1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_14_22_лекц_1К
.pdfТеория вероятностей и математическая статистика
Статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка * удовлетворяет неравенству
| — *| < ;
можно лишь говорить о вероятности , с которой это неравенство выполняется.
51
Теория вероятностей и математическая статистика
Надежностью (доверительной вероятностью)
оценки по * называют вероятность с которой выполняется неравенство | — *| < .
Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице.
Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.
52
Теория вероятностей и математическая статистика
Пусть вероятность того, что | — * | < , равна :
Р[ | — * | < ] = .
Заменив неравенство | — * | < равносильным ему
двойным неравенством - < | — * | < , или
* - < < * + ,
имеем
P [ * - < < * + ] = .
Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал ( * - , * + ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .
53
Теория вероятностей и математическая статистика
Доверительным называют интервал ( *— , * + ),
который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .
54
Теория вероятностей и математическая статистика
Замечание. Интервал ( *— , * + ) имеет случайные концы (их называют доверительными границами).
Действительно, в разных выборках получаются различные значения *. Следовательно, от выборки к выборке будут изменяться и концы доверительного интервала, т. е. доверительные границы сами являются случайными величинами — функциями от х1, х2, … хn.
Так как случайной величиной является не оцениваемый параметр , а доверительный
интервал, то более правильно говорить не о вероятности попадания в доверительный
интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал покроет .
55
Теория вероятностей и математическая статистика
Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ю.Нейман*, исходя из идей английского статистика Р. Фишера**.
*Джон фон Нейман (28 декабря 1903 – 8 февраля 1957) – венгероамериканский математик.
** Сэр Рональд Эйлмер Фишер (17 февраля 1890 – 29 июля 1962) английский статистик, эволюционный биолог, математик, генетик и евгеник.
56
Теория вероятностей и математическая статистика
14.13. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения известно.
Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней , то есть найти
доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью .
57
Теория вероятностей и математическая статистика
Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину ( изменяется от выборки к выборке) и выборочные значения признака х1, х2,… хn — как одинаково распределенные независимые случайные величины X1, X2, ... , Xn (эти числа также изменяются от выборки к выборке). Другими словами, математическое
ожидание каждой из этих величин равно а и среднее квадратическое отклонение — а.
Примем без доказательства, что если случайная
величина X распределена нормально, то выборочная средняя Х, найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально.
58
Теория вероятностей и математическая статистика
Параметры нормального распределения Х нам известны:
М(Х) = а, (Х) = / .
59
Теория вероятностей и математическая статистика
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение
Р(| - а|< ) = ,
где — заданная надежность.
Пользуясь формулой Р(|X - а|< ) = 2Ф( / ) и заменяя Х на Х, а на (Х) = / , получим
(| - a|< ) = 2Ф( / ) = 2Ф(t),
где t = / .
60