Лекция_1

– масштабными векторами, длины которых принимаются за единицу. На рис. 1 это векторы i и j. Тройка O,i, j определяет заданную систему координат.

Произвольный вектор (1) можно представить в виде разложения по базисным векторам:

(2)

2. Векторы, сопоставляемые физическим величинам, могут быть

закрепленными (связанными), скользящими или свободными. Свободным вектором называют вектор с фиксированным направлением и величиной, но который можно перемещать параллельно самому себе. Такие векторы описывают векторные физические величины, не меняющиеся при переходе из одной точки пространства в другую. Свободными являются, например,

базисные векторы, векторы угловых перемещений, скоростей, ускорений,

моментов силы, импульса. Свободные векторы можно складывать и умножать, даже если они не имеют общего начала. Для этого просто надо, не меняя длин и направлений, совместить начала векторов. Закрепленным вектором называется вектор, начало которого находится в фиксированной точке. Примером связанного вектора является сила, приложенная к

вдоль линий действия. Связанные и скользящие векторы могут быть по правилам линейной алгебры выражены через свободные. Именно поэтому

правила работы с векторными величинами формулируются для свободных векторов.

3. Рис.2 иллюстрирует правило определения суммы двух векторов a и b . Для этого начало вектора b совмещают с концом вектора a . Достраивая до треугольника, получают вектор c a b. При этом, как видно из рис.2,

координаты получившегося вектора равны сумме соответствующих координат векторов a и b :

Таким образом, при сложении векторов необходимо просто сложить их соответствующие координаты. Вычитание векторов определяется аналогично: разность векторов a и b эквивалентна сумме векторов a и b :

Как видно из рис. 2, величина (модуль) вектора определяется согласно теореме Пифагора:

Величина вектора является, разумеется, также и расстоянием между двумя точками: его началом и его концом.

Из рис.2 также следует, что проекции вектора на оси координат определяются через его модуль и углы наклона к соответствующим осям следующим образом:

ax a cos , ay a sin . (5)

4. В трехмерном пространстве положение произвольной точки в декартовой системе координат определяется тремя координатами – проекциями точки P на ортогональные оси Ox (ось абсцисс), Oy (ось ординат) и Oz (ось аппликат) этой системы с началом отсчета в точке O

(рис.3). Вектор r OP , проведенный из начала координат O в точку

P xP , yP , zP , называется радиус-вектором точки P . Коль скоро координаты

точки O равны нулю, то координатами радиус-вектора являются координаты

его конца, т.е. точки P . В дальнейшем для краткости записи базисные

векторы будем обозначать как ex ,ey ,ez . Радиус-вектор может быть разложен по этим трем векторам:

При этом говорят, что определена метрика пространства. В данном случае метрика называется евклидовой. Метрика пространства задаёт правило

Следует обратить внимание на то, что скалярное произведение – это число

(скаляр), а векторное произведение суть вектор с координатами,

определяемыми согласно (8). Направление и величину этого вектора наглядно можно представить следующим образом.

Направление вектора с перпендикулярно как вектору a , так и вектору b , то

есть вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат два вектора a и

b , произведение которых мы и находим. Если, например, a и b лежат в плоскости Oxy , то вектор a b c параллелен оси Oz . Чтобы определить,

направлен ли он по оси Oz или против неё, надо воспользоваться правилом правого винта, которое для наглядности сформулируем

вкоторой – угол между векторами a и b .

6.Положение точки можно задать также с помощью цилиндрической и сферической систем координат. Цилиндрическими координатами точки P

называют расстояние (полярный радиус) от начала координат до её проекции P на плоскость Oxy (рис. 4), угол (полярный угол) между осью

Ox и направлением , и координату z . Базисные векторы такой системы координат постоянны по модулю, но, в отличие от орт декартовой системы,

при движении точки P меняют свою ориентацию. Про такой базис говорят,

что он локальный (локальный репер), т.е. определен в каждой точке свой.

цилиндрическими координатами легко получить, пользуясь рис. 4:

z 0 .

Сферические координаты , , определяются следующим образом

(рис.5): расстояние от начала координат до точки P , угол между осью

Проекцией вектора на некоторую ось, направление которой задается единичным вектором e , называется скалярное произведение этого вектора на вектор e . Например, проекция радиус-вектора на ось аппликат равна

Легко видеть, что скалярное произведение определяет угол между произвольными векторами a и b . В самом деле, через два вектора всегда

можно провести плоскость. Выберем в этой плоскости полярные координатыa, 1 для первого вектора и b, 2 для второго, записав указанные векторы в виде (см. рис.2)