задачи

Предположим, что по состоянию на 1.01.12 г. удельный вес фермерских хозяйств первой группы уменьшится на 3%, а фермерских хозяйств второй группы увеличится на 3%. Ответьте, как при этом изменится среднее поголовье коров на одно фермерское хозяйство? Изменится ли модальное поголовье коров?

Задача 4.37

Известно следующее распределение предприятий по оплате одного дня работы работника:

Как изменилась средняя оплата 1 чел.-дня в 2011 г. по сравнению с 2010 г.? Изменилась ли модальная величина оплаты 1 чел.-дня?

Определите медиану по каждому году.

Задача 4.38

Известно следующее распределение поселков городского типа по числу жителей на 1.01.11 г.:

Предположим, что по состоянию на 1.01.12 г. удельный вес поселков с числом жителей до 3 тыс. уменьшится на 2%, а с числом жителей 5-10 тыс. увеличится также. Ответьте, как изменится при этом среднее число жителей на один город. Изменится ли модальный интервал числа жителей?

Задача 4.39

Известны следующие данные по области:

61

Какой вид средней следует применить для расчета средней себестоимости 1 ц сахарной свеклы по области? Какой из показателей использовать в качестве веса?

Определите моду, медиану.

Задача 4.40

По обувной фабрике имеются следующие данные:

Определите процент брака в среднем по фабрике за I и II кварталы.

Задача 4.41

Известны следующие данные по трем автотранспортным предприятиям:

Определите среднюю себестоимость 1 т/км по трем предприятиям вместе.

Задача 4.42

По одному из машиностроительных предприятий известны следующие данные:

62

Определите среднюю в месяц заработную плату рабочих всех профессий, вместе взятых.

Задача 4.43

Известны следующие данные по трем продовольственным магазинам:

Определите: 1) среднюю выработку на одного продавца по трем магазинам; 2) моду; 3) медиану выработки на одного продавца.

Задача 4.44

Известны следующие данные об урожайности, посевной площади и валовом сборе зерна в трех предприятиях региона:

В каком году средняя урожайность зерна по региону была выше и на сколько процентов?

Определите моду, медиану урожайности.

Задача 4.45

Известны следующие данные о выполнении плана строительномонтажных работ:

Определите средний процент выполнения плана строительно-монтажных работ по трем управлениям вместе.

63

Задача 4.46

По трем предприятиям за отчетный период имеются следующие данные:

Определите: 1) средние затраты на 1 руб. произведенной продукции по трем предприятиям вместе; 2) моду; 3) медиану.

Задача 4.47

По бригаде рабочих имеются следующие данные:

Определите: 1) средние затраты времени на производство одной детали по бригаде рабочих в целом; 2) моду; 3) медиану.

Задача 4.48

По одному из цехов текстильной фабрики имеются следующие данные:

Определите: 1) средние затраты времени на производство одного изделия по цеху в целом; 2) моду; 3) медиану.

Задача 4.49

Известны следующие данные о распределении многодетных матерей по числу детей:

Определите: 1) среднюю численность детей; 2) моду; 3) медиану.

Задача 4.50

Известны следующие данные специального статистического обследования потоков покупателей в один из дней работы универмага:

Определите: 1) среднюю величину; 2) моду; 3) медиану.

64

Задача 4.51

Имеется распределение рабочих по числу обслуживаемых станков:

Определите: 1) среднюю величину; 2) моду; 3) медиану.

Задача 4.52

Имеются следующие данные о пробеге машин от гаража до бензоколон-

ки:

Определите: 1) среднюю величину; 2) моду; 3) медиану.

Задача 4.53

В результате статистического наблюдения получен следующий ряд распределения проданных за день женских зимних пальто магазинами города:

Определите: 1) среднюю величину; 2) моду; 3) медиану.

Задача 4.54

Пять фирм занимаются реализацией телевизоров. Цена их продажи на 1 фирме составила 11 тыс. руб., на 2 − 13 тыс. руб., на 3 − 17 тыс. руб., на 4 − 15 тыс. руб., на 5 − 20 тыс. руб. Необходимо определить среднюю цену реализации телевизоров по пяти фирмам вместе.

65

ТЕМА 5. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И ДРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЯДОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Вариация − это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Размах вариации (R) – разность между максимальным (xmax) и минимальным (xmin) значениями признака:

R = xmax – xmin (5.1)

Среднее линейное отклонение (d ) − средняя арифметическая из абсолютных отклонений индивидуальных значений признака ( хi ) от их средней величины ( х ):

где хi − значение признака в дискретном ряду или середина интервала в интервальном ряду распределения; fi − частота признака.

Дисперсия (σ 2 ) − средняя арифметическая из квадратов отклонений ин-

дивидуальных значений признака ( хi ) от их средней величины ( х ):

Средний квадрат отклонений (σ взв2 ) равен среднему квадрату значений признака ( х2 ) минус квадрат среднего значения признака (х)2 .

66

Свойства дисперсии:

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2.Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не меняет величины дисперсии:

4. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А, в той или иной степени отличающийся от средней арифметической ( х ), то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической:

Коэффициент среднего линейного отклонения (линейный коэффициент вариации) ( Kd ) характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины:

67

Коэффициент вариации (V):

Коэффициент вариации характеризует относительную степень колеблемости признака. Принято считать, что если коэффициент вариации не превышает 33%, колеблемость признака незначительная, совокупность однородна, а средняя величина надежная, устойчивая, типичная для данной совокупности.

Пример. По данным табл. 5.1 требуется определить дисперсию, коэффициент вариации.

Таблица 5.1

Исходные данные для определения показателей вариации

Вспомогательные расчеты для нахождения взвешенной дисперсии по формуле (5.3) показаны в табл. 5.2.

σ 2 = 218465,28 = 3034,24 72

Дисперсия показывает, что квадрат отклонения объема реализованной продукции каждого предприятия от среднего объема реализованной продукции по всем предприятиям составляет 3034,24.

Среднее квадратическое отклонение (σ) определено по формуле (5.7):

σ = 3034,24 = 55,08 тыс. руб.

Среднее квадратическое отклонение показывает, что объем реализованной продукции каждого предприятия отклоняется от среднего объема реализованной продукции по всем предприятиям на 55,08 тыс. руб.

Коэффициент вариации (V) рассчитывается по формуле (5.10): V = 19955,08,3 *100 = 27,64%.

Совокупность предприятий по объему реализованной продукции является однородной, так как значение коэффициента вариации не превышает 33%.

Ответ: σ 2 = 3034,24; σ = 55,08 тыс. руб.; V = 27,64%.

Виды дисперсий в совокупности, разделенной на группы.

Вариация признака в совокупности, разбитой на группы, зависит как от вариации признака внутри каждой группы, так и от вариации групповых средних, т.е. от межгрупповой вариации признака.

Рассмотрим простейший случай, когда исходная совокупность делится на m однородных групп по одному признаку-фактору (табл. 5.3).

Таблица 5.3

Распределение исходной совокупности по группам

На основе частных средних х1 , х2 , …, хm определяют общую среднюю

( хобщ ) по формуле:

Общая дисперсия совокупности (σ общ2 ) измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

Межгрупповая дисперсия (δ 2 ) характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки, исчисляется как отклонение групповой средней величины от общей средней:

Частная групповая (внутригрупповая) дисперсия (σ 2j ) отражает случайную вариацию внутри каждой группы изучаемой совокупности, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки; рассчитывается как средний квадрат отклонений значений признака ( хi ) от частной средней ( x j ):