Савёлова Методические указания к решению задач по вероятностным разделам 2014
.pdf
Решение. Элементы матрицы |
можно найти с помощью непо- |
|||||
средственного вычисления. Действительно, |
= |
, |
откуда для |
|||
элемента |
( |
) получаем равенство |
|
|||
( ) = |
( |
) ∙(1 −α) + ( |
) ∙β = |
( |
)(1 −α) + |
|
+ 1− ( |
|
) ∙β = β+(1 −α −β) ∙ ( |
). |
|
|
|
Это соотношение рекуррентно по k с начальными значениями
( |
) = 1 и |
( |
) = 1 −α. Значит, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
( |
) = |
+ |
(1 −α −β) , |
|
|
||||||
|
+ = 1, + ∙ (1− α− β) = 1− α. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Отсюда следует, что |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
( |
) = |
β |
|
+ |
|
(1− α− β) , α+β > 0, |
|
||||||
|
|
|
α+β |
α+β |
|
|||||||||||
Элемент |
|
|
можно1, |
|
еслиα = β = 0. |
|
||||||||||
|
как дополнения( ) |
|
получить, меняя |
α |
и |
β |
местами, а |
( ) |
||||||||
и |
до 1. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример( ) |
4.5 |
|
1− α |
|
|
α⁄( |
+1) |
… |
|
α⁄( |
+1) |
|
||||
Матрица |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Г = |
α⁄( +1) |
1 −α |
… |
|
α⁄( |
+1) |
|
|||||||
|
|
|
… |
|
|
|
|
+1) |
… |
|
|
1 |
− α |
|
||
описывает |
|
|
α⁄( +1) α⁄( |
|
|
|
||||||||||
|
|
модель мутации вируса, в которой вирус либо сохраняет |
||||||||||||||
свой тип, либо меняет его на любой другой тип с одинаковыми вероятностями.
Найти |
при |
= 0 |
(число состояний – 2, например, 0 и 1). |
Решение. (см. |
|
||
|
|
пример 4.4). |
|
Пример 4.6
Найти предельное распределение вероятностей однородной цепи Маркова с двумя состояниями с матрицей вероятностей перехода
=и = .
Решение. |
Имеем |
+ = 1, |
+ = 1, следовательно, |
||||
= |
|
, |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
Уравнения для предельных вероятностей в данном случае имеют вид
101
π |
= π |
+π , |
π |
= π |
+π . |
Из данных уравнений находим π = ,π = .
Ответ:π = ,π = .
Задачи
4.14.В цепи Маркова с двумя состояниями 0 и 1 вектор распреде-
ления |
вероятностей по начальным состояниям |
|
|
|
и |
|||||
|
|
|
||||||||
вектор |
|
|
вероятностей переходов определяется ( |
соотношениями |
||||||
|
|
) = ( |
, 0) |
|
||||||
= |
|
|
, |
= |
|
. Считая цепь Маркова однородной, найти вероят- |
||||
|
|
|
||||||||
ности цепочек (010), (000), (111).
4.15.Показать, что цепь Маркова с двумя состояниями и матрицей вероятностей перехода
Г= 0 1 1 0
не имеет предельного распределения.
