Практическое занятие:
Внецентренное приложение нагрузки. Ядро сечения.
Задача 5.2
Условие задачи: Короткий стержень сжимается силой F, проходящей через заданную точку и направленной параллельно продольной оси стержня.
Исходные данные: точка приложения силы F – точка В; расчётное сопротивление на растяжение материала Rt =0,25 МПа; расчётное сопротивление на сжатие материала Rc=2,5 МПа.
Требуется:
1.Построить нейтральную ось.
2.Из условия прочности определить величину допускаемой силы [F].
3.При силе равной [F], вычислить нормальные напряжения в точках сечения, наиболее удалённых от нейтральной оси в зонах растяжения и сжатия. Построить эпюру нормальных напряжений в поперечном сечении стержня.
4.Построить ядро сечения.
Решение:
1. Построить нейтральную ось.
Разбиваем сечение на простые фигуры:
1 фиг. Равнобедренный треугольник: b=40 см; h=30 см.
A1 12 bh 12 40 30 600 см2
IZ1 |
bh3 |
40 303 |
30000 |
IY1 |
b3h |
403 30 |
40000 |
|
36 |
36 |
см4 |
|
48 |
48 |
см4 |
2Aфиг.bhПрямоугольник:40 60 2400b=40 см; h=60 см. |
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
см2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
40 |
3 |
|
3 |
h |
3 |
60 |
|
|||
IZ 2 |
|
bh |
|
60 |
720000 |
IY 2 |
b |
40 |
|
320000 |
|||
|
|
12 |
|
12 |
|||||||||
|
12 |
|
|
см4 |
|
12 |
|
см4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3Aфиг.1 bh 1 40 15 300
3 Равнобедренный треугольник: b=40 см; h=15 см.
2 2
IZ 3 |
bh3 |
|
40 153 |
3750 см2 |
IY 3 |
b3h |
|
403 15 |
20000 |
|
36 |
|
36 |
|
|
48 |
|
48 |
|
см4 |
см4 |
Относительно вспомогательных осей Y0 и Z0 определяем координаты всего центра тяжести:
yC |
|
|
(i) |
(1) |
(2) |
(3) |
y1 A1 y2 A2 y3 A3 , здесь |
||||
|
SZ 0 |
SZ 0 |
SZ 0 |
SZ 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
A |
|
A1 A2 A3 |
|
A1 A2 A3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 – это расстояние между осями Z0 и Z1. y1=70 см. y2 – это расстояние между осями Z0 и Z2. y2=30 см. y3 – это расстояние между осями Z0 и Z3. y3=5 см.
yC 70 600 30 2400 5 300 |
41,67 |
см |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
600 2400 300 |
|
|
|
|
||||
zC |
|
|
(i) |
(1) |
(2) |
(3) |
z1 A1 z2 |
A2 z3 A3 |
|
||||
|
SY 0 |
SY 0 |
SY 0 |
SY 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, здесь |
|
|
|
|
A |
|
A1 A2 A3 |
|
|
A1 |
A2 A3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z1 – это расстояние между осями Y0 и Y1. z1=0 см. z2 – это расстояние между осями Y0 и Y2. z2=0 см.
z3 – это расстояние между осями Y0 и Y3. z3=0 см. |
||
zC 0 600 0 |
2400 0 300 |
0 |
600 |
2400 300 |
|
Относительно вспомогательных осей Y0 и Z0 откладываем центр тяжести всего сечения точку С(yc; zc). Через точку С(41,67; 0) проводим центральные оси Y и Z.
Так как ось Y является ось симметрии всего сечения, поэтому оси Y и Z являются главными центральными осями всего сечения.
