Баскаков Несобственные интегралы 2014
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
R |
|
1−r |
e− y dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(1 −e |
|
|
)∫ |
−i ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∫ |
|
|
+ ∫ |
+o(1) = 0 , |
(7.10) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
2 |
πiy |
−1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
||||||
где I, II – дуги окружности, получающиеся при обходе особых то- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чек z = i , z = 0 соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Вблизи точки z = i |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
eiz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−1 +c (z −i) +... |
|
|
|
|
e−1 |
|
|||||||||||||||||||
f (z) = e2π( z−i) −1 = |
2π(z |
−i) +c2′ |
(z −i)2 |
+... = |
2π(z −i) + p(z −i) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где p(z −i) |
– правильная функция в точке z = i . Поскольку на дуге |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I имеем z =i +reiϕ , |
|
dz = ireiϕdϕ, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
∫ |
= |
e−1 |
|
−π∫/2 |
ireiϕ dϕ |
+ o(1) = −ie−1 / 4 + o(1) , r → 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2π |
|
iϕ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I |
|
|
0 |
|
|
|
|
re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
∫ |
= |
|
1 |
∫0 |
i dϕ+ o(1) = − |
i |
|
+o(1) , |
r → 0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2π |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
II |
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и равенство (7.10) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
R |
|
1−r |
|
|
e−y |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
||||||||
|
|
(1 −e |
|
|
)∫ |
= i ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dy + |
|
|
|
|
(1 + e |
|
) + o(1) |
(7.11) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
e |
2πiy |
−1 |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
при r → 0 , |
R → ∞. |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1−r |
e− y dy |
|
|
1−r |
|
e−y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
= − ∫ |
|
|
|
|
dy = |
|
|
|
|
(e |
|
−1) |
+ o(1) , |
(7.12) |
|||||||||||||
|
|
|
e |
2πiy |
− |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда отделяя в (7.11) мнимую и действительную часть, пользуясь выражением (7.12), окончательно получаем:
∞ |
sin x |
|
|
1 |
|
|
1 |
−1 |
|
∫e−πx |
dx = |
|
|
+ e |
−1 . |
||||
|
2 |
|
|
−1 |
|||||
0 |
sh πx |
|
1 |
−e |
|
||||
Пример 7.6.* Вычислить интегралы Эйлера |
|||||||||
J1 = +∞∫cos x2 dx ; |
J2 |
= +∞∫sin x2 dx . |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
В качестве вспомогательной функции выбираем f (z) = eiz2 , а контур подсчета интегралов указан на рис. 7.9.
31
Рис. 7.9
Контур C =[0; R] CR [BO] . На дуге CR после замены ξ = z2 получим
|
∫ |
f (z) dz = |
1 |
∫ eiξ dξ |
, |
|
|
CR |
|
2 |
C′2 |
ξ |
|
|
|
|
|
R |
|
|
где C′ |
2 – четверть окружности радиуса |
R2 |
. Тогда по лемме Жор- |
|||
R |
|
|
|
|
|
|
дана этот интеграл стремится к нулю при R → ∞.
По теореме Коши, если на OA положить z = x , а на OB z =± i , имеем:
∫R eix2 dx + ∫+ i ∫0 e−t2 dt = 0 .
0 CR R
Переходя к пределу при R → ∞ и пользуясь значением интеграла вероятности erf∞ =1 , получим:
+∞∫eix2 dx = i |
π |
. |
|
2 |
|||
0 |
|
Отделив в этом выражении действительную и мнимую часть, получаем:
+∞∫cos x2dx = |
+∞∫sin x2dx = |
1 |
π . |
(7.13) |
|
||||
0 |
0 |
2 |
2 |
|
С последними интегралами связаны специальные функции – интегралы Френеля:
S (x) = ∫x |
sin t dt |
; |
C(x) = ∫x |
cost dt |
. |
|
|
||||
0 |
2πt |
|
0 |
2πt |
Действительно, их можно легко получить из (7.13) с помощью замены t = τ2 . Пользуясь этой подстановкой, получим:
32
|
|
2 |
|
x |
S(x) = |
|
∫sin τ2dτ, |
||
π |
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
x |
C(x) = |
|
|
∫cos τ2dτ. |
|
|
π |
|||
|
|
|
|
0 |
Тогда выражение (7.13) можно записать в виде
S(+∞) =C(+∞) =1/ 2 .
8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ, СОДЕРЖАЩИХ МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
В этом разделе рассмотрим примеры вычисления интегралов, содержащих многозначные функции в составе подынтегральной.
