Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Савёлова Методические указания к решению задач по вероятностным разделам 2014

.pdf

Скачиваний:

108

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

1.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

1.38.

ξ = √2+1,

ξ = ∞.

1.37.

{η =

} = (

η = .

1.39.

– снова закон Пуассона,

ξ = −

1.41.

ξ = 2 − .

1.40.

{ν = 1} =

;

{ν =

} =

при

= 2,3,...

Замечание:

В задачах 1.33, 1.35, 1.36 использована формула

< 1 ,

которая получается

дифференцированием= ,

по

(1 −

)

формулы

1.42.

−

ξ = 0,

ξ =

(

) = √

1.43.

1.44.

ξ =

ξ ξ =

( ) .

| ζ| | |

( ) ,

1.45.

1 2 .

Равенство имеет место для

−

1.46.

ξ =

√

= 1.13

= √1.5

≈ 1.22 .

{τ } =

{τ.

2 } =

{ τ 2 } =

−

1.47.Для круга:

( ) =

0 ,

< 0;

;

0 <

;

1.48.

(

) =

( )

, 0 <

Для шара соответственно( ) = 2

, 0 <

< .

1.49.

1 −

{

< ξ <

} = 1− Ф(2) = 0.0455 .

{

}

| |

при

< 0,

при

≥ 0.

< 0

( ) = 1−

Если

> 0

( ) =

то

1.50.

η <

то

если

−

;

( ) =,

| |

( ⁄ ) ;если

то

б)

если

< 0

( ) = 0,

≥ 0

( ) =

−

( ) =

− −

+0 ;

√

−

при ≥ 0.

0 ,

1.51.

τ =

мин,

< 0;

( ) =

(1+ ),

0 <

;

1.52.

< 1;

б)

( ) =

(

−ln( )),

0 <

( ) =

−

в)

−

+ −

, 0 < < ;

−ln(

)

1.53.

(

) =

(

)

) +

−

, 0 <

< 1.

( ) =

при

≤ 0;

Ф( ⁄2)

при

> 0.

1.54.

( ) =

при

≤ 0,

τ =

1 −

при

> 0.

1.55.

(

) =

(

)

,σ

= σ| |.

1.56.

√2πσ

| |

1.57.

a)ξ = 0,

ξ =

= 0,1,...,

−1 ;

б)

{η =

} =

1.58.

{η =

} =

(1−

0,1,..., =

(

= 1⁄ ξ).

1.59.

( ) = 1−

1−

, 0 <

< .

< 1.

1.60.

( ) =

( ) = 2

, 0 <

1.61.

{ξ+η =

} = (

− 1)2

= 0,1,... .

{ξ+η = } =

(

− )!

(

)

(

)

1.62.

( ) =

;

б)

( ) =

√

;

в)

( ) =

1.63.

где

2 ⁄

Г(

⁄2) .

1.64.

( ) = ∑

(

−

(

) =

√

−

, |

| <

;

1.65.

(

| ) =

−

| <

−

;

( ) = [ ( )] ;

( ) = 1 −[1 − ( )]

1.66.

(

) =

[

(

)]

( ) ;

(

) =

[1−

(

)]

( ).

(

)) ;

( ) = (

) ;

( | ) = (

1.67.( |

, ) =

3(1+

)

;

( ) =

> 0.

(1+

)

(1+

)

1.68.

( ) = 1 −

cos

)

, 0 <

< 2

;

ξ = .

(

) = ∫

( ,

| ,

> 0 ;

( ) = −ln (

0 <

53< 1.

1.70.

( ) =

,где с

= Г( ).

1.69.

а) | ( ) =

( )

, 0 < < ∞;

,0 < < 1;

б) | ( ) = 1

в)

< ∞;

( ) = π(1+ ),−∞ < < ∞.

1.71.

( ) =

(− )

, ( ) =

( + ) ( ) .

∫( )

1.72.(ξ, η) = .

1.73.(ξ, η) = 0.

(ξ ,η ) =

∑

,если

= 1,

(ξ ,η ) =

√

(ξ, η) = −

( )

= .

1.75.

∑

√

σ σ

Некоторые другие величины

ξ = , ξ = , η = , η =

1.76.Да,

{| ξ | } { |ξ | } = |ξ | → 0,

где = | |.

1.77.Да. Выполнены условия теоремы Маркова:

ξ =

ln → 0 при → ∞.

1.78.Нет. Математическое ожидание не существует:

\|ξ \| =		= ∞.

1.79.

ξ =

ξ ,ξ

→ 0

при

→ ∞.

(

1.81.

(ξ( ),ξ( ′)) =

)

1.80.

При

ибо

∑

1.82.

1.83.

(

)

{ξ }.

Для

{|ξ | }

→ 0 при

→ ∞длялюбого > 0.

доказательства второго утверждения рассмотрим последова-

тельность случайных величин ξ

(

= 1,2,…) с плотностями

Очевидно, что

= 0,

(1+

,−∞ <

< +∞.

