задачи

Средняя из внутригрупповых дисперсий (остаточная) (σ 2 ) выражает внутригрупповую вариацию для всей совокупности, рассчитывается как средняя арифметическая из групповых дисперсий:

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

Таким образом, общая дисперсия складывается из двух слагаемых: первое измеряет вариацию внутри частей совокупности, а второе – вариацию между средними этих частей.

Коэффициент детерминации (η 2 ) показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки:

Эмпирическое корреляционное отношение (η ) показывает, насколько тесно связаны исследуемое явление и группировочный признак:

Характеристики закономерности рядов распределения

Рассеивание кривой распределения по оси абсцисс является показателем колеблемости признака: чем более рассеяна кривая, тем больше колеблемость признака. Кривые распределения бывают симметричными и асимметричны-

71

ми. В зависимости от того, какая ветвь кривой вытянута − правая или левая, − различают правостороннюю или левостороннюю асимметрию.

Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра, равны между собой. Рассчитанные для та-

ких рядов распределений характеристики равны: х =Мо=Ме; R=6*σ; σ=1,25*d. Если указанные соотношения нарушены, то это свидетельствует о наличии асимметрии распределения. Так, при Мо>Ме> х разности между х −Мо и х −Ме положительные и асимметрия правосторонняя, а при Мо<Ме< х разности между х −Мо и х −Ме отрицательные и асимметрия левосторонняя.

Относительный показатель асимметрии (Аs):

Коэффициент асимметрии равен отношению центрального момента 3-го порядка (µ3 ) к среднему квадратическому отклонению в кубе (σ 3 ):

Если Аs>0, то асимметрия правосторонняя, а если Аs<0, то асимметрия левосторонняя. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) значительна, если она меньше 0,25, то незначительна.

Центральный момент к-го порядка рассчитывается по формуле:

Если As > 3, асимметрия существенна и распределение признака в гене-

σ Аs

ральной совокупности несимметрично.

72

Для определения асимметрии можно воспользоваться упрощенной формулой, предложенной Линдбергом:

где Р − удельный вес (%) количества тех вариант, которые превосходят среднюю арифметическую, в общем количестве вариант данного ряда; 50 − удельный вес (%) вариант, превосходящих среднюю арифметическую ряда нормального распределения.

Для симметричных одновершинных распределений рассчитывается показатель эксцесса (Ек), который является показателем островершинности распре-

Если (Ек)>0, то распределение относится к островершинным, а если (Ек)<0 − к плосковершинным.

Линдбергом предложен следующий показатель эксцесса:

Ек=Р−38,29, (5.28) где Р − доля (%) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения в ту и другую сторону от средней; 38,29 − доля (%) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения, в общем количестве вариант ряда нормального распределения.

Характеристика соответствия эмпирических и теоретических кривых распределения может быть получена с помощью критериев согласия.

Критерий согласия Пирсона (χ2) вычисляется по формуле:

где fэ и fт – эмпирические и теоретические частоты соответственно. Критерий Колмогорова (λ) вычисляется по формуле:

73

где D – максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами; ∑f − сумма эмпирических частот.

Необходимым условием использования критерия Колмогорова является достаточно большое число наблюдений (не меньше ста).

Задача 5.1

Количественно измерить закономерность распределения можно с помощью статистических характеристик: а) центра распределения; б) вариации; в) асимметрии и эксцесса.

Ответы: 1) а, б; 2) а, б, в; 3) б, в; 4) а, в.

Задача 5.2

Вариация представляет собой: а) различия индивидуальных значений ка- кого-либо признака внутри совокупности; б) различия значений нескольких признаков у отдельной единицы совокупности.

Ответы: 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) −.

Задача 5.3

Среднее значение признака в двух совокупностях одинаково. Может ли быть различной вариация признака в этих совокупностях? а) да; б) нет. Средние значения признака в двух совокупностях неодинаковы. Может ли быть различной вариация признака в этих совокупностях? а) да; б) нет.

Ответы: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

Задача 5.4

Для сравнения вариации двух признаков необходимо использовать: 1) среднее линейное отклонение; 2) среднее квадратическое отклонение; 3) размах вариации; 4) коэффициент вариации.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

74

Задача 5.5

Для измерения вариации групповых средних используют: а) межгрупповую дисперсию; б) групповые дисперсии. Для измерения вариации индивидуальных значений признака внутри выделенных групп используют: в) общую дисперсию; г) среднюю из групповых дисперсий.

Ответы: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

Задача 5.6

Выполнение плана поставки овощей предприятиями области за август и сентябрь характеризуется следующими данными (%):

август − 106; 133; 87; 111; 102; 121; сентябрь − 98; 105; 101; 104; 109; 107. Выполнение плана поставки овощей было более равномерно: 1) в августе; 2) в сентябре; 3) равномерность выполнения плана поставки в сентябре такая

же, как и в августе; 4) сравнить равномерность выполнения плана поставки овощей нельзя.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

Задача 5.7

Распределение оценок, полученных студентами двух групп на экзамене по высшей математике, характеризуется следующими данными:

Средний балл выше: а) в Ι группе; б) во ΙΙ группе. Более ровная успеваемость студентов: в) в Ι группе; г) во ΙΙ группе.