4.16.Найти предельное распределение вероятностей для цепи Маркова с тремя состояниями и матрицей вероятностей переходов
1 2 |
1 4 |
1 4 |
Г = 0 |
3 4 |
1 4 . |
0 |
1 4 |
3 4 |
102
Ответы и указания к решению задач
4.1. |
( ) = |
√ |
|
|
|
|
exp − |
[ |
(( ) |
)] |
; |
||
|
|
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||
(4.2.) = |
∙ + |
, |
σ ( ) = |
σ . |
|
|
|||||||
( , |
) = |
( ) = |
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
σ |
|
∙ |
∙ |
|
|
||||||||
σ ( ) = |
σ |
|
. |
|
|
|
|
||||||
4.3.( ) = 0,
( , ) = |
∙ |
∙ 1+ |
, |
( ) = |
(1+ |
). |
|
4.4.( ) = 2 cos(ω );
( , ) = 9 cos(ω )cos(ω ′); ( ) = 9 cos (ω );
( ) = 2cos(ω )−2 ω sin(ω );
( , ) = 9 cos(ω )cos(ω ) +9 ω sin(ω )sin(ω )−
−9 ωsin(2ω( |
+ )); |
ω sin (ω )−9 |
ωsin(2ω ). |
|||||||||
( ) = 9cos (ω )+9 |
||||||||||||
4.5. |
( ) = 0, |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
(4.6.) = 1− Ф |
∙t |
|
, Ф( ) = |
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
( , ′) = |
∙ |
|
√2π |
|
|
|||||
4.7. |
( , ′). |
|
|
|||||||||
4.8. |
( ) ( ) = 3(1− |
). |
|
|
|
|
|
|||||
( , |
|
( ) = |
, |
|
− |
)], |
|
|
|
|
|
|
|
) = σ cos[ω( |
|
|
|
|
|
||||||
σ (–) = σ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ξ( ) − |
не стационарна, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( ) |
– стационарна. |
|
|
||||||||
ξ( ) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
103 |
|
|
|||
4.9.( ) = 0,
|
( , |
) = |
arctg( |
|
− |
|
)+ |
arctg( ) − |
1 |
ln(1+ ) − |
||||||||
− |
1 |
ln[1+( |
− ) |
] + |
1 |
ln(1+( |
) ) − |
2 |
|
|||||||||
− |
2 |
arctg( |
− )+ |
|
|
|
2 |
|
|
), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
arctg( |
|
|
|
|
|||||||||||
σ |
|
(–) = 2 |
arctg( ); |
|
– не стационарна. |
|||||||||||||
ξ4.10.( ) |
стационарна, |
η( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4.11. |
|
(τ) = 8 |
|
| |
|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(ω) = |
|
|
|
( |
|
) + |
( |
) . |
|||||||||
4.12. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
) , |
|||||||||||||||
|
|
|
|Ф(iω)| = ( |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(ω) = |
|
|
ασ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
π(α +ω )(9+ω ) |
|
|
|
||||||||||||||
4.13. |
Указание: |
|
η( ) = |
τ∙ξ(τ)∙ |
|
( ) τ. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4.14.Вероятности цепочек равны соответственно
|
|
1 |
|
1 |
|
4 |
|
|
1 |
|
6 |
|
6 |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
4.16. |
|
3 |
∙ |
7 |
∙ |
5 |
; |
3 |
∙ |
7 |
∙ |
7 |
; |
3 |
∙ |
5 |
∙ |
5 |
. |
|
|
π |
= 0, π = π |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
104
Примеры вариантов контрольных работ
Глава 1
1.В первой урне 2 белых и 5 черных шаров, во второй – 4 белых и 3 черных. Наудачу извлекли шар, он оказался белым. Какова вероятность, что он извлечен из второй урны?
2.Случайная величина ξ равномерно распределена в (−1,2).
Найти закон распределения |
|
|
3. Сколько в среднем |
должны содержать изюма булочки, чтобы |
|
|
η = ξ , η, η. |
|
вероятность того, что в булочке найдется хотя бы одна изюмина, была не меньше 0,99?
4. Из урны с |
белыми и |
черными шарами по схеме |
||||
случайного выбора без возвращения−извлекается шаров. Положим |
||||||
ξ = 1,Найти |
|
|
|
ξ = 0 |
|
( = 1,2, |
если i-й шар белый, и |
, если i-й шар черный |
|
||||
...,Указание). . |
, cov |
ξ ,ξ , |
≠ . |
|
|
|
|
Использовать |
ξ |
= ξ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.Случайный вектор (ξ,η) равномерно распределен в тре-
угольнике, |
ограниченном осями координат |
ОХ, ОY и прямой |
||
= 2(1− |
). |
Найти плотности распределения |
ξ,η. |
Выяснить, зави- |
6. |
|
ξ иη. |
|
|
симы или нет |
|
|
|
|
Вероятность наступления события А равна ½. Какова вероятность, что при проведении 1000 независимых испытаний число наступления события А заключено между 350 и 600?
