Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Савёлова Методические указания к решению задач по вероятностным разделам 2014

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

1.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Если( ) =

(

)

(

−

)

(

−

)

( ) .

(

, )

случайные величины

имеют совместную плотность

, то условная плотностьξ

(

)

η =

) равна

при условии

(η

(

) =

(

)

Примеры решения типовых задач

Пример 1.18

Случайные величины

независимы и одинаково распределе-

ны по показательному

закону с параметрами

. Положим

λ иμ

а. Являются ли

= max(ξ,η) ,

= min(ξ,η).

Решение:

случайные величины

независимыми?

иот события

(ξ > η)

б. Независима ли случайная величина

Находима)

= (

< ξ ,η <

),0 <

< +∞.

обозначим событие

( ) = ( < ξ < ) ∙ ( < η < ) =

λ∙

(

μ∙

С другой=стороны,−

−

),0 <

< .

(

> )∙

(

) = (ξ,η >

)∙

(ξ,η <

) =

(

)

случайные).

Оно имеет

другое выражение, следовательно,

величи-

1−

(1−

ны

зависимы;

далее,

(ξ > η) =

б)

, и произведение

(ξ > η)

(

) =

(1−

)(1−

)

μ+λ

отличается от (ξ > η, < ) = (η < ξ < ). Значит, U и (ξ > η) зависимы.

Ответ: а) зависимы; б) зависимы.

Пример 1.19

Спортсмен стреляет по круговой мишени. Вертикальная и горизонтальная координаты точки попадания пули (при условии, что центр мишени – начало координат) – независимые случайные величины, каждая из которых распределена по нормальному закону с параметрами (0; 1). Найти плотность распределения расстояния от точки попадания до центра.

Решение:

Имеем совместную плотность распределения

(

)

−∞ <

< +∞.

2π

Положим

Обозначим

– полярные координаты

( , ) .

> 0, 0 θ < 2π

Якобиан преобразования равен

на плоскости=,

+η

(

,θ)

Поэтому

( , ) =

⁄

2π

⁄

Интегрируя по всем

получаем

,θ) = ∙

Проверка:

( ) =

∙

( )

2π

θ =

Ответ: (

) =

= 1.

∙

, 0 .

Пример 1.20

Докажите, что если ξ,η и ζ – независимые случайные величины, каждая из которых равномерно распределена на интервале (0,1), то случайная величина (ξ∙η) также равномерно распределена на

(0,1).

Решение:

Рассмотрим случайную величину


Доказать, что	случайная величина		равномерно распреде-
	ln (ξ∙η)	= ζ∙[lnξ+lnη].

лена на (0, 1), – это то же самое, если доказать, что случайная вели-

ζ∙.

(ξ∙η)

чина

Величина

распределена

по показательному

закону на

имеет плотность

[lnξ+lnη]

(0,+∞)

ψ = −lnξ −lnη

0 <

< ∞,

∙

Совместная плотность имеет вид

(

) =

∙

, 0 < < 1, 0 < < ∞,

к вели-

произведение

. Удобно перейти от

Нас интересует( ,

) =

0 ,в противном случае.

чинам

помощью обратного якобиана преоб-

ζψ

разования

В терминах новых переменных совместная

= /

случайных величин

плотность

1/(2 ).

⁄

= ζ∙ψ и

имеет вид

( ∙ )

( ∙

)

⁄

, > 0, 0 <

⁄ < 1,

, ( , ) =

тогда равна

Плотность распределения Z0,в противном случае.

( ) = ∫ , ( , )

( ∙ ) ⁄

где

(

= −

( ∙

) ⁄

> 0,

) = 0 при < 0

Задачи

1.57.Случайная величина η равна целой части случайной величины ξ. Найти закон распределения η, если:

а) ξ равномерно распределена в интервале 0 < < , где M – целое;

б) ξ подчиняется экспоненциальному закону.

1.58.Кусок проволоки длиной 2L изогнут под прямым углом в случайной (равномерно распределенной) точке. Концы куска соединены прямой. Найти функцию распределения площади полученного треугольника.

1.59.Пусть γ и γ – независимые случайные величины, равно-

мерно распределенныена интервале (0, 1). Доказать, что случайные

γ , еслиγ > γ , величиныξ = √γ, ξ = max(γ,γ ) и ξ = 1− γ, еслиγ < γ ,

имеют одну и ту же плотность.

1.60.Случайные величины ξ и η независимы и одинаково распределены: {ξ = } = {η = } = 2 при = 1,2,…. Найти закон распределения их суммы.