Пример 8.1. Вычислить интеграл
|
|
|
+∞ |
ln x dx |
|
|
|||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(x |
2 |
+1) |
2 |
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
В |
качестве |
вспомогательной |
рассмотрим |
функцию |
|||||||
f (z) = |
ln z |
, имеющую особую точку при z = 0 (точка ветвле- |
|||||||||
(z2 +1)2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ния функции ln z ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда воспользуемся контуром, в котором для f (z) |
возможно |
||||||||||
выделение однозначной ветви (рис. 8.1). |
|
|
Рис. 8.1
Обозначим через ln z ту часть, которая определяется равенством 0 < arg z < π. Тогда f (z) в точке z = i имеет полюс второго
порядка с вычетом
33
c−1 |
= lim |
d |
(z − |
|
|||
|
z→i |
dz |
По теореме о вычетах
|
−r |
|
|
∫ |
+ ∫ |
|
−R |
Cr |
i)2 f (z) |
= |
d |
|
ln z |
|
= |
π+ 2i . |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dz |
(z +i)2 |
|
z=i |
8 |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
+ ∫R |
+ ∫ |
dz = |
iπ2 |
− |
|
π . |
|
||||
|
|
|
|||||||||
r |
|
CR |
|
4 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При z = R eiϕ , 0 < ϕ< π имеем, начиная с достаточно большого R,
ln z = ln2 R +ϕ2 ≤ 2ln R ;
следовательно,
|
∫ |
|
≤ |
2ln R |
πR |
||
|
|
2 2 |
|||||
|
СR |
|
|
|
|
(R −1) |
|
и ∫→0 при R → ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
CR |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично получаем, |
что при z = reiϕ , 0 < ϕ< π, начиная с |
||||||
достаточно малого r, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln z |
|
≤ 2ln1 / r , |
|||
|
|
|
следовательно,
∫≤ (12ln1− r2/)r2 πr
Cr
и этот интеграл также стремится к нулю при r → 0 . Преобразуя с помощью замены z = −x первый интеграл, получим:
−r |
R |
ln x +iπ |
|
|||
∫ |
= ∫ |
|
|
|
|
dx . |
(1+ x |
2 |
) |
2 |
|||
−R |
r |
|
|
|
Таким образом, в пределе при r → 0 , R → ∞ получаем:
2 +∞∫ |
ln x dx |
+πi +∞∫ |
dx |
|
|
= |
iπ2 |
− |
π . |
2 2 |
2 |
) |
2 |
|
|||||
0 |
(1 + x ) |
0 |
(1+ x |
|
4 |
|
2 |
Сравнивая действительные и мнимые части, получаем:
+∞ |
|
|
dx |
|
|
π |
+∞ |
ln x dx |
|
π |
|
|||
∫ |
|
|
|
|
= |
|
; ∫ |
|
|
|
|
= − |
|
. |
(x |
2 |
+1) |
2 |
4 |
(x |
2 |
+1) |
2 |
4 |
|||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
34
Пример 8.2.* Вычислить интеграл
+∞ |
ln x dx |
||
∫0 |
|||
|
. |
||
(x +1)2 + 4 |
Для вычисления данного интеграла воспользуемся вспомогательной функцией
f (z) = |
ln2 |
z |
|
|
(z +1)2 |
+4 |
|||
|
и контуром, указанным на рис. 8.2.
Контур выбран таким образом, чтобы f (z) была однозначна на нем,
т.е. внутри контура ln z однозначен, так как считаем, что 0 < arg z < 2π . На
верхнем и нижнем берегах разреза, входящего в контур, ln2 z принимает значения ln2 x и
(ln x + 2πi)2 = ln2 x + 4πiln x −4π2
соответственно. Тогда интегралы от
ln2 x взаимно уничтожаются и появляется возможность вычислить искомый интеграл. Внутри контура лежат
два |
полюса |
z1,2 = −1±2i функции |
||||||||
f (z) |
с вычетами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(c |
|
) |
= |
1 |
[ln r +i(π−ϕ)]2 , |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
−1 1 |
|
4i |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(c |
) |
|
= − |
1 |
[ln r +i(π+ϕ)]2 , |
||
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
4i |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где r = 1 + 22 |
= |
5 ; ϕ = arctg 2 . |
||||||||
Применив теорему о вычетах, получаем |
||||||||||
|
|
∫ + ∫ + ∫ + ∫ = π2 4ϕ(π−i ln |
||||||||
|
|
I |
II |
CR |
|
|
Cr |
Рис. 8.2
5 ).
