Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Баскаков Несобственные интегралы 2014

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

1.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

∫b g(x) dx	(3.2)
a

имеют единственную особенность в точке b, и на промежутке [a; b) для некоторой постоянной c > 0 выполняются неравенства

0 ≤ f (x) ≤cg(x) . Тогда из сходимости интеграла (3.2) следует сходимость интеграла (3.1) и имеет место соотношение

∫b f (x) dx ≤ c∫b g(x) dx ,

ииз расходимости интеграла (3.1) следует расходимость интеграла

(3.2).

Удобно пользоваться признаком сравнения в следующей форме. Теорема 3.2. Пусть интегралы (3.1) и (3.2) имеют единственную особенность в точке b, подынтегральные функции положительны и

существует предел

lim f (x) / g(x) = A >0 .

x→b

Тогда эти интегралы либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Спомощью этих признаков исследуемый интеграл сравнивается

синтегралом, сходимость или расходимость которого уже установлены. В качестве последних часто используются следующие интегралы:

1)	+∞∫	xα dx сходится при α < −1 и расходится при α ≥ −1 ;
	0
2)	∫b	(b − x)α dx сходится при α > −1 и расходится при α ≤ −1 ;
	a
3)	∫A	xα dx ( 0 < A < ∞ ) сходится при α > −1 и расходится при

α ≤ −1 ;

4)	+∞∫ cx dx ( c >0, a >0 ) сходится при c <1 и расходится при

c ≥1 ;

5) +∞∫ c−x dx ( c >0, a >0 ) сходится при c >1 и расходится при

c ≤1 .

Пример 3.1. Исследовать на сходимость интеграл

∫1	cos2 (1/ x)	dx .	(3.3)

0	x

Интеграл (3.3) имеет единственную особенность при x → 0 . Воспользуемся теоремой 3.1. На промежутке (0; 1) справедливо

неравенство	0 ≤	cos2	(1 / x)	≤1/	x .
			x

Так как интеграл ∫1 x−1/2 dx сходится, то сходится и интеграл

(3.3).

Пример 3.2. Исследовать на сходимость интеграл

+∞∫

(3.4)

4x +ln x

Интеграл (3.4)

имеет единственную особенность при x →+∞ .

Положим f (x) =

и g(x) =1 /

x . Так как предел

4x + ln x

lim f (x) / g(x) = lim

= lim

4x + ln x

x→∞

ln x

и интеграл +∞∫ g(x) dx = +∞∫ x−1/2

dx расходится, то, как следует из тео-

ремы 3.2, расходится и интеграл (3.4).

Пример 3.3. При каких значениях параметра

сходится

интеграл

ln x

∫

dx .

(3.5)

Рассмотрим сначала случай α <1 . Положим ε =1 −α > 0 и представим подынтегральную функцию в виде

ln x

xε/ 2

ln x

(3.6)

1−ε

1−ε/2

Так как предел

lim xε/ 2

ln x

= 0 , то существует такое

x (0;1) ,

x→0+

что для всех x (0; x0 )

выполняется неравенство

xε/ 2

ln x

<1,

следовательно, из равенства (3.6) вытекает соотношение

ln x

/ xα <1 / x1−ε/ 2 ;

x (0; x ) .

Поскольку интеграл

∫0

сходится, то из теоремы 3.1 следу-

1−ε/ 2

ln x

ет, что сходится и интеграл ∫

Исходный интеграл (3.5) представим в виде

ln x

∫

= ∫

+ ∫

dx ,

т.е. как сумма двух интегралов, один из которых сходится, а другой является собственным. Таким образом, при α <1 интеграл (3.5) сходится.

Пусть теперь α ≥1 . В этом случае для всех x (0;1/ e) справедливо соотношение ln x >1 и, следовательно, неравенство

ln x

>1 / xα .

xα

Теперь из расходимости интеграла 1/∫e

следует расходимость

1/ e

ln x

∫

dx , а следовательно, и исходного интеграла.