1.61.Доказать, что сумма двух независимых случайных величин, подчиняющихся законам Пуассона, также подчиняется закону Пуассона.

1.62.Координаты вектора ϑ независимы и нормальны с параметрами (0, σ). Найти плотность распределения абсолютной вели-

чины ϑ вектораϑ:

а) на плоскости (распределение Релея); б) пространстве (распределение Максвелла);

в) n-мерном пространстве (распределение хи-квадрат).

1.63.Рассмотрим независимые случайные величины ξ и η, где ξ дискретна с распределением

			...
	η		...		ξ		η
а	η	непрерывна с плотностью	( )	, что сумма	ξ	+	η	не-
а		непрерывна с плотностью	. Доказать,	, что сумма		+		не-

прерывна, и вычислить ее плотность.

1.64.Случайная точка равномерно распределена внутри эллипса

(сти⁄ )

⁄ )

= 1

. Вычислить условные и безусловные плотно-

декартовых координат этой точки.

1.65.Случайные величины

независимы (в совокупно-

их функции распределения равны

сти) и одинаково распределеныξ:,...,ξ

(

). Найти функции распределения случайных величин

Предположив

η = max ξ

и θ = min ξ .

плотность

(

) =

(

дополнительно,

что

существуют

вычислить плотности

( )

(

)

1.66.Плотность трехмерной случайной точки Q с декартовыми

координатамиξ, η, ζ равна

) ,

если

> 0,

Вычислить( , ,

6(1+ + +

в ином случае.

плотность

координаты

условные плотности

) =

( | )и

( | ,

),а также( )плотность суммыξ

координат ξ+η+ζ.

1.67.Через точку на окружности радиуса R проведена случайная хорда (любое направление ее равновероятно). Найти функцию распределения и математическое ожидание длины этой хорды.

1.68.Неотрицательные случайные величины ξ иη имеют совместную плотность распределения ( , ). Найти плотность распределения их произведения.

Рассмотреть частный случай, когда эти величины независимы и равномерно распределены в интервале (0, 1).

1.69.Случайные величины ξ иη независимы, неотрицательны, и

плотности	их		при	0 <		.< ∞			пропорциональны
ностей и	(α > 0, β > 0,				> 0)		Найти	плотность вероят-
суммы	плотность распределения частного двух независи-
1.70.Найти ξ+η.
мых одинаково распределенных случайных величин, если они:
а) подчиняются экспоненциальному закону;
равномерно распределены в интервале							0 <	<	;
вб)) нормальны с параметрами
1.71.Плотность		распределения случайной точки с декартовыми
			.(	(0,σ).
деления величинξ иη				)ϑ(	)
координатами			равна		. Вычислить плотности распре-

−ξ и ξ− η

1.6. Коэффициент корреляции. Закон больших чисел

Рассмотрим		случайные			величины				и , дисперсии которых
ξ > 0 и	η > 0		. Коэффициентом				корреляции этих величин назы-
			. Коэффициентом					ξ	η
вается число				(ξ − ξ)(η − η)					ξη − ξ∙ η
				(ξ − ξ)(η − η)					ξη − ξ∙ η
Теорема	ξ,η	=			ξ∙	η		=		ξ∙ η	.
(Маркова)				. Дана последовательность случайных величин
ξ ,...,ξ ,… с конечными дисперсиями								ξ	. Если
				lim→	1		ξ	= 0,

то последовательность подчиняется закону больших чисел. Теорема Чебышёва. Дана последовательность попарно некорре-

лированных случайных величин ξ ,...,ξ ,… . Если дисперсии этих величин ограничены: ξ ≤ ,то последовательность подчиняется закону больших чисел.

Теорема Хинчина. Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин ξ ,...,ξ ,… . Если математическое ожидание этих величин ξ = конечно, то последовательность подчиняется закону больших чисел.

Примеры решения типовых задач
Пример 1.21		1,…,
В ящике находятся фишек, помеченных номерами			Экс-
перимент состоит в вытаскивании n фишек из ящика,			Пред.	-
положим, что каждая из фишек может быть вынута	равновероятно
положим, что каждая из фишек может быть вынута		.