35
В соответствии со сказанным выше имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
4πi ln x − 4π2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
+ ∫ = −∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(x + |
1) |
2 |
+ 4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
II |
|
r |
|
|
|
|
|
||||||
Как |
и |
|
в |
|
предыдущем |
|
примере, |
|
|
следует доказать, что |
||||||||||||
limr→0 |
∫= Rlim→∞ |
∫=0 , и тогда в пределе при |
|
r → 0 , |
R → ∞ получаем, |
|||||||||||||||||
что |
Cr |
|
CR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+∞ |
|
dx |
|
|
+∞ |
|
ln x dx |
|
|
4πϕ |
(π−i ln 5 ). |
||||||||
|
4π |
∫0 |
|
|
− 4πi ∫0 |
|
= |
|||||||||||||||
|
|
(x +1)2 + 4 |
(x +1)2 + 4 |
2 |
||||||||||||||||||
Сравнив мнимые части, получим искомый интеграл |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+∞ |
|
ln x dx |
|
ϕln |
5 |
|
|
ln |
5 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∫0 |
= |
= |
|
arctg 2 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(x +1)2 + 4 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||
Пример 8.3.* Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
x−1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
Этот интеграл можно вычислить двумя способами.
Способ 1. Сделаем сразу подстановку x =et , тогда данный интеграл сводится к интегралу, аналогичному интегралу в примере
7.4 из разд. 7.
Способ 2. В качестве вспомогательной рассмотрим функцию
f (z) = |
|
z−1/ 2 |
= |
e−1/ 2 ln z |
, |
||
1 |
+ z |
1 + z |
|||||
|
|
|
а в качестве контура возьмем контур на рис. 8.3.
Заметим, что на нижнем берегу разреза
|
|
|
1 |
πi |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
||||
Рис. 8.3 |
f (xe2πi ) =e |
|
2 |
f (x) . |
Проделав все основные выкладки и оценки получили:
+∞∫ |
x−1/ 2 dx |
= |
π |
= π. |
|
1 + x |
sin π / 2 |
||||
0 |
|
|
36
Пример 8.4. Вычислить интеграл
2∫π |
|
dt |
|
. |
|
|
2 |
||
0 (2 + cost) |
|
|
||
Интегралы этого типа легко |
вычисляются с помощью замены |
|||
z = eit . Тогда |
|
|
|
dt = dz / ieit = dz / iz ;
cost = 12 (z +1/ z) .
Исходный интеграл представим в виде:
2∫π |
|
|
|
|
dt |
|
= |
4 |
|
∫ |
|
|
z dz |
|
. |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|||||||
0 (2 + cost) |
|
|
i |
|
z |
|
=1 |
(z |
|
+ 4z +1) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Внутри окружности |
|
z |
|
=1 подынтегральная функция имеет один |
|||||||||||||
|
|
полюс z0 = 3 − 2
c−1
с вычетом
|
z |
|
|
|
|
1 |
|
|||
d |
|
|
|
|
. |
|||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
3 + 2))2 |
2 33/ 2 |
|||||||
dz (z + ( |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z=z0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
По теореме о вычетах искомый интеграл равен
2∫π |
dt |
|
= |
4π |
. |
(2 + cost) |
2 |
3/2 |
|||
0 |
|
|
3 |
|
Пример 8.5. Вычислить интеграл
2∫π |
(1+ 2cost)2 cos 2t |
dt . |
|
5 / 6 −1 / 3cos t |
|||
0 |
|
Решение осуществляется с помощью замены z = eit . Тогда имеем:
2∫π |
(1 + 2cost)2 cos 2t dt |
= |
1 |
|
∫ |
(1+ z + z2 )2 dz |
. |
||||||||
0 |
5 / 6 −1/ 3cost |
|
|
i |
|
|
z |
|
=1 |
|
5 |
z − |
1 |
(1 + z2 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
6 |
6 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Один из корней подынтегральной функции
z = 5 / 6 ± |
7 / 12 |
|
1,2 |
1 |
/ 3 |
|
37
лежит внутри, а другой – вне окружности z =1, так как z1z2 =1;
причем эти корни – действительные и различны. Тогда по теореме о вычетах
|
2π |
(1+ 2cost)2 e2it dt |
|
|
|
(1+ z |
+ z2 )2 |
|
|
2π |
|
|
|
z |
2 |
||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
= 2π |
|
|
1 |
1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|||
|
|
5 |
/ 6 −1/ 3cost |
|
5 / 6 − z / 3 |
|
|
|
|
1/ 6 |
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
7 /12 |
|
|
|
||||
где z1 |
|
|
1 |
5 |
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
z1 |
|
5 |
|
|
3 |
7 |
|
|||
= |
|
|
|
|
− |
7 /12 |
=3 |
|
|
− |
|
|
7 / 13 |
|
, |
= |
