1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_14_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Можно показать, что если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии.
Дело в том, что выборочная дисперсия в является
смещенной оценкой Dг.
Другими словами, математическое ожидание
выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно
−в = г.
41
42
Теория вероятностей и математическая статистика
Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию
s2= |
|
|
|
|
− 2 |
/( − 1) |
|
=1 |
|
|
в |
|
43
Теория вероятностей и математическая статистика
Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии.
= |
|
|
|
− |
в |
/( − ). |
|
= |
|
|
|
|
44
Теория вероятностей и математическая статистика
Отметим, что s не является несмещенной оценкой,
поэтому его называют «исправленное» среднее квадратическое отклонение.
45
Теория вероятностей и математическая статистика
Замечание. Сравнивая формулы
D = |
|
|
|
|
− 2 |
/ и s2= |
|
|
|
|
− 2 |
/( − 1), |
В |
=1 |
|
|
в |
|
=1 |
|
|
в |
|
видим, что они отличаются лишь знаменателями.
Очевидно, при достаточно больших значениях n объема выборки выборочная и исправленная дисперсии различаются мало.
На практике пользуются исправленной дисперсией, если примерно n < 30.
46
Теория вероятностей и математическая статистика
14.12. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал
Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.
Все рассмотренные ранее оценки – точечные.
47
Теория вероятностей и математическая статистика
При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам.
По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.
48
Теория вероятностей и математическая статистика
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала.
Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.
49
Теория вероятностей и математическая статистика
Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика * служит оценкой неизвестного параметра . Будем считать постоянным числом ( может быть и случайной величиной).
Ясно, что * тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности | — *|.
Другими словами, если >0 и | — *| < , то чем меньше, тем оценка точнее.
Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.
50