с другими и вынутые фишки не возвращаются обратно. Пусть

ξ ,…,ξ	– случайные величины, причем				ξ	– номер i-й вынутой
ξ ,…,ξ	= 1,…,	. Положим			ξ
фишки,		(ξ ) = (	+1)(	−1)⁄12.
а. Доказать, что		(ξ ) = (	+1)(	−1)⁄12.
а. Доказать, что		η =		ξ .
			36

Указание: использовать равенство				+1)
		cov ξ ,ξ	( +1)(2		≠ .
в. Используя			= −( +1)⁄12,
б. Проверьте, что		=	6	.
	формулу		(ξ )+	cov ξ ,ξ	,
		(η) =

или иным путем, докажите, что

(η) = ( +1)( − ). 12

Решение:

а) очевидно, что ξ = ( +1)⁄2. Тогда

(ξ ) =

−

( +1)( −1)

;

б) поскольку

≠ ξ ,

≠ ,

получаем

−

= −

;

в) имеем(

− 1)

(η) =

( +1)( −1)

−

( − 1)

( +1)( − )

Пример 1.22

Случайные величины

попарно не коррелированы

вероятностей

и имеют распределениеξ

= 1,…,

= 1⁄2.

Выполняется ли дляξ = −√

= ξ

= √

закон больших чисел (ЗБЧ)?

Решение. Проверяем, выполняются ли условия ЗБЧ теоремы Чебышёва. Имеем ξ = 0, ξ = . Следовательно,

1	(	+1)		1
η = 0, η =	=	2	→	2	при → ∞.

Следовательно, достаточные условия теоремы П.Л. Чебышёва не выполняются. Легко проверить, что условия теоремы Маркова также не выполняются, так как

→ ∞

(

+1)

0 при

→ ∞.

η, а 0

среднем, т.к.

η → 0 η = 0

Имеем,

при

(

)

(

)

при → ∞

0при

→ ∞.

Сходимость

при

по вероятности также не имеет

места –

доказательство дается в примере 1.24 в разделе 1.7 с помо-

→ 0

→ ∞

щью характеристических функций.

Пример 1.23

(ξ,η)

определена в

треугольнике

Случайная точка с декартовыми координатами

Вычислить

> 0, > 0, +

< 1

равномерной

плотностью.

коэффициент корреляции

точки (x, y) равна

Решение. Плотность распределения

(ξ,η).

(

, ) =

= 2, > 0, > 0, + < 1 ;

в противном случае.

тельно ξ иη:

Рис. 1.2

ξ(η)

найдем в силу симметрии относи-

Плотность распределения

( ) =

( , )

= 2(1 − ), 0 < < 1 ;

Видим( ), =

( , )

= 2(1 − ),

0 <

< 1.

что случайные величины

ξ иη

зависимы, так как не вы-

полняется условие

) =

(

( ,

) ∙

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

(ξ,η)

(ξη)−

ξ∙

Вычисляем

ξ∙

(ξη) =

;

ξ =

2 (1−

)

;

η =

2 (1−

)

;

ξ = (ξ ) −(39ξ) =

= η ,

где

(ξ ) =	2(1 − )	=	1	.
			6

В итоге получаем

1 (ξ,η) = −2 .

Ответ: − .

Задачи

. Вычислитьξ ,...,ξ

попарно некоррелированы,

1.72.Случайные величины

ξ = 0,

иξ

= σ

коэффициент

корреляции сумм

ξ +...+ξ

1.73.Случайная

точка

равномерно

распределена

эллипсе

( ⁄ )

+( ⁄ ) = 1

. Вычислить коэффициент корреляции декар-

товых координат этой точки.

1.74.Пусть

ξ ,...,ξ

– центрированные случайные величины с

дисперсиями

. Коэффициенты

корреляции

заданы:

ξ ,ξ

при

≠

. Рассмотрим сумму

= ξ +...+ξ

= σ

Вычислить

некоррелированы и

частный случай, когда все

Рассмотреть(ξ ,η

)

одинаково распределены.

1.75.Случайная точка с декартовыми координатами

опре-

Вычислить

> 0,

< 1

плотностью

делена

треугольнике

(ξ,

η)

строить( , ) = 6

коэффициент

корреляции

(ξ, η).

По-

чин, а

точную и приближенную линии регрессии

ξ ,...–,ξ ,…

случайных вели-

1.76. Пусть

,…

– последовательность

η поξ

Верно ли ,...,

ограниченная числовая последовательность.

утверждение: если

(

= 1,2,…)

попарно независимы,

1.77.Случайные величиныξ

→0,

то

→0

причем ξ принимает значения ± ln( ) с вероятностями ½. Подчиняется ли последовательность ξ ,...,ξ ,…закону больших чисел?

1.78.Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин ξ ,...,ξ ,… , каждая из которых при-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]