Таким образом, интеграл (3.5) сходится при всех α <1 и расхо-

дится при α ≥1 .

Пример 3.4. Исследовать на сходимость интеграл

2∫π

(3.7)

sin x

Интеграл (3.7) сходится, если одновременно сходятся интегралы:

π∫/ 2

;

∫π

;

3π∫/ 2

;

2∫π

(3.8)

sin x

π/ 2

3π/ 2

sin x

Первый и третий из интегралов (3.8) имеют особенности в левом, а второй и четвертый – в правом конце соответствующего интервала.

Исследования на сходимость этих интегралов проводятся одинаково, поэтому мы ограничимся рассмотрением интеграла

3π∫/ 2		dx	,	(3.9)
	3	sin x
π

имеющего особенность в левом конце. Он, очевидно, сходится или

расходится одновременно с			3π∫/ 2	(−1) dx		. Так как подынтегральная
				3
			π		sin x
функция f (x) =	−1	является			знакоположительной, то имеет
	3 sin x

смысл попытаться применить теорему 3.2. Преобразуем функцию

	1
f (x) =				.
		3 sin(x −π)
Положим			g(x) =			1	. Воспользовавшись первым замеча-
					3 (x −π)
тельным пределом, получаем равенство
			lim f (x) / g(x) = lim					(x −π)1/3	=	1 .
								[sin(x −π)]1/3
			x→π				x→π
Теперь,			согласно			теореме		3.2, сходимость интеграла
3π∫/2	(x − π)−1/3		dx влечет сходимость (3.9).
π

Таким образом, интегралы (3.8) сходятся, а следовательно, сходится и интеграл (3.7).

4. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИЗНАКИ ДИРИХЛЕ И АБЕЛЯ

Несобственный интеграл ∫b f (x) dx называется абсолютно схо-

	a
дящимся, если сходится интеграл ∫b			f (x)	dx , и условно сходящим-
			f (x)	dx , и условно сходящим-

		a
ся, если интеграл ∫b	f (x) dx сходится, а интеграл ∫b				f (x)	dx расхо-
ся, если интеграл ∫b	f (x) dx сходится, а интеграл ∫b				f (x)	dx расхо-
a				a
дится.
Теорема 4.1. Если интеграл ∫b		f (x) dx		сходится абсолютно, то
	a

он является сходящимся в обычном смысле.

Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Очень часто при исследовании на сходимость интеграла от знакопеременной функции легче исследовать его на абсолютную сходимость, так как наиболее удобные для исследования признаки

сравнения применимы лишь для знакопостоянных функций. Следующие признаки являются достаточными для сходимости

интегралов.

Теорема 4.2 (признак Дирихле). Интеграл ∫b	f (x)g(x) dx схо-
a

дится, если:

а) функция f (x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную на [a; b) ;

б) функция g(x) непрерывно дифференцируема и монотонна на

[a; b) , причем lim g(x) = 0 .

x→b−
Теорема 4.3 (признак Абеля). Интеграл ∫b	f (x)g(x) dx сходит-
a
ся, если:

а) функция f (x) непрерывна на [a; b) и интеграл ∫b	f (x) dx схо-
a

дится;

б) функция g(x) ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на [a; b) .

Пример 4.1. Исследовать на сходимость интеграл

+∞ sin 3x + cos2 x
∫			dx .	(4.1)
	x	2
1

Если подынтегральная функция не является знакопостоянной, то исследование интеграла на сходимость лучше всего начать с исследования его на абсолютную сходимость. Так как для любого числа x [1; ∞) справедливо неравенство

		sin 3x +cos2 x		≤ 2 / x2
			x2
и так как интеграл +∞∫	2dx		сходится, то по признаку сравнения ин-
	2
1		x

теграл (4.1) является абсолютно сходящимся, а следовательно, и сходящимся в обычном смысле.