Ответы: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

Задача 5.8

Если все значения признака уменьшить в 10 раз, то дисперсия: 1) не изменится; 2) уменьшится в 10 раз; 3) уменьшится в 100 раз; 4) изменение дисперсии предсказать нельзя.

Ответы: 1; 2; 3; 4.

75

Задача 5.9

Известны данные о затратах времени на обслуживание одного покупателя работниками магазина:

Вычислите: 1) среднее время, затраченное продавцами на обслуживание одного покупателя; 2) размах вариации; 3) среднее линейное отклонение; 4) дисперсию; 5) среднее квадратическое отклонение; 6) коэффициент осцилляции.

Решение оформите в таблице. Сформулируйте выводы.

Задача 5.10

Известно распределение предприятий по численности персонала:

Определите: 1) дисперсию; 2) среднее квадратическое отклонение; 3) коэффициент вариации. Решение представьте в таблице. Сформулируйте выводы относительно однородности совокупности.

Задача 5.11

Выполнение норм выработки рабочими двух бригад предприятия строительного вида деятельности за истекший месяц характеризуется следующими данными (%):

Укажите, в какой бригаде большее различие между рабочими по степени выполнения норм выработки.

Задача 5.12

Средняя урожайность зерновых в двух районах области за 2006-2011 гг. характеризуется следующими данными (ц/га):

76

Рассчитайте среднее линейное отклонение и на его основе − коэффициент среднего линейного отклонения. Укажите, в каком районе урожайность зерновых более устойчива.

Задача 5.13

Распределение численности работников двух предприятий по возрасту характеризуется следующими данными (% к итогу):

Укажите, в каком предприятии вариация возраста работников больше.

Задача 5.14

Известны следующие выборочные данные о распределении населения области по размерам вклада в Сберегательном банке Российской Федерации:

Для измерения вариации размера вклада используйте среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Объясните экономический смысл этих показателей вариации.

Задача 5.15

Распределение работниц по сменной выработке тканей характеризуется следующими данными:

По этим данным определите среднюю сменную выработку работниц и следующие показатели вариации: 1) среднее линейное отклонение и на его основе коэффициент среднего линейного отклонения; 2) среднее квадратическое

77

отклонение и на его основе коэффициент вариации. Объясните различия в показателях вариации, рассчитанных в пунктах 1 и 2.

Задача 5.16

Известно распределение студентов 4 групп направления подготовки «Экономика» по количеству часов, затрачиваемых на домашнюю работу:

Вычислите по этим данным: 1) дисперсию количества часов, затрачиваемых на домашнюю работу двумя способами: обычным и по формуле х2 − (х)2 . Какой способ оказался более рациональным? 2) дисперсию доли студентов, затрачивающих на домашнюю работу от двух до пяти часов. Чем вызваны различия в технике расчета этих дисперсий?

Задача 5.17

Средний размер вклада в банке города увеличился с 350 тыс. руб. в 2000 г. до 1200 тыс. руб. в 2011 г. Среднеквадратическое отклонение размера вкладов увеличилось соответственно с 70 до 80 тыс. руб. Изменилась ли относительная вариация?

Задача 5.18

По имеющимся данным о наличии отдельной квартиры у работников предприятия определите среднее значение и дисперсию альтернативного признака:

Задача 5.19

По данным хронометражных наблюдений затраты времени на обработку десяти деталей КС-II на строгальных станках составляют (мин):

78

Для измерения внутрисменной и общей вариации затрат времени на обработку деталей KC-II используйте общую и среднюю из групповых дисперсий. Отличаются ли эти дисперсии и почему?

Задача 5.20

Известны данные о распределении магазинов по числу работников:

Вычислите: 1) среднюю внутригрупповую дисперсию; 2) межгрупповую дисперсию; 3) общую дисперсию, используя правило сложения дисперсий; 4) эмпирическое корреляционное отношение.

Задача 5.21

Средняя урожайность зерновых культур в фермерских хозяйствах района составляет 28,4 ц/га. В зависимости от количества внесенных удобрений на 1 га урожайность изменяется следующим образом:

Определите межгрупповую и общую дисперсии урожайности зерновых культур.

79

Задача 5.22

Средний балл успеваемости студентов очной и заочной форм обучения − 3,7; общая дисперсия − 0,1. На основании следующих данных определите межгрупповую дисперсию и, используя правило сложения дисперсий, среднюю из групповых дисперсий.

Какую вариацию измеряет средняя из групповых дисперсий?

Задача 5.23

Для изучения зависимости между уровнем заболеваемости и полом ребенка рассчитайте эмпирическое корреляционное отношение и коэффициент детерминации. Сформулируйте выводы.

Задача 5.24

Имеются выборочные данные о вкладах населения области:

Оцените тесноту связи между средним размером вклада и типом населения, исчислив эмпирическое корреляционное отношение. Сделайте выводы.

Задача 5.25

Для изучения зависимости уровня квалификации в разных бригадах рассчитайте эмпирическое корреляционное отношение и коэффициент детерминации. Сформулируйте выводы.

80