105
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Главы 2–4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
|
Найти оценку ММП параметра |
θ |
по выборке |
|
,..., |
для |
||||||||||||||
случайной величины с плотностью |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
,θ) = |
1 |
exp − |
1 |
|
, |
|
0, |
|
|
|
|
|||
Найти |
θ, |
θ. |
|
|
|
|
|
θ |
0, |
θ |
< 0. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Исследовать смещенность, эффективность, со- |
||||||||||||||||
стоятельность оценки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
||||||||
нормальное |
|
|
|
|
,..., |
|
случайной |
величины |
, |
имеющей |
|||||||||||
2. |
|
Для выборки |
при |
|
( |
|
|||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
,σ) |
предложена оценка |
|
дисперсии |
||||||||||
|
|
распределение |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
( |
− ) |
|
|
известной величине |
ξ = . |
Доказать, что |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
случайная величина |
|
|
имеет распределение |
χ . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.Указать алгоритм моделирования случайной величины ξ с
плотностью |
|
( ) = |
|
1 |
|
1− |
1 |
| | , | | 2, |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
4. Найти |
формулы |
2 |
|
моделирования2 |
случайной величины |
|||||||
для |
|
0, |
| | > 2. |
|
||||||||
(ξ,η) |
с плотностью |
( |
, |
) = 3 |
в треугольнике, ограниченном пря- |
|||||||
мыми |
= 0, |
= , |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Найти плотность распределения случайной функции ξ( ),
тервалеξ( ), ξ( ), если ξ( ) = |
+ ,U равномерно распределена в ин- |
||||||
6. Пусть( , ),−∞ < < |
< +∞, |
= const. |
|
если в t-м |
|||
случайная величина |
|
|
|
||||
испытании схемы Бернулли с |
вероятностью успеха p в отдельном |
||||||
|
= 1 |
( = 1,2,..., |
), |
|
|||
испытании произошло четное число успехов, и |
в противном |
||||||
случае. Показать, что |
|
|
|
цепь Маркова. |
|||
|
|
|
образуют= 2 |
|
|
||
Найти матрицу |
вероятностей переходов. |
|
|
|
|||
|
≡ 1, |
|
,…, |
|
|
|
|
Указание. Четность числа успехов к данному испытанию зависит только от четности числа успехов к предыдущему испытанию.
106
Список рекомендуемой литературы
1.Айвазян С.А. Прикладная статистика / С.А. Айвазян, В.С.
Мхитарян. – М.: ЮНИТИ, 2001. – Т. 1. – 656 с. – Т. 2. – 432 с. – Т. 3.
–с.271.
2.Ватутин В.А. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах / В.А. Ватутин, Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, В.И.
Чистяков. – М.: Агар, 2003. – 326 с.
3.Вероятностные разделы математики / под ред. Ю.Д. Максимова. – СПб.: Иван Федоров, 2001. – 589 с.
4.Золоторевская Д.И. Теория вероятностей. Задачи с решениями. – Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 168 с.
5.Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. – М.: МЦНМО, 2010. – Т. 1. – 486 с. – Т. 2. – 560 с.
6.Прохоров Ю.В., Пономаренко Л.С. Лекции по теории вероятностей и математической статистике. – М.: МГУ, 2012. – 254 с.
7.Ребане Г.П., Савёлова Т.И. Методические указания к решению задач по теории случайных функций. – М.: МИФИ, 1990. – 20 с.
8.Савёлова Т.И. Метод Монте-Карло. М.: МИФИ, 2010. –150 с.
9.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / под ред. А.А. Свешникова. –
М.: Наука, 1970. – 756 с.
10.Соболь И.М., Савёлова Т.И. Методические указания к решению задач по теории вероятностей. – М.: МИФИ, 1991. – 28 с.
11.В. Феллер. Теория вероятностей. – М.: Мир, 1964. – Т.1. –
499 с.
12.Чистяков В.П. Теория вероятностей. –М.: Наука, 1987 –240 с.
