1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_14_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Найдя из последнего равенства = / , можем записать
(| - a|< / ) = 2Ф(t).
61
Теория вероятностей и математическая статистика
Приняв во внимание, что вероятность Р задана и равна, окончательно имеем (выборочную среднюю вновь обозначим через )
P( — t / < а < + t / ) = 2Ф(t) = .
62
Теория вероятностей и математическая статистика
P( — t / < а < + t / ) = 2Ф(t) = .
Смысл полученного соотношения следующий:
С надежностью можно |
утверждать, |
что |
доверительный интервал ( |
— t / , + |
t / ) |
покрывает неизвестный параметр a; точность оценки = t / .
Число t определяется из равенства 2Ф(t)= , или Ф(t) = /2. По таблице функции Лапласа (Приложение 2 учебника и задачника*) находят аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа, равное /2.
*Приложение 2 находится в папке Файлы (Учебные материалы ТВиМС)
системы Microsoft Teams (файл «Гмурман_ВЕ_Приложения.pdf»).
63
Теория вероятностей и математическая статистика
Замечание 1. Оценку | - a| < / называют
классической.
Из формулы = / , определяющей точность классической оценки, можно сделать следующие выводы:
1)при возрастании объема выборки n число убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается;
2)увеличение надежности оценки = 2Ф(t) приводит к
увеличению t (Ф(t) — возрастающая функция), следовательно, и к возрастанию ; другими словами, увеличение надежности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.
64
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. Случайна величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением а = 3. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочным средним х, если объем выборки n = 36 и задана надежность оценки = 0,95.
Решение. Найдем t. Из соотношения 2Ф(t) = 0,95 получим Ф(t) = 0,475. По таблице Приложения 2 находим t =1,96.
Найдем точность оценки:
= / = (1,96 ∙ 3)/ 36 = 0,98.
65
Теория вероятностей и математическая статистика
Доверительный интервал таков: (х - 0,98; х + 0,98).
Например, если х = 4,1 , то доверительный интервал имеет следующие доверительные границы:
х - 0,98 = 4,1 – 0,98 = 3,12; х + 0,98 = 4,1 + 0,98 = 5,08.
66
Теория вероятностей и математическая статистика
Таким образом, значения неизвестного параметра а, согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству
3,12 < а < 5,08.
Подчеркнем, что было бы ошибочным написать
Р(3,12 < а < 5,08) = 0,95.
Действительно, так как а – постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю).
67
Теория вероятностей и математическая статистика
Таким образом,
доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.
68
Теория вероятностей и математическая статистика
Поясним смысл, который имеет заданная надежность.
Надежность = 0,95 указывает, что если произведено
достаточно большое число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен; лишь в 5% случаев он может выйти за границы доверительного интервала.
69
Теория вероятностей и математическая статистика
Замечание 2.
Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью и надежностью , то
минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле
n = t2 2/ 2.
Эта формула является следствием равенства = t / .
70