1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_14_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Лекция 14

1 курс. 4 зач.ед.

144 часа (36 час. лекц., 36 час. практич. зан., 72 час. самост. раб.). Экзамен.

1

Теория вероятностей и математическая статистика

14.5. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних

Пусть из генеральной совокупности (в результате независимых наблюдений над количественным признаком X) извлечена повторная выборка объема n со значениями признака x1, x2, …, xn. Не уменьшая общности рассуждений, будем считать эти значения признака различными.

Пусть генеральная средняя г неизвестна и

требуется оценить ее по данным выборки.

2

Теория вероятностей и математическая статистика

14.5. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних

Пусть из генеральной совокупности (в результате независимых наблюдений над количественным признаком X) извлечена повторная выборка объема n со значениями признака x1, x2, …, xn. Не уменьшая общности рассуждений, будем считать эти значения признака различными.

Пусть генеральная средняя г неизвестна и

требуется оценить ее по данным выборки.

3

Теория вероятностей и математическая статистика

В качестве оценки генеральной средней принимают

выборочную среднюю

в = (х1 + х2 + . . . + хn)/n.

Можно показать, что это несмещенная оценка, то есть математическое ожидание этой оценки равно г.

Легко также показать, что выборочная средняя является и состоятельной оценкой генеральной средней.

4

Теория вероятностей и математическая статистика

Из сказанного следует также, что если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом и состоит свойство устойчивости выборочных средних.

5

Теория вероятностей и математическая статистика

Чем больше объем выборки, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной средней.

6

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание. В этом разделе мы предполагали выборку повторной. Однако полученные выводы применимы и

для бесповторной выборки, если ее объем значительно меньше объема генеральной совокупности. Это положение часто используется на практике.

7

Теория вероятностей и математическая статистика

14.6. Групповая и общая средние

Допустим, что все значения количественного при-

знака X совокупности, безразлично - генеральной или выборочной, разбиты на несколько групп.

Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти ее среднюю арифметическую.

8

Теория вероятностей и математическая статистика

арифметическое значений признака, принадлежащих группе j.

Общей средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.

Общая средняя равна средней арифметической групповых средних, взвешенной по объемам групп.

9

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Найти общую среднюю совокупности, состоящей из двух групп.

10