107
Приложение 1
Таблицы случайных величин и вероятностных распределений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица П.1.1 |
||||||||
|
|
|
|
Некоторые дискретные распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х.ф. |
|
|
|
|
||||||
|
Распределение |
Вероятности |
|
|
ожида- |
|
|
|
Дисперсия |
|
|
|
|
|
|
|
Me |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Пуассона |
|
|
|
(ξ = |
) |
|
|
|
|
ние |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Обозначение |
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(λ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Биноминальное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
+ |
|
) |
|
|
||||||
|
0 < |
< 1, |
|
C p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= 1− . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= 0,1,…, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гипер- |
|
|
|
C |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( − |
)( |
|
|
− |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
геометрическое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= 0,1,…, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
1 ( |
|
) −1 |
|||||||||||||||||||||
|
Равномерное |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= 0,1,…, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица П.1.2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
Некоторые непрерывные распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Плотность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х.ф. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Распределение |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
Мат. |
|
Дисперсия |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ожидание |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Равномерное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a+b |
|
|
|
( |
|
− |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−∞ < |
< < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
it( − |
) |
|
|
|||||||||||||||
|
< +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λe |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Показательное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ −it |
||||||||||||||||||||
|
Гамма Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
λ > 0, |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
it |
|
|
|
|
|
|
(α,λ) |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|||||
|
α > 0, λ > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Г(α) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Нормальное |
|
|
|
|
exp − |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
( |
,σ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
| | < +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√2πσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
108
Продолжение табл. П.1.2
|
|
Плотность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х.ф. |
||
Распределение |
( |
) |
|
|
|
Мат. |
|
|
|
|
Дисперсия |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Обозначение |
|
|
|
ожидание |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Коши |
|
π( +( |
− |
) ) |
|
|
|
Не |
|
|
Не |
|
|
|
|
|
| | |
|
||||
α, (−∞,+∞) |
|
|
определено |
|
|
определено |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица П.1.3 |
||||
|
Некоторые непрерывные распределения, часть 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначение |
|
|
Область |
|
|
Распределение |
|
Характеристики |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ = |
|
|
||||||||||||
Хи-квадрат |
|
|
0 |
|
|
χ ~ |
( |
(0,1)) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ = 2 |
|
|
|||||||||||
Стьюдента |
|
−∞ < < +∞ |
|
|
~ |
|
(0,1) |
|
|
|
|
ξ = 0, |
> 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
χ / |
|
|
|
ξ = |
−2 |
, > 2 |
|
||||||||||
Фишера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
/ |
|
|
|
ξ = |
|
−2 |
, |
> 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
( + |
−2) |
|||||
, |
|
|
0 |
|
|
|
, ~ |
χ / |
|
|
= |
( − 2) ( − 4) |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 4 |
|
|
||
109
Приложение 2
Вклад русских ученых в развитие теории вероятностей
Если в начале девятнадцатого века главными потребителями |
веро- |
ятностных методов были теория артиллерийской стрельбы |
и тео- |
рия ошибок, то в конце девятнадцатого века и в начале двадцатого теория вероятностей получает много новых применений благодаря развитию статистической физики и разработки аппарата математической статистики.
А.Н. Колмогоров
Пафнутий Львович Чебышёв (1821–1894) был воспитанником Московского университета, где в 1841 году защитил магистерскую диссертацию «Опыт элементарного исследования теории вероятностей». В 1847 году он переехал в Петербург, где работал до своей кончины. С 1853 года был членом Академии наук. Круг научных интересов Чебышёва достаточно широк: теория вероятностей, теория чисел, теория приближения функции действительного переменного и т. д. В теории вероятностей заслугой Чебышёва П.Л. является значительное обобщение «закона больших чисел», введение нового метода – метода моментов, центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин.
Андрей Андреевич Марков (1856–1922) обобщал результаты сво-
его учителя П.Л. Чебышёва и уточнял его доказательства. А.А. Марков ввел «цепи Маркова», оказавшиеся важным орудием при использовании вероятностных методов в науке и технике. Цепи Маркова появились в работе 1908 года. (Термин «цепь Маркова» был использован С.Н. Бернштейном в 1916 году. В западноевропейский научный обиход этот термин был введен Ж. Адамаром, знаменитым французским математиком).
110