Добавил:

AD Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тверской Государственный Университет

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Операции с тензорами 15.12

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.12.2022

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

g g

Тогда

i1 i2i3

i1i2i3

xi1 xi2

xi3

xi1 xi2

xi3

Видим, что w 0 . Следовательно,

если 0 , то

i1 i2i3

– тензор

если 0 , то

i1 i2i3

– псевдотензор

Пример Псевдовектор или аксиальный вектор. 1

и w 0 . Поэтому

a a

Так как 0 , то это инверсия, т.е.

. Значит,

Значит, компоненты псевдовектора при инверсии не меняют знак.

Дифференцирование тензоров

Вспомним, что

	e			e
	x

Здесь
		e	e
			x

– символ Кристоффеля второго рода. Символ Кристоффеля первого рода определяется как

g	g	e	e	e	e
			x
				x

Символы Кристоффеля определяют ковариантные производные. Мы уже знаем, что

	ai	ai	i	am
		xk
k			mk

Рассмотрим теперь производную от тензора второго ранга

T T ij ei ej

T ij ei

T ij

e e

T ij

T ij e

T ij

e e

T ij m e e

T ij e m e

ik m

jk m

T ij

e e

T mj i

e e

T im j

e e

mk i

Tk T mj

imk T im mkj

ei ej kT ij ei ej

По определению

T ij

T mj i

T im j

Так как e e j j , то

e j

Убедитесь в этом. Поэтому

m a .

ik m

Следовательно, мы можем убедиться, что T T ei

e j

Tij

T m

T i

T m i

T i m

Дифференциал тензора

dT T dxk

Но

dxk ek dr

Поэтому

dT	T	ek dr dr ek	T ij e e		dr T
dT	xk	ek dr dr ek	T ij e e		dr T
	xk	k	i	j

Здесь мы ввели понятие градиента тензора:

T ek T kT ij ek ei ejxk

Градиент тензора – это тензорное произведение оператора на тензор.

Пример Градиент вектора

a ek a k aiek eixk

Это – тензор второго ранга. Каков его смысл?

da dr a = a T dr

Градиент вектора связывает приращения вектора с соответствующим приращением dr при переходе от тоски r к точке r dr .

Скалярное умножение как операция свертки. В самом деле,

Скалярное произведение векторов – это скаляр

ab aieibk ek aibk eiek ak bk

gik

Скалярное произведение вектора на тензор второго ранга – это вектор

aT aieiT kmek em aiT km eiek em aiTi mem

gik

Скалярное произведение тензоров второго ранга – это тензор второго ранга

XY X ij ei ejY kmek em X ijY kmei ejek em X kiY kmei em

g jk

Двойное скалярное произведение тензоров второго ранга – двойная свертка – скаляр

X : Y X ij e e	j	:Y kme e X ijY km g	e e X	mk	Y km
i	j	k m	jk i m	mk
			gim

Пример Оператор можно умножить на вектор скалярно. Получим скаляр

a ek k aiei k ai ek ei k ak diva

Вспомним, что

1 ak

1 g

dxk

Пример Оператор можно умножить скалярно на тензор второго ранга. Получим вектор.

T ek	T ij e	e	j		T ij ek e	e	j		T kj e	j	divT
k	i		j	k	i		j	k		j
					ik

T kT kj ej

T kj

T km mkj

k T mj mkk

T kj

T mj e

T km j e

Или иначе

	T kj
	T kj	g
T			T	km	mk
T	xk		T		mk
					j


ej


1		gT mj ej
		xm
	g

Теорема Риччи Ковариантные производные метрического тензора и его определителя равны нулю.

