СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ
В инженерной практике часто встречаются системы, в которых число наложенных связей (число опорных реакций) больше числа уравнений равновесия (статики). В этих системах, используя только уравнения равновесия, невозможно определить ни реакции опор, ни внутренние усилия, возникающие в элементах конструкций. Такие системы называются статически неопределимыми.
Определение. Статически неопределимые системы – это упругие стержневые системы, у которых число неизвестных опорных реакций (внутренних усилий) превышает число независимых уравнений равновесия (уравнений статики), возможных для этой системы.
Определение. Степень статической определимости (неопределимости) простых стержневых систем обычно определяется как разность между количеством неизвестных опорных реакций (внутренних усилий) и количеством уравнений равновесия (уравнений статики), которые можно составить для данной системы.
Для определения всех неизвестных опорных реакций (внутренних усилий) статически неопределимой системы составляют дополнительные уравнения.
Эти необходимые для решения рассматриваемой задачи дополнительные уравнения можно составить, изучая деформации, испытываемые системой.
Всякая конструкция деформируется так, что не происходит разрывов стержней и разъединения их друг от друга. В этом и заключается совместность деформаций элементов системы.
Оказывается, что всегда можно найти столько дополнительных уравнений, сколько необходимо, чтобы полное число уравнений вместе с уравнениями статики равнялось числу неизвестных опорных реакций (внутренних усилий).
Эти дополнительные уравнения составляются на основании общего принципа
– они должны выражать условия совместности деформаций системы, поэтому называются уравнениями совместности деформаций (уравнения перемещений).
Количество дополнительных уравнений совместности деформаций, необходимых для раскрытия статической неопределимости, должно быть равно степени статической неопределимости системы.
Решение системы уравнений равновесия и совместности деформаций позволяет определить все неизвестные опорные реакции (внутренние усилия).
Этот этап решения задачи называется раскрытием статической неопределимости системы.
Раскрыть статическую неопределимость системы - это значит определить численные значения всех опорных реакций (внутренних усилий).
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ЗАДАЧ
Статически неопределимые конструкции рассчитываются, решая совместно уравнения, полученные в результате рассмотрения статической, геометрической и физической сторон задачи. При этом придерживаются следующего порядка:
1.Статическая сторона задачи. Определяется степень статической неопределимости системы. Составляются уравнения равновесия, содержащие неизвестные опорные реакции (внутренние усилия) системы.
2.Геометрическая сторона задачи. Рассматриваются деформации, испытываемые системой, и записываются уравнения совместности деформаций (уравнения перемещений).
3.Физическая сторона задачи. На основании закона Гука /Формула (9) для определения перемещений стержня при его центральном растяжении (сжатии), которая получена на основе закона Гука/, уравнения совместности деформаций выражаются через неизвестные опорные реакции (внутренние усилия).
4.Синтез уравнений. Решая совместно систему уравнений, полученных в результате рассмотрения статической, геометрической и физической сторон задачи, определяются численные значения всех опорных реакций (внутренних усилий).
Рассмотрим шарнирно стержневую систему, в которой груз F подвешен на трех стержнях (см. рис., а)
В этом случае число неизвестных усилий, действующих в поперечных сечениях стержней, равно трем (N1, N2, N3), а уравнений равновесия (статики) для их определения – два ( Fx = 0 и Fz = 0).
Таким образом, узел находится в равновесии под действием 4-х сил, три из которых неизвестны (см. рис., б).
I. Статическая сторона задачи.
Рассматриваемая система один раз статически неопределимая
n = 3 – 2 = 1,
•
Согласованность деформаций состоит в том, что до и после деформации нижние концы всех стержней должны быть в одном узле. Учитывая, что деформации стержней малы по сравнению с их линейными размерами, можно считать, что углы, составляемые крайними стержнями со средним, после деформации практически такие же, как и до деформации.
Из рисунка (см. рис., в) находим, что отрезок BB3 равен
BB3 l3 .
Для определения удлинения первого стержня, отложим на его новой длине АВ3, первоначальную длину, равную АВ1. В силу малости перемещений дугу ВВ1 заменяем перпендикуляром, опущенным из точки B на линию АВ3. Тогда
l1 = АВ3 – АВ1 = В1В3.
Из прямоугольного треугольника ВВ1В3 установим связь между удлинениями стержней
Следовательно, уравнение совместности деформаций имеет вид
•
l1 l2 N1l1 / EA ; |
l3 N3l3 / EA |
l3 l1 cos ,
N1 / EA N3 cos2 / EA . N1 N3 cos2 .
IV. Синтез уравнений.
Решая совместно систему уравнений, полученных в результате рассмотрения
статической, геометрической и физической сторон задачи, определяются численные значения всех опорных реакций (внутренних усилий).
Мы получили систему трех уравнений (42, 43 и 46), в которые вошли 3 неизвестные N1, N2 и N3.
Решая эту систему уравнений, определим численные значения внутренних усилий N1, N2 и N3.
Из уравнения (43) имеем
Подставляя в полученное выражение (47) уравнение (46), определим численное значение внутреннего усилия N3
Подставив в выражение (46) полученное значение N3 (48), определим численные значения внутренних усилий N1 и N2
(49)