Пример 4.2. Исследовать на сходимость интеграл


		+∞∫		sin x		dx .	(4.2)
		+∞∫				dx .	(4.2)
		0			x
	sin x					sin x
Так как предел lim		= lim			x		=0 , то подынтегральная
Так как предел lim	x	= lim			x		=0 , то подынтегральная
x→0	x		x→0			x

функция (4.2) имеет единственную особенность при x →+∞ . Из того, что функция f (x) =sin x непрерывна и имеет ограниченную первооб-

разную на (0; ∞) ( G(x) =cos x ), а функция g(x) =1 /				x непрерывно
дифференцируема имонотоннана (0; ∞) , причем lim				g(x) = 0 , следу-
			x→+∞
ет, согласнотеореме4.2, чтоинтеграл(4.2) сходится.
Пример 4.3. Исследовать на сходимость интеграл
∫1	dx		.	(4.3)
	2
0	x (1 + ln	x)

Подынтегральная функция является произведением двух функ-

ций: f (x) =1 / x и g(x) =1 / (1 +ln2 x) , которые удовлетворяют условиям теоремы 4.3. Таким образом, интеграл (4.3) сходится.

5.ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ

СПОМОЩЬЮ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

Теорема 5.1. Пусть функция f (x) имеет на сегменте [a; b)

единственную особенность в точке b. Предположим, что существует разбиение сегмента [a; b) :

a = x0 < x1 < x2 <... < xn <... ,

удовлетворяющее следующим условиям:

а) lim xn =b ;

n→∞

xn+1

б) limn→∞ ∫ f (x) dx = 0 .

Тогда ряд

	∞	xn+1
	∑	∫ f (x) dx
	n=0	x
		n
и интеграл ∫b	f (x) dx либо одновременно сходятся, либо одновре-
a

менно расходятся.

Замечание. Очень часто в качестве последовательности {xn}

берут нули подынтегральной функции.

Пример 5.1. Исследовать на сходимость интеграл

+∞∫	sin x	dx .	(5.1)
	sin x

	x
0	x

Исследуемый интеграл имеет единственную особенность при x →+∞ .

Положим x = πn , n = 0, 1, 2, … и			f (x) =	sin x	. Поскольку для
				sin x

n				x
	sin x			x
любого x > 0 величина	sin x	<1, то
любого x > 0 величина	x	<1, то
	x

∫π

sin x

dx ≤ π.

Для любого натурального числа k справедливы оценки

π(k +1)

sin x

π(k +1)

∫

≥

∫

sin x dx

≥

π(k +1)

πk

π(k +1)

sin x

π(k +1)

∫

≤

∫

≤

πk

Проверим выполнение условий теоремы 5.1:

а) lim x = +∞;

n→∞ n

xn+1

б) 0 ≤ lim

f (x)

dx ≤ lim 1 / k = 0 .

n→∞ ∫

n→∞

∞

π(k +1)

sin x

Так как ряд ∑

∫

dx знакоположительный и мажориру-

k =0

πk

∞

ется снизу расходящимся рядом ∑

, то он расходится, по-

π(k +1)

k =0

этому согласно теореме 5.1 расходится и интеграл (5.1).

6. МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ*

Этот метод основан на следующем утверждении: если подынтегральная функция f (x) представима в виде f (x) = g(x) + R(x) , где

R(x) – функция абсолютно интегрируемая, то функции f (x) и g(x) одновременно либо абсолютно интегрируемы, либо условно

интегрируемы, либо неинтегрируемы.

Обычно представление функции f (x) в указанном виде удается получить, выделяя ее главную часть при x → b .

* В разобранных задачах этого раздела используются сведения о рядах Тейло-

ра.

Пример 6.1. Исследовать интеграл

+∞	sin x
∫	sin		dx

1		x

на абсолютную и условную сходимость.

Заметим сначала, что если число t [0;1] , то ряд Тейлора функ-

ции sin t в нуле
sin t t −	t3	+	t5	+... +(−1)n	t2n+1	+...
					(2n +1)!
3!		5!

