§200. Нерівноточні вимірювання. Загальна арифметична середина

Якщо одна і та ж величина вимірюється в різних умовах або різною кількістю прийомів, станцій, то такі вимірювання будуть нерівноточними і характеризуються різними середньо квадратичними помилками.

Допустимо, маємо ряд з трьох вимірювань будь-якої величини , , , середнє арифметичне цих вимірювань буде , потім цю величину двічі міряли другий раз і одержали результати , , середнє арифметичне цих вимірювань буде: , потім ту саму величину міряли ще п’ять раз і одержали результати , , , , і середнє арифметичних вимірювань буде: ;

Арифметичні середини , , однієї і тієї величини нерівноточні тому, що кожне середнє арифметичне виведене з різної кількості вимірювань.

Виведемо формулу обчислення середнього арифметичного з нерівноточних вимірювань.

Маємо ряд рівноточних вимірювань одної і тої величини, але вимірювання велись групами, а саме:

, , ... – з числом вимірювань

, , ... – з числом вимірювань

....................................................................

, , ... – з числом вимірювань

Утворимо середнє арифметичне з кожної групи вимірювань.

(1)

.....................................

Ми одержали нерівноточні результати вимірювань

– середнє арифметичне із вимірювань

– середнє арифметичне із вимірювань

– середнє арифметичне із вимірювань

а загальне число вимірювань дорівнює .

Одержані результати вимірювань в кожному окремому випадку є рівноточними вимірюваннями, тоді можна написати найімовірніше значення вимірюваної величини.

(2)

Перетворимо систему рівнянь (1)

........................................ (3)

Підставимо рівняння (3) в (2) одержимо

(4)

Цей вираз називається загальною арифметичною серединою нерівноточних вимірювань, а число вагою результатів вимірювань, тобто, вага загальної арифметичної середини дорівнює числу , яке показує з якого числа рівноточних вимірювань виведена дана загальна арифметична середина.

§201. Поняття і визначення ваги. Властивість ваг вимірювань

З визначення загальної арифметичної середини можна привести визначення ваги.

Вагою даного результату вимірювань називається число яке показує скільки необхідно виконати рівноточних вимірювань будь-якої величини, щоб середнє арифметичне з них мало таку точність, що і даний результат. Ваги результатів вимірювань мають відносний характер, їх можна зменшувати або збільшувати в однакове число разів, але від цього величина загальної арифметичної середини не зміниться.

Наприклад: Маємо ряд результатів нерівноточних вимірювань:

з вагою

з вагою

......................

з вагою

Найімовірніше значення величини буде:

Збільшимо вагу кожного результату на довільне число раз, наприклад, на “ ” разів, одержимо:

з вагою

з вагою

.........................

з вагою

Тоді найімовірніше значення з новими вагами буде:

Вага є показником точності даного результату вимірювань, тобто чим точніший результат, тим більша його вага. Так як точність результату вимірювання характеризується його середньою квадратичною помилкою “ ”, то за вагу, як правило, приймають величину обернену квадратові середньої квадратичної помилки даного результату. За цією умовою чим точніший результат вимірювань, тим менша його середня квадратична помилка, а значить, тим більша його вага.

Якщо ряд вимірювань , , ..., характеризується середніми квадратичними помилками , , ..., то ваги цих вимірювань будуть: , , ..., ; тобто – ваги вимірювань обернено пропорціональні квадратам середніх квадратичних помилок вимірювань.

Щоб спростити обчислення користуються формулою .

=1, 10, 100 ..., тоді ваги виразяться цілими і невеликими числами. Іноді за вагу приймають величину – де – число кутів, станцій, ходів і т. п.