Если
A(x) = A = const,
то
q(x) = γ ∙ A(x) = const,
то есть интенсивность распределенной нагрузки изменяется по закону прямой, параллельной оси стержня.
Рассмотрим прямой стержень постоянного поперечного сечения большой длины, закрепленный верхним концом и нагруженный на свободном конце силой F (см. рис.)
•
N F Gx F Gx ,
A A A A
Gx Vx A x
•
•
•
БРУС РАВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ РАСТЯЖЕНИЮ – СЖАТИЮ. СТУПЕНЧАТО-ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СТЕРЖНИ (БРУСЬЯ)
При расчете на прочность стержней постоянного сечения с учетом собственного веса во всех сечениях, кроме опасного, напряжения будут ниже допускаемого, что приводит к перерасходу материала. Однако, можно спроектировать стержень такого переменного сечения, у которого во всех поперечных сечениях напряжения будут одинаковыми и равными допускаемому напряжению. Такой стержень называется стержнем (брусом) равного
сопротивления растяжению или сжатию.
Установим закон изменения площади поперечного сечения по длине такого стержня (см. рис.).
В произвольном сечении стержня на расстоянии x выделим бесконечно малый элемент dx. Определим напряжения в различных сечениях:
Сечение 1 - 1:
Сечение 2 - 2:
Сечение 3 - 3:
3 3 |
|
N dN |
, |
|
|||
где |
|
Ax dAx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
Разделим числитель и знаменатель на Ax . Получим
|
N |
|
Ax dx |
|
|
Ax |
|
dAx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
A |
A |
A |
A |
||||||||
|
|
/ |
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
x |
|
x |
|
|
dx dAx . |
|
dx dAx |
|
|
|||
A |
A |
||
x |
|
x |
Интегрируя полученное дифференциальное уравнение с разделенными
переменными, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Постоянную интегрирования C найдем из условия, что при x = 0 |
Ax = A0. |
|||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax |
|
|||
0 |
ln A |
C C ln A . |
|
x ln A ln A ln |
. |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
. |
0 |
|
|
0 |
|
|
x |
0 |
A0 |
|
||||
|
|
x |
|
Ax |
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
. A A e |
|
|
|
|
|||||
|
|
e |
. |
|
|
(39) |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
||||
Если |
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||
то |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Ax A0 e
Изготовить брус, имеющий такую сложную форму, затруднительно, поэтому на практике изготавливают брус ступенчато–призматическим таким образом, чтобы в пределах каждого участка верхнее (или нижнее) сечение работало при напряжениях равных
.
Имеем (29) |
|
|
|
A1 |
|
F |
|
, а G1 A1 l1 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
l1 |
||||||||
Следовательно, |
|
|
F |
G1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
l |
|
|
|
F |
A1 l1 l2 |
||||
|
|
|||||||||||
|
|
A |
A |
|
|
2 |
|
|
A2 |
A2 |
||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда
A F
2 l1 l2
Таким образом
F n 1 |
|
Аn l1 l2 ln |
(41) |