Операции с тензорами 15.12

Произвольный тензор можно записать в виде:

Пример. Произведение двух тензоров, взятых в разных точках пространства, не является тензором.

Кососимметрический (антисимметрический) тензор – тензор, инвариантный относительно операции альтернирования по некоторой группе индексов. Если инвариантность по всем индексам, то тензор называется полностью антисимметрическим.

Оператор проектирования – аффинор вида:

Вектор u направлен вдоль вектора n , а длина его равна скалярному произведению

nv .

При определенном выборе вектора v может оказаться, что после действия на него аффинором, задаваемым симметричным тензором, изменилась только длина вектора v , но не его направление:

u Tv v

Тогда – собственное значение, v – собственный вектор.

Tkj vk v j gijTkj vk gijv j Tik vk gik vk

СЛАУ

Tik gik vk 0

Собственные значения определяются из уравнения

det Tik gik 0

Вообще говоря, тензор может иметь комплексные значения. Тогда полагают тензор не симметричным, а самосопряженным. По определению оператор T называется

Собственные значения самосопряженного оператора действительные. В самом, деле,

Т.е. собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Ортогональность собственных векторов дает возможность выбрать систему координат, в которой оси направлены вдоль собственных векторов. Такая система координат называется главной системой координат тензора. Компоненты тензора в этой системе координат образуют диагональную матрицу. В самом деле, пусть собственные векторы нормированы: vki ik . Здесь i – номер вектора. Тогда

В вещественном пространстве самосопряженному тензору отвечает симметричный тензор. Тогда приходим к известному из алгебры утверждению, что всякую симметричную матрицу можно привести к диагональному виду.

Рассмотрим подробнее

det Tik gik 0

Так как – скаляры, то коэффициенты этого уравнения также инвариантны относительно преобразований координат. Три инварианта тензора второго ранга.

Тензор, у которого инвариант I1 0 , называется девиатором.

Пример. Тензор деформаций. В общем случае деформация является неоднородной. Тело испытывает разную деформацию в различных направлениях. Для описания такой деформации необходимо ввести тензор деформаций. Для того чтобы понять как появляется тензор деформаций, рассмотрим как изменяется положение каждой частицы физически бесконечно малого объёма. Смещение каждой точки P можно охарактеризовать вектором смещения u r , являющимся при

dr dr + u r dr u r dr du

В декартовых координатах

dx dx u dx x

Здесь

A u

x

тензор относительной деформации. Разложим его на симметричную и кососимметричную части:

Опр. Тензор деформации – симметричная часть тензора относительной деформации

Опр. Тензор поворота – кососимметричная часть тензора относительной деформации

Симметричный тензор можно представить в виде суммы шарового тензора и девиатора:

Таким образом, относительное изменение объема при деформации определяется диагональными компонентами тензора деформации.

Недиагональные элементы определяют сдвиговую деформацию, а диагональные – относительное изменение длин отрезков.

Кососимметрическая часть определяет повороты объема как целого вокруг некоторой оси вращения. Действительно, Та часть изменения вектора u , которая связана с тензором

можно сопоставить дуальный псевдовектор

Тогда

du1 12dx2 13dx3 3dx2 2dx3 du2 21dx1 23dx3 3dx1 1dx3

du3 31dx1 32dx2 2dx1 1dx2

Или

du dx dx dx du φ dr

Здесь φ 1, 2 , 3 32 , 13 , 21 .

Задание. Показать, что φ 12 rotu .

В криволинейных координатах

Задание: Записать пространственную часть уравнения движения частицы. Убедиться, что

Задание. Показать, что инварианты электромагнитного поля имеют вид

E2 H2 invar,

EH 2 invar

Опр. Относительным тензором p q ранга называется геометрический объект, компоненты которого преобразуются по закону:

det xix j

1

При 1 и w 0 объект T – псевдотензор

При 1 и w 0 объект T – относительный псевдотензор веса w

Пример

Но