представляет собой ряд Лейбница. Следовательно, разность между значением функции и частной суммой ряда Тейлора оценивается модулем первого отброшенного члена и, в частности,

Так как

где

sin t −t	≤	t3	, t [0;1] .

		3

sinxx ≤1 при x [1; +∞) , то

sin x

= f (x) + R(x) ,

sin

f (x) =

sin x

, а

R(x)

≤

sin3

≤

3! x3/2

	Так как интеграл			+∞∫ R(x) dx сходится абсолютно, а интеграл
				1
+∞∫	sin x dx	– условно (пример 4.2), то и исходный интеграл сходит-
+∞∫		– условно (пример 4.2), то и исходный интеграл сходит-
1	x
ся условно.
	Пример 6.2. Исследовать интеграл
					+∞∫		sin x dx
					+∞∫		x −sin x
					1		x −sin x
на абсолютную и условную сходимость.
	Представим подынтегральную функцию в виде
				sin x		= sin x		1		.
			x −sin x				x	1−sin x /	x

Так как при t [0; sin1] справедливо неравенство

−(1 +t)

≤

1−t

1−sin1

sin x

≤sin1 при x [1; +∞) , то

и так как

sin x

sin2 x

+ R1(x)

+ R(x) ,

x −sin x

где

R(x)

sin x 3

/ (1 −sin1) ≤ cx

−3/2

, т.е.

R(x)

– абсолютно ин-

≤

тегрируемая функция.

Таким образом, характер сходимости исходного ределяется характером сходимости

+∞ sin x
J = ∫		+
	x
0

−+∞∫

sin2 x			+∞	sin x			+∞
		dx =	∫			dx +	∫
x	2
			1		x		1

cos 2x	dx = J1 + J	2 − J	3 .

2x

интеграла оп-

2dxx −

Так как интеграл J1 сходится (пример 4.2) (сходимость интеграла J3 следует из признака Абеля), а интеграл J2 расходится, то отсюда следует расходимость исходного интеграла.

7.ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

СПОМОЩЬЮ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ

Сущность метода вычисления интегралов, основанного на применении теории вычетов, состоит в следующем.

Пусть требуется вычислить интеграл от действительной функции, определенной на конечном интервале (a; b) оси x. Проводим

следующие построения: 1) дополняем интервал гладкой кривой C = z(t) , Re z(t) ≥ 0 с началом в точке b и концом в точке a так, что

совокупность {(a; b) c} ограничивает область D; 2) аналитически продолжаем f (x) в D. К построенному аналитическому продолжению применяем теорему о вычетах, в результате чего получаем

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20221.02 Mб1Банкова НумералсНумберс Анд Фигурес ин Профессионал 2011.pdf
#
12.11.2022738.59 Кб4Банкова ПРАЦТИЦЕ МАКЕС ПЕРФЕЦТ ПРЕСЕНТ ФОРМС 2015.pdf
#
12.11.20221.91 Mб43Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012.pdf
#
12.11.20221.09 Mб4Баранов Лабораторный практикум 2012.pdf
#
12.11.2022508.05 Кб7Барменков Дополнителные главы курса ТФКП.Римановы поверкхности 2015.pdf
#
12.11.20221.05 Mб5Баскаков Несобственные интегралы 2014.pdf
#
12.11.20223.67 Mб0Батова Бридгинг тхе Гап 2013.pdf
#
12.11.20222.38 Mб1Бежко Применение ЕВМ в експерименталных исследованиях 2011.pdf
#
12.11.20221.81 Mб0Белехов Психолого-педагогическое обеспечение образоватлного 2011.pdf
#
12.11.2022583.9 Кб3Белобородов Надежност тестов 2012.pdf
#
12.11.20224.94 Mб60Беляев Физика ядерной медицины Ч.2 Учебное пособие 2012.pdf