mat_an7
.pdf
Московский Государственный Университет имени М.В.Ломоносова
|
Факультет вычислительной математики и кибернетики |
|
Кафедра общей математики |
|
|
Матем. анализ |
Предельные точки последовательности и множества 26 сентября |
листок 7 |
2011 года |
Определение: Число (или символ 1) называется частичным пределом последователь-
ности fxng, если найдется такая ее подпоследовательность fxnk g, что lim xnk = :
n!1
Определение: Назовем наибольший частичный предел последовательности fxng - верхним
пределом последовательности fxng. Обозначение: lim xn:
n!1
Определение: Назовем наименьший частичный предел последовательности fxng - ниж-
ним пределом последовательности fxng. Обозначение: lim xn:
n!1
Теорема: (Принцип Больцано-Коши):
Если последовательность ограничена, то у нее существует хотя бы один конечный частичный предел.
Теорема: Равенство lim xn = lim xn: является необходимым и достаточным условием су-
n!1 n!1
ществования предела (конечного или бесконечного) последовательности fxng.
7.1. (101, 102, 103, 104, 105, 106) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для последовательности f |
x |
1 |
найдите |
sup x |
|
; inf x |
|
; |
|
|
|
|
; |
lim x |
n, если: |
||
|
|
lim x |
|
||||||||||||||
|
ngn=1 |
n |
n |
n |
n |
|
n!1 |
n |
|
n!1 |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а) xn = 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(б) xn = ( 1)n 1 |
3 |
|
|
||||
2 + |
|
|
; |
||||
n |
|||||||
(в) xn = |
( 1)n |
+ |
1 + ( 1)n |
; |
|||
n |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
nn
(г)xn = 1 + n + 1 cos 2 ;
n+1 |
n(n 1) |
(д) xn = 1 + 2( 1) |
+ 3( 1) 2 ; |
n 1 2 n
(е) xn = n + 1 cos 3 ;
(ж) xn = ( 1)n :
Замечание: Под |
sup x |
n |
; |
|
inf x |
n понимается наибольший наименьший член последова- |
n |
|
n |
тельности fxng1n=1:
7.2. (112, 114) Найдите |
lim xn; |
lim xn, если: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
n!1 |
|
||||
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|||||||
(а) xn = 1 + |
|
|
|
|
( 1)n + sin |
|
|
|
; |
|||||||
n |
4 |
|||||||||||||||
(б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xn = p1 + 2n( 1)n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(в) xn = 1 + sin |
n |
1 cos |
n |
; |
|
|||||||||||
4 |
6 |
|
||||||||||||||
|
xn = n ln 1 + |
|
|
|
1)n |
: |
|
|
|
|
|
|||||
(г) |
( |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.3. (Характеризация частичного предела)
Число a 2 R есть частичный предел последовательности xn тогда и только тогда, когда
8" > 0 8N 2 N 9n 2 N : n > N; jxn aj < ":
7.4.Постройте последовательность, частичные пределы которой -
(а)все целые числа;
(б)все числа из отрезка [0; 1];
(в) все действительные числа;
Замечание: Интересным является факт, что, и отрезок [0; 1], и действительная прямая R
имеют мощность континуум, а последовательности их приближающие с любой степенью точности - счётны.
7.5. (121, 122)
(а) Постройте пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частич-
ных пределов данные числа: fa1; a2; : : : ; ang
(б) Постройте пример числовой последовательности, для которой все члены данной
последовательности: fa1; a2; : : : ; an; : : :g являются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?
p
7.6.(124) Докажите, что последовательности xn и yn = xn n n имеют одни и те же частичные пределы.
7.7.(127, 128)
Что можно утверждать о сходимости последовательностей fxn + yng; fxn yng, если:
(а) fxng - сходится, fyng - расходится;
(б) fxng, fyng - расходятся.
7.8.?
(а)Последовательность fang такова, что ее подпоследовательности fa2ng и fa2n+1g
сходятся. Сходится ли последовательность fang?
(б) Последовательность fang такова, что ее подпоследовательности fa2ng, fa2n+1g и fa3ng сходятся. Сходится ли последовательность fang?
(в) Приведите пример не имеющей предела последовательности fang, для которой сходится каждая из последовательностей famkg1k=1; m > 2 - фиксированное число.
7.9.Постройте пример последовательности, для которой множество всех частичных пре-
1
делов есть n 2 N [ f0g: n
7.10. Докажите, что каждое из следующих множеств, и только оно, не может быть множеством всех частичных пределов некоторой числовой последовательности:
(a) |
|
1 |
|
|
n 2 N ; |
(б) (0; 1); |
||
n |
||||||||
Q |
; |
|
|
|
|
(г) |
R |
; |
(в) |
|
|
|
|
|
|||
7.11.
(а) Докажите, что любая последовательность действительных чисел содержит монотон-
ную подпоследовательность.
(б) Укажите какую-нибудь строго монотонную подпоследовательность последователь-
p p
ности f n n g, где обозначает целую часть числа .
7.12. Опишите множество A всех частичных пределов монотонной последовательности.
7.13. |
|
Докажите, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(а) |
|
|
|
|
n |
n)1 m>n |
m = |
n |
m>n |
m ; |
(б) n!1 |
n |
n)1 m>n |
m |
n |
m>n |
m . |
n!1 |
|
||||||||||||||||
|
lim x |
|
= lim sup x |
|
inf |
sup x |
|
lim x |
|
= lim inf x |
|
= sup |
inf x |
|
|||
Замечание: Указанные соотношения иногда берутся за определения нижнего и верхнего пределов последовательности. В этом случае доказывается, что выражения, определённые таким образом являются соответственно наименьшим и наибольшим из частичных пределов данной последовательности.
7.14.? Найдите множество всех частичных пределов последовательности xn = sin n:
7.15.? Множество A R называется замкнутым, если для любой последовательности
fxng сходящейся к числу x 2 R, предел x принадлежит множеству A. Докажите, что любое
непустое замкнутое множество A R есть множество всех частичных пределов некоторой последовательности fang R.
7.16. ? Последовательность неотрицательных чисел fang для фиксированных параметров p > 0; q > 0; p + q < 1 удовлетворяет соотношениям:
an+2 6 pan+1 + qan; n > 1:
Докажите, что данная последовательность сходится, и найдите её предел.
|
1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.17. ? |
Пусть a1 = 1, an = |
|
Xk |
akan k при n > |
2. Докажите, что |
|||||||||||||
n |
=1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p2 |
||||
|
|
|
3 |
|
|
j |
|
nj |
|
|||||||||
|
|
|
n!1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
lim n |
a |
|
|
< |
1 |
|
: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.18. ? |
Определите множество предельных точек множества |
|||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3n 3 m; m 2 N :
7.19.? Пусть числовая последовательность fang удовлетворяет условию
am+n 6 am + an (m; n 2 N):
Докажите, что тогда последовательность an должна либо сходится, либо расходится к n
минус бесконечности. Причём предел этой последовательности будет равен её нижней грани. |
|||
n o |
|
|
|
7.20. ? Докажите, что сумма k ых степеней: |
|
|
|
Sk(n) = 1k + 2k + : : : + nk = a0 + a1n + : : : + ak+1nk+1 |
|
|
|
есть многочлен от n степени (k + 1): Установите равенство: lim Sk(n) |
= |
1 |
: |
n!1 nk+1 |
|
k + 1 |
|