Функции нескольких переменных.

Ограничимся случаем функций от 3-х переменных.

Пусть в некоторой области D имеем функцию , возьмем точку в этой области. Если мы припишем и постоянные значения и и будем изменять , то и будет функцией от одной переменной в окрестности . Можно поставить вопрос о вычислении её производной в точке . Придадим значение приращение , тогда - частное приращение. По определению производной, она представляет собой предел

Эта производная называется частной производной функции по в точке .

Част. производ. обозначается : .

При условии

функция называется дифференцируемой в точке и (только в этом случае) выражение

,

т.е линейная часть приращения функции называется её (полным) дифференциалом и обозначается или или

Д. условие диф-ти. Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то функция диф-ма в этой точке.

Н. условие диф-ти. Если функция диф-ма в точке , то она непрерывна в этой точке.

Геометрический смысл производной.

Производная функций в точке геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке .

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции в точке равен приращению “ординаты касательной” MS к графику этой функции в точке , а приращение функции есть приращение “ординаты самой функции” в точке , соответствующее приращению аргумента, равному .

В.3. Определённый интеграл и его свойства. Основная формула интегрального исчисления.

Пусть функция определена на , . Разобьём этот отрезок на n произвольных частей точками: . Обозначим это разбиение через , а точки называются точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку . Через обозначим разность , который называют длинной частичного отрезка .

Обозначим сумму:

,(1) которая называется интегральной суммой для функции на , соответствующей данному разбиению на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек .

Геометрический смысл суммы :

- это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами если >0. Обозначим через - длину наибольшего частичного отрезка разбиения .

Опр.: если существует конечный предел I интегрирования суммы (1) при , то этот предел называется определенным интегралом от функции по отрезку , обозначается:или .

Свойства :

1) 2) если функция интегрируема на е, то она интегрируема на

3) если функция интегрируема на и существует число , то

4) если и интегрируемы на , то :

5) если и интегрируемы на , то их производные будут интегрируемы на .

6) если функция интегрируема и на отрезке , то 7)

8)

9) если и интегрируемы на , и , то

10) если интегрируема на , и если во всем этом промежутке имеет место неравенство , то справедливо:

11) Т. (о среднем): Пусть функция интегрируема на , и на выполняется , тогда , .

Т. Ньютона – Лейбница. (основная формула).

Если функция непрерывна на , то какая бы ни была её первообразная на , справедлива формула:

Опр.: Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке, если для всех значений из этого промежутка выполняется равенство: .

Справедлива также следующая формула интегрирования по частям:

Формула замены:

Формула Эйлера:

подстановка

В.4.Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница.

1)Пусть дана числовая последовательность . Выражение вида , называется числовым рядом или просто рядом.

Числа называются членами ряда, член с произвольным номером – общий член ряда.

Суммы конечного числа членов ряда называются частичными суммами ряда (1). Т.к. число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм (2)

Ряд (1) называется сходящимися, если посл-ть его частичных сумм (2) сх-ся к какому – нибудь числу S, назыв. Суммой ряда (1): или .

Если последовательность (2) расходится, то ряд (1) – расходящийся.

Если все числа положительны , то ряд называется знакоположительным.

Знакочередующимися называются ряды, члены которых поочередно имеют то положительный, то отрицательный знак:

2) Рассмотрим ряд среди членов которого имеется бесконечное множество как положительных так и отрицательных членов.

Ряд называется абсолютно – сходящимся, если сходится ряд .

Теорема. Пусть дан ряд с членами произвольных знаков. Если сходится ряд то сходится и данный ряд.

Если ряд сх-ся, но не абсолютно, то он называется условно – сходящимя.

Для ряда обознач. (3), (4) соот. его неотриц. и отриц. По модулю члены.

Лемма.

Если ряд условно сходится, то (3) и (4) расх-ся.

3) Теорема (признак Даламбера).

Пусть для ряда , существует предел ; тогда при ряд сходится, при расходится.

Теорема (интегральный признак).

Пусть дан ряд , члены которого являются значениями некоторой функции , положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда если сходится, то сходится и ряд ; если же расходится, то расходится и ряд .

Теорема (признак Лейбница).

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член ряда стремиться к 0: , то ряд сходится.

В.5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.