( ) =

{|ξ | < } = 2

= 1−

→ 1 при → ∞,

(1+

)

(

) 0

(1+

так что

Однако

=∞.

(1+

| |)

1.84.

Пусть ζ =

⁄

( ) =

−

Замена

⁄

( ) =

δ(

−

)

⁄

exp −

−

;

√

( )

1.85.

замена

1.86.

φ ( ) =

+2∑

s .

1.87.

φ ( ) =

( ) =

( )

1.88.

φ ( ) =

+1 −

1.89.

lim→

(

) =

(

→

…−

…0…

…

φ(0) =

= 1, ξ

…

… …

… .

Указание: см. задачу 1.85.

1.90.= Ф(3,16) 0,998 .

1.91.1,88∙10 .

1.92.Для свойства А вероятность равна Ф(2) = 0,955 . Для свойства А вероятность равна Ф(1) = 0,68 .

1.93.= Ф(1,2) 0,77 .


1.94.	φ ( ) = cos√	, lim	φ ∑	( ) =		⁄
характеристическая функция нормального→					распределения с		= 0	и
σ =	. Отсюда следует, что для любого > 0
σ =	. Отсюда следует, что для любого > 0
	lim	1	ξ <	= Ф		,

→√2

азакон больших чисел требует, чтобы при любом > 0 эта вероятность стремилась к единице.

Глава 2. Математическая статистика

Поскольку всё большее число специалистов в современном мире имеют дело с теоретическими и (особенно) прикладными задачами вероятностной и статистической природы, очень важно, чтобы указанные курсы поддерживали устудентов повышенный интерес.

М.Я. Кольберт, Ю.М. Сухов

2.1. Смещённость, эффективность и состоятельность оценок. Метод моментов (ММ) и метод максимального правдоподобия (ММП) получения оценок

Пусть ξ (−∞;+∞) – случайная величина; θ Θ – множество значений параметра; ( ,θ) – плотность распределения случайной величины.

= (ξ ,…,ξ ) – выборочный вектор, представляющий собой взаимно независимые компоненты, имеющие одно и то же распре-

деление. Величина

( ,θ) =

( ,θ)

называется функцией правдоподобия.

Оценка ( ) величины τ(θ) называется несмещенной, если

( ) = τ(θ), θ Θ.

Несмещенная оценка ( ) величины τ(θ) называется эффективной, если для нее выполнено условие

( ) =	[τ′(θ)]
		( , )		.

Оценка		параметра θ называется						состоятельной, если
величине( ) θθпри	→ ∞		( )			сходится по вероятности к
( )	( )	, т.е. оценка
при неограниченном увеличении объема выборки n.
Оценкой ММП θ параметра θ называется корень уравнения
		,θ = max			( ,θ).					θ ,…,θ
ММ состоит в нахождении неизвестных параметров
распределения случайной величины				ξ	с плотностью
из системы уравнений									( ,θ ,…,θ )
гдеα = ξ =	α θ ,…,θ =		, = 1,…, ,							,
		,θ ,…,θ			–момент порядка
–выборочный момент порядка				:		=	1	.

Примеры решения типовых задач

Пример 2.1

Случайная величина ξ имеет неизвестные параметры – матема-

тическое

ожидание

дисперсию

σ .

Для

предложенаоценка

дляσ

− оценки =

(

−

) ,

( −

) .

−1

Исследовать смещенность приведенных оценок.

Решение. Пользуясь определением, находим

= ;

(

−

) =

[(

−

)+(

−

)]

− 1

−1

(

− )

+2(

−

)

( −

(

−

)(

−

) =

ξ−

ξ+

ξ =

ξ.

Из последнего результата имеем:

−1

ξ.

При исследовании оценок

использовалось свойство неза-

висимости элементов выборки.

Ответ: оценки

– несмещенные, а

– смещенная.

Пример 2.2

Пусть ξ равномерно распределена в интервале

с плот-

неизвестный параметр рас-

ностью

, длина интервала θ –

0 <

< θ

пределения( .,θДля) =предложенных оценок параметра θ

(

) =

;

(

) = max

;

( ) = +1 ( )

исследовать свойства смещённости и состоятельности.

Решение. Для (			) легко найти		θ
	2		4
( ) =		ξ = θ,	( ) =	ξ =	3	.

Для оценки ( ) функция распределения выглядит так:

( ) = ( < ) = θ ,

плотность распределения:

( ) =

0 <

< θ.

Тогда

вычисляем

θ,

( +1) ( +2)

Рассмотрим третью оценку (

) =

( ), для нее получаем

= θ,

Из найденных

( +2)

–

характеристик видим, что оценки

несмещенные, оценка

– смещенная, но асимптотически( ) (

не) -

смещенная. Все три приведенные( )

оценки параметра θ состоятельны,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]