формуле (4.28) и использовать это значение для построения последовательности секущих линий и определения последовательности приближенных зна-

Рис. 4.15. Метод секущих. Опорная точка

В отличие от метода касательных для вычисления производной

236

Из соотношения (4.28) и с учетом (4.33) и получается формула метода секущих:

. (4.34)

Обычно в методе секущих требуется больше итераций, чем в методе касательных, но зато каждая итерация выполняется значительно быстрее, так как не требуется вычислять производные, и поэтому часто при таком же объеме вычислений можно сделать больше итераций и получить более высокую точность.

Задачи по теме «Решение нелинейных уравнений»

Вычислить корень уравнения (4.24) двумя различными методами, указанными в задачах и сравнить полученные результаты.

Задача 4.10. Метод дихотомии и метод хорд. Задача 4.11. Метод дихотомии и метод Ньютона. Задача 4.12. Метод дихотомии и метод секущих. Задача 4.13. Метод хорд и метод Ньютона. Задача 4.14. Метод хорд и метод секущих. Задача 4.15. Метод Ньютона и методом секущих.

Варианты данных к задачам 4.10 – 4.15

237

4.4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ

4.4.1. Интерполяция функции полиномами степени N

Ранее было показано, что по двум заданным точкам координатной плоскости можно построить интерполяционный полином пер-

График такого полинома представлен на рис. 4.16.

238

Рис. 4.16. Интерполяционный полином степени N

Рис. 4.17. Интерполяция функции полиномом

Форма представления интерполяционного полинома (4.35) или (4.36) называется канонической. Чтобы записать полином в канонической форме, нужно вычислить коэффициенты ai, где i – номер точки, изменяющийся от нуля до N. Для этого решается система

239

Рассмотренные полиномы называются интерполяционными, поскольку служат для интерполяции функций. Если функция f(x) не

Такую замену называют аппроксимацией. Если требуется, чтобы аппроксимирующая функция точно совпадала с f(x) во всех , то

ответственно, каждый – это узел сетки. В связи с этим таблично заданные функции называют так же сеточными. Узлы интерполяции обычно совпадают с узлами сетки.

Сетка узлов называется равномерной, если построена таким образом, что:

. (4.38)

Чем ниже степень полинома, интерполирующего функцию, тем проще вычислительные модели, построенные на его основе. Можно интерполировать таблично заданную функцию f(x) не одним полиномом степени на всем отрезке , , а несколькими полиномами более низких степеней на коротких участках этого отрезка. Такая интерполяция называется кусочной.

240