1.3. Анализ системы.

Рассмотрим переходную характеристику изучаемой системы. График представлен на рис. 1.3.1. В результате имеем следующие показатели качества:

• Перерегулирование ;

• Время регулирования t_р = 7.27 с.

Рис. 1.3.1. Переходная h(t) характеристика замкнутой системы.

Рассмотрим ЛАЧХ и ЛФЧХ изучаемой системы (рис. 1.3.2).

Запас устойчивости по амплитуде – это дополнительное усиление контура, которое необходимо, чтобы вывести систему на границу области устойчивости. Эта величина измеряется в децибелах.

Запас устойчивости по фазе – это дополнительный сдвиг фазы, который необходим для того, чтобы вывести систему на границу устойчивости.

Рис. 1.3.2. ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы с пометками о запасе устойчивости по амплитуде.

В результате имеем следующие показатели качества:

• Запас устойчивости по амплитуде ΔL = 14.9 дБ;

• Запас устойчивости по фазе Δφ = 31.1º;

• Частота среза ω_ср= 1.41 рад/c.

• Частота ω_пи= 3.77 рад/c.

Посчитаем установившиеся ошибки по заданию и возмущению

1. Передаточная функция ошибки по заданию

установившаяся ошибка по заданию будет равна

2. Передаточная функция ошибки по возмущению

установившаяся ошибка по возмущению будет равна

Для того, чтобы улучшить показатели качества системы, необходимо рассчитать и ввести ПИ- и/или ПИД-регулятор.

2. Расчет параметров типовых регуляторов

Синтез регулятора будем проводить, используя метод частотных характеристик, для чего будем строить желаемую ЛАЧХ системы.

Отметим, что среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ определяет основные динамические свойства: время переходного процесса, величину перерегулирования, запас устойчивости по фазе и амплитуде. Построение среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ состоит в определении частоты среза, по заданным показателям качества: времени переходного процесса, и величине перерегулирования.

Известно, что типовая («желаемая») асимптотическая ЛАЧХ в области средних частот (частоты среза) имеет наклон –20 дБ/дек. Чем длиннее этот отрезок, тем больше запас устойчивости системы.

Низкие частоты отвечают за инвариантность к возмущающему воздействию, усиление на этих частотах должно быть достаточно большим. Так как абсолютная инвариантность к постоянному воздействию уже достигнута, достаточно сохранять имеющийся уровень усиления.

Область высоких частот отвечает за устойчивость системы т.к. разомкнутая система устойчива, на частотах, соответствующих ее собственным значениям, необходимо обеспечить малое усиление.

Асимптотическая ЛАЧХ объекта состоит из двух асимптот ― низкочастотной с наклоном -20 дБ/дек и высокочастотной с наклоном -40 дБ/дек.

Будем исходить из следующих условий:

• система с желаемой ЛАЧХ должна обеспечивать все необходимые показатели качества;

• должны быть учтена структура регулятора и диапазон его возможных параметров.

2.1 ПИ-регулятор

ПИ-регулятор –

Регулируя величину можно уменьшить усиление контура, тем самым обеспечив меньшую подвижность корней. Основной корень ХП, отвечающий за колебательность и одновременно с этим за скорость протекания переходного процесса передаточной функции разомкнутой системы — который при замыкании системы становится комплексно-сопряженным. Если удастся обеспечить его неподвижность, можно избавиться от колебаний в системе, следовательно, и от перерегулирования.

Параметром можно создать область с наклоном -20дБ/дек, наша цель сделать ее как можно больше по протяженности, чтобы увеличить запасы устойчивости. Данная область сформируется в приблизительном частотном диапазоне . В соответствии с этим требованием было выбрано максимальное возможное значение .

При добавлении ПИ регулятора передаточная функция разомкнутой системы примет следующий вид:

Передаточная функция замкнутой системы:

Рис. 2.1.1. Переходная характеристика h(t) замкнутой системы с ПИ-регулятором.

Рис. 2.1.2. ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы с ПИ-регулятором.

Показатели качества системы с введенным ПИ-регулятором

• Перерегулирование ;

• Время регулирования t_р = 8.08 с;

• Запас устойчивости по амплитуде ΔL = 20.9 дБ;

• Запас устойчивости по фазе Δφ = 41.2º;

• Частота среза ω_ср= 0.893 рад/c.

• Частота ω_пи= 3.75 рад/c

Введение ПИ регулятора снизило перерегулирование до 29% и увеличило запасы устойчивости на 6 дБ по амплитуде, и на 10 º по фазе. Но немного повысило время регулирования.

Посчитаем установившиеся ошибки по заданию и возмущению

3. Передаточная функция ошибки по заданию

установившаяся ошибка по заданию будет равна

4. Передаточная функция ошибки по возмущению

установившаяся ошибка по возмущению будет равна

2.2 ПИД-регулятор

ПИД-регулятор –

Добавление дифференцирующего звена позволило обеспечить большую протяженность области с наклоном -20дБ/дек, за счет формирования нуля близкого по модулю к полюсу .

При добавлении ПИД-регулятора передаточная функция разомкнутой системы примет следующий вид:

Передаточная функция замкнутой системы:

Рис. 2.2.1. Переходная характеристика h(t) замкнутой системы с ПИД-регулятором.

Рис. 2.2.2. ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы с ПИД-регулятором.

Показатели качества системы с введенным ПИД-регулятором

• Перерегулирование ;

• Время регулирования t_р = 3.58 с;

• Запас устойчивости по амплитуде ΔL = дБ;

• Запас устойчивости по фазе Δφ = 94º;

• Частота среза ω_ср= 2.29 рад/c.3

Введение ПИД регулятора исключило перерегулирование и увеличило запасы устойчивости до 94 º по фазе, запасы устойчивости по амплитуде неограничен, т.к. фаза не пересекает значение -180 º. Время регулирования снизилось до 4 сек.

Рис. 2.2.3. Переходные характеристики h(t) замкнутой системы.