2 |
− |
|
|
|
– полюс, |
|||
1/ 3 |
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лежащий внутри окружности. Откуда, пользуясь действительностью правой части последнего равенства, получаем:
2π |
(1 |
+ 2cost) |
2 |
cos2t |
|
|
2π |
|
|
|
5 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
∫ |
|
dt = |
|
|
|
− |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
7 / 12 |
|
6 |
12 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
− |
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 8.6.* Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 (1− x)(1 + x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В качестве вспомогательной рассмотрим функцию |
|
g(z) = |
1 |
, |
||||||||||||||||||||||
|
f (z) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где f (z) = 3 (1− z)(1+ z)2 . |
Функция f (z) |
во внешности отрезка |
[−1;1] распадается на три однозначные ветви. Действительно, положим ϕ1 = arg(1 + z) ; ϕ2 =arg(1− z) . При обходе против часовой стрелки замкнутого пути, изображенного на рис. 8.4 пунктиром,
каждый |
из ϕ1 |
и ϕ2 получает приращение |
2π , но тогда |
|
arg f (z) = |
ϕ1 + 2ϕ2 |
получает приращение |
2π и, |
таким образом, |
|
3 |
|
|
|
f (z) возвращается к исходному значению. |
|
|
||
Будем рассматривать ту ветвь функции |
f (z) , |
которая на верх- |
нем берегу отрезка [−1;1] принимает положительное значение. Возьмем контур, который на рис. 8.4 изображен сплошной ли-
нией. На берегу I имеем arg f (z) = 0 , т.е. f (z) = 3 (1 − x)(1+ x)2 ; на
38
берегу II, после обхода точки z =1 по часовой стрелке, arg f (z) = −2π/ 3 , т.е. f (z) = e−2πi /3 3 (1− x)(1+ x)2 .
Рис. 8.4
Оценивая аналогичным способом, изложенным выше, интегралы по малым окружностям Cr′, Cr′′, получаем, что они стремятся к
нулю при r → 0 . Далее, по теореме Коши для многосвязных областей:
(1 −e2πi/3 ) ∫1 |
|
dx |
|
= ∫ |
dx |
. |
|
|
2 |
f (x) |
|||
−1 3 (1− x)(1 + x) |
|
CR |
|
|||
Остается вычислить ∫, |
для чего воспользуемся разложением |
|||||
СК |
|
|
|
|
|
выбранной ветви в окрестности бесконечно удаленной точки. Для этого выносим ( −z3 ) из-под знака корня и преобразуем выражение
|
|
|
|
|
g(z) = |
|
1 |
= |
|
1 |
|
− |
1 −1/3 |
|
+ |
1 |
|
−2/3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
f (z) |
ze |
−πi/3 |
|
z |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||
где |
|
− |
1 −1/3 |
и |
|
+ |
|
1 −2/3 |
– те ветви функций, |
|
которые положи- |
|||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельны на сегменте (1; R) при достаточно больших R действительной оси. Разложим последние по формуле бинома, находим вычет
39
выбранной ветви в бесконечно удаленной точке. Этот вычет равен
(−eπi/3 ) – коэффициент при |
1 / z |
|
с обратным знаком. Пользуясь |
|||||||||
тем, что ∫ равен произведению 2πi |
на этот вычет, получаем |
|||||||||||
CR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 −e2πi/3 ) ∫1 |
|
dx |
|
|
|
|
= −eπi/3 2πi , |
|||||
3 (1 − x)(1 + x) |
2 |
|
||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
π |
|
|
2π |
|
|
∫ |
|
|
|
= |
|
|
= |
. |
||||
3 (1− x)(1 + x) |
2 |
sin |
π |
3 |
||||||||
−1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Пример 8.7.* Вычислить интеграл
+∞∫
0
Рис. 8.5
4 z = 4
4x ln x dx .
x2 +9
Для вычисления интеграла в качестве вспомогательной возьмем функ-
цию f (z) = |
4 |
z ln z |
, имеющую точ- |
|
z |
2 +9 |
|||
|
|
|||
кой ветвления |
z = 0 , и контур, в ко- |
тором многозначная функция f (z)
распадается на ветви (рис. 8.5). Выбираем какую-либо ветвь функции
f (z) |
|
в |
указанном |
контуре: |
||
ln z = ln |
|
z |
|
+i(ϕ+ 2πk) , |
положив, |
|
|
|
|||||
например, |
k = 0 , |
получаем |
||||
ln z = ln |
|
z |
|
|
+iϕ, |
|
|
|
|
z eiϕ = 4 z eiϕ/ 4 .
Очевидно, что на верхнем берегу разреза, обозначенном I на
рис. 8.5, z = xei0 = x , а на нижнем берегу (II) – z = xe2 πi .
В данном контуре однозначная функция имеет полюсы первого порядка z1,2 = ±3i . Тогда, пользуясь теоремами Коши, имеем:
40