Савёлова Методические указания к решению задач по вероятностным разделам 2014

так как выполнены достаточные условия критерия состоятельности оценок: смещение оценок и их дисперсий 0 при ∞.

Пример 2.3

Пусть ξ имеет нормальное распределение с неизвестными параметрами θ = ,θ = σ , с плотностью

Из данных уравнений находим оценки:

61

θ+θ = ,

поскольку имеем

Таким образом, оценки ММП и ММ для нормального распределения совпадают (в общем случае это не так).

Задачи

2.1. Случайная величина имеет неизвестные математическое ожидание a и дисперсию σ2. Для a предложена оценка

̅ =∑ , для σ2 оценки:

62

Какие из предложенных оценок смещенные, несмещенные?

2.2. Доказать, что если две случайные величины ξ1, ξ2 имеют Mξ1=M ξ2, Dξ1=Dξ2 и коэффициент корреляции r=1, то P{ξ1= ξ2}=1.

2.3. Для случайной величины с функцией распределения

( ,θ) = , 0 <x< 1, -∞ <θ< +∞ найти несмещенную эффективную оценку параметра θ.

2.4. Случайная величина ξ имеет Mξ=a, а ее дисперсия σ2 неизвестна. По независимой выборке x1,…,xn для σ2 предложена оценка

= ∑ ( − ) . Предположив, что ξ обладает центральным

2.6.Доказать, что выборочный момент порядка v асимптотически нормален.

2.7.Доказать, что оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины, полученной ММП, эффективна.

2.8.Доказать, что оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины, полученной ММП, будучи неэффективной, эффективна асимптотически.

2.9.Для распределения Пуассона

найти оценку ММП для параметра λ. Доказать, что полученная оценка – несмещенная, состоятельная и эффективная.

2.10.Произведено n независимых испытаний, каждое из которых может иметь своим исходом событие А с неизвестной вероятностью p. Найти для p оценку ММП.

2.11.Случайная величина ξ распределена с плотностью

Параметр μ задан, для C требуется найти оценку ММП.

2.12.Случайная величина ξ распределена по биномиальному закону с параметрами N и p, т.е.

(N известно, p неизвестно). Найти для p оценку ММП. Доказать, что такая оценка – несмещенная, эффективная и состоятельная.

2.13.Неотрицательная случайная величина ξ имеет «двойное пуассоновское распределение», т.е.

Независимые измерения дали значения k1,…,kn. Найти для λ1 и λ2 оценки методом моментов.

2.14.Неотрицательная случайная величина ξ имеет «гаммараспределение», т.е. плотность

Параметр p задан, параметр α неизвестен. Указать оценку ММП для α.

64

2.2. Доверительные интервалы.

Эмпирическая функция распределения.

-критерий проверки гипотез о распределении

Интервал ( , ′′) называется доверительным интервалом для параметра θ с коэффициентом доверия β (0,1), если выполнено

65

При 1w аппроксимируется χ c ( −1) степенями свободы.

Если по выборке определяется s параметров распределения, то сходимость w будет к χ .

Примеры решения типовых задач

Пример 2.4

Пусть ( ,θ) = ,0 < < ∞ −функция распределения случай-

ной величины ξ с неизвестным параметром θ > 0. Пользуясь оценкой для параметра θ

( ) = max ,

найти доверительный интервал для величины θ с коэффициентом доверия β.

Решение. Имеем

( ) = θ ,0 < < θ.

Решаем уравнение

±

1±β θ = 2 ,

откуда находим

В результате получаем доверительный интервал с коэффициентом доверия β:

66

Пример 2.5

Некий любознательный статистик, рассматривая витрины часовщиков, записывал время на часах, причем минуты не учитывались. Полученные данные приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Можно ли считать, что верна гипотеза

о равномерности распределения?

Решение. Поскольку

ν−500

== 10,00,

41,67

то, вычислив по таблицам χ с 11 степенями свободы

Пример 2.6

В автобусном парке ежедневно регистрировалось число автобусов, сошедших с линии в течение рабочего дня из-за поломок в пути. В табл. 2.2 записаны результаты n=200 наблюдений. С помощью критерия проверить гипотезу о том, что случайная величина ξ, равная числу автобусов, вышедших из строя в течение рабочего дня, распределена по закону Пуассона.

Таблица 2.2

Решение.Находим выборочное среднее

= 206 200 = 1,03 ≈ 1−

среднее число выходящих из строя автобусов за рабочий день. По-

68

β = 0,95

Задачи

2.15.Пусть x1,…,xn– независимая нормально распределенная вы-

2.16. Имеется выборка объема 8 из совокупности нормально распределенных величин с параметрами θ1=a, θ2= σ2:

69

в) для θ2= σ2 c уровнем доверия β=0,9, если a=5;

г) для θ2= σ2 c уровнем доверия β=0,95, если θ1 неизвестно.

2.17.Для выборки (2.1) построить эмпирическую функцию распределения. Найти оценку Mξ и Dξ.

2.18.Дана выборка:

03 99 11 04 61 93 71 68 94 08 32 46 53 84 60 95

82 32 88 61 81 91 61 38 55 59 55 54 32 88 80 08

35 56 60 04 73 54 77 62 71 29 92 38 53 17 29 13

Проверить гипотезу о равномерном распределении с помощью критерия χ2.

2.19.Доказать, что эмпирическая функция распределения является несмещенной и состоятельной оценкой функции распределения.

2.20.Доказать, что сумма двух независимых, распределенных по нормальному закону случайных величин, распределена нормально.

2.21.Доказать, что сумма двух независимых, распределенных по закону χ2 распределений, распределена также по закону χ2, причем число степеней свободы складывается.

2.22.При = 4040 бросаниях монеты Бюффон получил h1=1992 выпадения «решетки» и h2=2048 выпадений «герба». Требуется проверить совместимость этих данных с гипотезой о том, что монета является симметричной, т.е. вероятности выпадения «герба» и «решетки» равны:

70