1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_14_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Зная дисперсию каждой группы, можно найти их среднюю арифметическую.
Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую дисперсий, взвешенную по объемам групп:
|
|
|
|
|
|
= |
|
гр |
. |
|
|
|||
внгр |
|
|
||
|
|
|||
где N — объем группы j; n = |
|
— объем всей |
j |
=1 |
|
совокупности. |
|
|
31
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 2. Найти внутригрупповую дисперсию по данным примера 1.
Решение. Искомая внутригрупповая дисперсия равна
внгр = 1 1гр + 2 2гр / = (10 0,6 + 5 6)/15 = 12,5.
32
Теория вероятностей и математическая статистика
Зная групповые средние и общую среднюю, можно найти дисперсию групповых средних относительно общей средней.
Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общей средней:
межгр = ( − )2 /n,
где —групповая средняя группы j; Nj—объем группы j;
— общая средняя; = |
|
—объем всей |
|
=1 |
|
совокупности. |
|
|
33
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 3. Найти межгрупповую среднюю по данным примера 1. 
Решение. Найдем общую среднюю.
|
|
|
1∙2+7∙4+2∙5+2∙3+3∙8 |
|
14 |
|
|
= |
|
|
= |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
15 |
|
3 |
|
||
Используя ранее вычисленные величины 1 = 4, 2 = 6, найдем искомую межгрупповую дисперсию:
|
|
|
( |
− )2+ |
( |
− )2 |
|
||
|
= 1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
= |
||
межгр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
10∙(4−14/3)2+5∙(6−14/3)2 |
= |
8 |
. |
|||||
|
|
15 |
|
|
9 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
34
Теория вероятностей и математическая статистика
Теперь целесообразно ввести специальный термин для дисперсии всей совокупности.
Общей дисперсией называют дисперсию значений признака всей совокупности относительно общей средней:
общ = ( − )2 /n,
где ni —частота значения xi; — общая средняя; n — объем всей совокупности.
35
Теория вероятностей и математическая статистика Пример 4. Найти общую дисперсию по данным примера 1.
Решение. Найдем искомую общую дисперсию, учитывая что общая средняя равна 14/3.
|
1 ∙ (2 − 14/3)2+7 ∙ (4 − 14/3)2+2 ∙ (5 − 14/3)2 |
|||
общ = |
15 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
2∙(3−14/3)2+3∙(8−14/3)2 |
= |
148 |
. |
|
15 |
45 |
||
|
|
|
||
Замечание. Найденная общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:
общ= 148/45;внгр + межгр = 12/5 + 8/9 = 148/45.
NB: Такая закономерность справедлива для любой совокупности.
36
Теория вероятностей и математическая статистика
Теорема. Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:
Dобщ = Dвнгр + Dмежгр.
Общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.
37
Теория вероятностей и математическая статистика
Замечание. Теорема имеет не только теоретическое, но и важное практическое значение. Например, если в результате наблюдений получены несколько групп значений признака, то для вычисления общей дисперсии можно группы в единую совокупность не объединять.
С другой стороны, если совокупность имеет большой объем, то целесообразно разбить ее на несколько групп.
В том и другом случаях непосредственное вычисление общей дисперсии заменяется вычислением дисперсий отдельных групп, что облегчает расчеты.
38
Теория вероятностей и математическая статистика
14.11. |
Оценка |
генеральной |
дисперсии |
по |
исправленной выборочной
Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений над количественным признаком X извлечена повторная выборка объема n:
значения признака........ |
x1, x2,... xk. |
|
частоты............. |
n1, n2, . . . nk. |
|
При этом n1 + n2 + . . . nk = n.
Требуется |
по |
данным |
выборки |
оценить |
(приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию Dг.
39
Теория вероятностей и математическая статистика
14.11. |
Оценка |
генеральной |
дисперсии |
по |
исправленной выборочной
Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений над количественным признаком X извлечена повторная выборка объема n:
значения признака........ |
x1, x2,... xk. |
|
частоты............. |
n1, n2, . . . nk. |
|
При этом n1 + n2 + . . . nk = n.
Требуется |
по |
данным |
выборки |
оценить |
(приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию Dг.
40