В самом деле,

	g		gij	g		m g		m

k		ij	xk		jm	ik	im	jk

gijxk

Далее, так как

то

g jm

g ms g

sik

gim

g ms

gsj

g jk

g ji

gij

g jk

det G g 16 ijk mns gim g jn gks ,

l g 16 ijk mns l gim g jn gks 0

		g jk

		xs

Благодаря этой теореме можно вносить и выносить метрику из-под ковариантной производной. Например,

k ai gij k ai gij k ai

Пример Оператор можно умножить на вектор векторно

a ek

aie

aiek e

ai g

ek e j

kjne

kjn

ai g

a e

j n

Пример Оператор можно умножить на тензор векторно:

T ek

T ij e e

T ij ek e e

kmne

T ij g

em e

T ij g

n e

kmn

kTmj en ej

Двукратное дифференцирование

Пример. Дивергенция от градиента вектора – это вектор

a em m k aiek ei m k ai emek ei m maiei a

gmk

Пример. Дивергенция от градиента тензора второго ранга – это тензор второго ранга

T em m kT ij ek ei ej m kT ij emek ei ej

gmk

m mT ij ei ej T

Интегрирование тензоров

1.Интеграл по объему. Теорема Остроградского-Гаусса. Из векторного анализа известно, что

fni dS xi dV

S V

Здесь dV gdx1dx2dx3 , dS gdq1dq2

Обобщим эту формулу на случай тензора, например, ранга p :

i i ..i			i i ..i
T 2 3	p 1 ni1 dS		T 2 3	p 1 dV
		xi1
S	V

В инвариантном виде

n TdS TdV

S V

Обобщение можно было провести и так:

T i1i2i3 ..ip ni1 dS i1T i1i2i3 ..ip dV S V

В инвариантном виде

n TdS TdV

S V

Можно еще и так

n TdS TdV

S V

Запишите это в координатном виде.

2.Теорема Стокса

adr adS a ndS n adS

Обобщения этой формулы:

dr T n TdS

В декартовых координатах

dxi1T i2i3 ..ip 1 i1km nk			T i2i3 ..ip 1 dS
		m
	S	x

1. Доказать, что координатный объект Fki	2 f	, где f	– скалярная функция, не
	xk xi
является тензором.

2.Доказать, что символы Кристоффеля ijk x не образуют тензор.

3.Доказать, что ijk x kji x является тензором.

4. Доказать, что след тензора с компонентами Tik	1	g	lm	Fil Fkm	1	gik Flm F	lm


	4				4

в Е4 равен нулю.

5.Найти главные компоненты и главные оси тензора, имеющего в некотором ортонормированном базисе следующие координаты:


	1	3	0		1	3	0

Aij				b) Aij
Aij	3	1	0 ,	b) Aij	3	1	0
	0	0			0	0
	0	0	3		0	0	2

6.Для однородной квадратной пластины, масса которой M , а сторона a , определить тензор инерции для осей системы координат Охуz, начало которой находится в одной из вершин O , а оси Oy и Oz направлены вдоль смежных сторон, и

определить главные оси инерции пластины для точки О и главные моменты инерции относительно этих осей. Ответ:

			2 3		0	0		ma2	2 0		0
		2						ma2
I ma				0	1 3	1 4	, I			0 1 4	0	, главные оси: ось			Ox , линии y z
I ma				0	1 3	1 4	, I	3		0 1 4	0	, главные оси: ось			Ox , линии y z
				0	1 4 1 3			3		0 0	7 4
				0	1 4 1 3					0 0	7 4
и z y .
7.	Показать, что инвариантный тензор может иметь только тип												p
7.	Показать, что инвариантный тензор может иметь только тип													и, следовательно,
													p
	только четный ранг.
8.	Доказать, что инвариантный тензор второго ранга имеет вид T j j .
													i		i
9.	Доказать, что инвариантный тензор четвертого ранга имеет вид T ij j j j j
														kl	k l	l k

10. Доказать, что тензор ij изотропный и что тензор типа будет изотропным,

если Tij ij .

11.Доказать, что если тензор Tijk симметричен по первым двум индексам, то

T ijk 13 Tijk Tjki Tkij

12.Доказать, что если тензор Tijk симметричен по первым двум индексам и кососимметричен по двум последним, то тензор нулевой.

13.Доказать, что T S 14 T S T S T S T S

14.	Показать,	что	T A B T A B 2C A B , где T – произвольный тензор
	второго ранга, C – вектор, дуальный антисиметричной части тензора T .
15.	Пусть n	–	единичный вектор, все значения которого в пространстве
	равновероятны.		Доказать справедливость соотношений для средних значений (