§202. Середня квадратична помилка одиниці ваги і загальної арифметичної середини

Маємо ряд результатів нерівноточних вимірювань будь-якої величини, дійсне значення якої “ ”, а вимірювання проводились групами:

– середнє арифметичне з вимірювань

– середнє арифметичне з вимірювань

........................................................................

– середнє арифметичне з вимірювань

Дійсні помилки цих груп вимірювань будуть:

...................

, , ..., – випадкові помилки середнього арифметичного даних груп вимірювань, а їх середні квадратичні помилки , , ..., обчислюються за формулою (1)

Якщо середня квадратична помилка одного такого рівноточного вимірювання дорівнює , то на підставі формули (1) можна написати:

, , ..., (2) тобто,

середня квадратична помилка будь-якого результату вимірювання дорівнює помилці одиниці ваги, поділеній на корінь квадратний з ваги цього результату.

Якщо вага якого-небудь з наведених вище результатів вимірювань, наприклад у “ ” дорівнює 1, тоді , тобто “ ” є середньою квадратичною помилкою результату вимірювання вага якого дорівнює одиниці, або іншими словами, “ ” є середньою квадратичною помилкою одиниці ваги.

Рівняння (2) можна записати:

; , ..., (3)

Піднесемо систему рівнянь (3) до квадрата і додамо, одержимо:

, або

(4)

але середня квадратична помилка при багаторазових вимірюваннях буде близькою до дійсної, тобто , якщо , тоді

, , ...,

і формулу (4) можна записати:

(5)

За цією формулою обчислюють середню квадратичну помилку одиниці ваги коли відомі дійсні помилки вимірювань.

Для обчислення середньої квадратичної помилки загальної арифметичної середини в формулі (1) потрібно замість “ ” підставити , а замість “ ” вагу загальної арифметичної середини , тобто

§203. Середня квадратична помилка одиниці ваги і загальної арифметичної середини, обчислені за ймовірнішими помилками

Маємо ряд результатів нерівноточних вимірювань будь-якої величини:

з вагою

з вагою

......................

з вагою

Дійсне значення цієї величини “ ”.

Обчислимо випадкові помилки

(1)

...................

Найімовірніше значення цієї величини обчислюється за формулою

(2)

а ймовірніші помилки даних результатів нерівноточних вимірювань будуть дорівнювати різниці між кожним з одержаних результатів вимірювань і найімовірнішим значенням, тобто:

(3)

...................

Віднімемо від рівняння (1) відповідно рівняння (3), одержимо:

(4)

...................

Різниці є дійсними помилками загальної арифметичної середини, позначимо їх через і систему рівнянь (4) перепишемо:

(5)

...................

Систему рівнянь (5) піднесемо до квадрата, помножимо кожне рівняння на відповідну вагу і додамо.

...............................................

(6)

Для спростування рівняння (6) помножимо систему рівнянь (3) на відповідну вагу і додамо:

............................

але згідно з формулою (2) , тоді , тобто сума добутків ймовірніших помилок на відповідну вагу дорівнює нулю. Цю властивість використовують для контролю правильності обчислення найімовірнішого значення і імовірніших помилок результатів нерівноточних вимірювань.

На підставі викладеного вище другий член правої частини рівняння (6) дорівнює “0”, тоді

(7)

Рівняння (7) поділимо “ ” і одержимо:

, але тоді (8)

Дійсна помилка найімовірнішого значення при багаторазових вимірюваннях буде близькою до середньо квадратичної помилки загальної арифметичної середини, тобто ; .

Враховуючи значення , рівняння (8) запишемо:

або

Розв’язуючи це рівняння відносно , одержимо формулу Бесселя для нерівноточних вимірювань:

За цією формулою обчислюють середні квадратичні помилки одиниці ваги коли відомі ймовірніші помилки, а середня квадратична помилка загальної арифметичної середини обчислюється за формулою

.