Определяем главные центральные моменты инерции всего сечения:
|
|
(i) |
(1) |
(2) |
(3) |
2 |
|
|
2 |
A2 |
IZ 3 |
2 |
, здесь |
||
IZ |
IZ |
IZ |
IZ |
IZ |
IZ1 a1 A1 IZ 2 |
a2 |
a3 A3 |
||||||||
a1 |
– это расстояние между осями Z и Z1. |
a1=y1–yc= 70 – 41,67 = 28,33 см. |
|
||||||||||||
a2 |
– это расстояние между осями Z и Z2. |
a2=y2–yc= 30 – 41,67 = -11,67 см. |
|
||||||||||||
a3 |
– это расстояние между осями Z и Z3. |
a3=y3–yc= 5– 41,67 = -36,67 см. |
|
||||||||||||
IZ 30000 28,332 |
600 720000 11,67 2 |
2400 3750 |
36,67 2 300 113,135 104 |
||||||||||||
IY IY(i) |
IY(1) |
IY(2) |
IY(3) |
IY1 b12 A1 IY 2 |
b22 |
A2 IY 3 |
b32 |
A3 |
, здесь |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 – это расстояние между осями Y и Y1. |
b1=z1–zc= |
|
0 – 0 = 0 см. |
|
|||||||||||
b2 – это расстояние между осями Y и Y2. |
b2=z2–zc= |
|
0 – 0 = 0 см. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
b20000=z –z =0 |
2 |
|
|
4 |
|||
bIY – это40000расстояние0 600между320000осями0Y и2400Y . |
|
0 –300= 0 34см. 10 |
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 3 |
c |
|
|
|
|
|
|
Определяем квадраты главных центральных радиусов инерции всего сечения:
iY2 |
|
IY |
|
|
|
|
|
IY |
|
|
|
|
|
|
34 104 |
|
|
126 |
см2 |
|
|
|
|
|
|||||||
A |
|
A1 |
A2 |
|
|
600 2400 300 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
IZ |
|
|
|
|
|
|
IZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
113,135 104 |
|
|
419 |
|
|
|
|
|
|
|||
iZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A |
|
A1 |
A2 A3 |
600 2400 300 |
см2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Определяем отрезки, отсекаемые нулевой линией на координатных осях: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
i2 |
|
a |
|
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Z |
|
Z |
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Y |
|
|
|
|
|
yF |
|
|
|
|
|
|
zF , здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y и z |
|
– координаты точки приложения внешней силы F. Внешняя сила приложена в точке В, которая имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||
F |
|
|
F |
|
|
|
419 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z и |
126 |
|
z |
|
= z |
|
= 20 см |
||||||
координаты относительно осейa |
Y: |
y =6y,3 = 18,33 см |
F |
B |
|||||||||||||||||||||||||||
aY |
|
18,3 |
22,9 |
|
|
|
|
Z |
|
20 |
F |
B |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см |
|
|
см |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
На расчётной схеме на координатных осях Y и Z откладываем отрезки ay и az. И через две точки проводим нулевую линию.
2. Из условия прочности определить величину допускаемой силы [F].
Определяем положение опасных точек. Опасные точки – это точки наиболее удалённые от нейтральной линии и в этих точках нормальные напряжения принимают экстремальное значение.
Опасные точки:
Точка В, располагается в сжатой зоне
yB yопсж 18,33 см zB zопсж 20 см
Точка D, располагается в растянутой зоне
yD yопраст 41,67 см |
|
|
|
|
zD zопраст 20 см |
|||||||||||||||||||
Условия прочности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
yF |
|
раст |
|
zF |
|
раст |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
раст |
|
|
|
1 |
yоп |
|
|
|
zоп |
|
|
R |
|||||||||||
|
|
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2 |
|
|
|
t |
||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|||
|
сж |
|
|
F |
|
|
y |
F |
yсж |
|
|
|
|
сж |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R , здесь |
||||
max |
|
|
|
|
|
|
i2 |
|
|
i2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|||
yопраст и zопраст – координаты опасной точки в растянутой зоне yопсж и zопсж – координаты опасной точки в сжатой зоне
А – суммарная площадь поперечного сечения Из условий прочности определяем значения допускаемой нагрузки:
F |
раст |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2700 10 4 0,25 103 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16,92 |
кН |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
yF yопраст |
|
zF zопраст |
|
|
|
|
|
1 |
|
18,33 |
41,67 |
|
20 |
20 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iZ2 |
|
|
|
iY2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
419 |
|
|
|
126 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F |
сж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2700 10 4 2,5 103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135,54 |
|
кН |
||||||
|
|
|
|
|
y |
F |
yсж |
|
|
zF |
|
сж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18,33 18,33 |
|
20 20 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
оп |
|
zоп |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2 |
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
419 |
126 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из двух найденных значений сил выбираем минимальное. Принимаем [F]=16,92 кН.
3. При силе равной [F], вычислить нормальные напряжения в точках сечения, наиболее удалённых от нейтральной оси в зонах растяжения и сжатия. Построить эпюру нормальных напряжений в поперечном сечении стержня.
Определяем напряжения в опасных точках: |
3 |
|
18,33 |
41,67 |
|
20 |
20 |
|
||||||||||||||||||
|
|
F |
yF yA |
|
|
zF zA |
|
|
16,92 10 |
|
|
|||||||||||||||
D |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
419 |
|
|
126 |
|
0,25 |
||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
2700 10 4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
A |
iZ |
|
|
iY |
|
|
|
|
|
|
|
МПа |
||||||||||||
|
|
F |
yF yB |
|
|
zF zB |
|
16,92 103 |
|
18,33 18,33 |
20 |
20 |
|
|
|
|||||||||||
B |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
419 |
|
0,31 |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2700 10 4 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
A |
iZ |
|
|
iY |
|
|
|
|
|
|
|
|
126 |
|
МПа |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Знак силы F подставляется по смыслу, так как сила сжимающая, то её значение отрицательное.
На расчётной схеме через опасные точки проводим касательные параллельные нулевой линии и строим эпюру нормальных напряжений.
4. Построить ядро сечения
Для построения ядра сечения, необходимо по всему контуру поперечного сечения провести касательные, которыми являются нулевые линии. При проведении касательных внутренние углы надо обходить.
Для определения координат ядровых точек воспользуемся соотношениями:
yFя(i) |
i2 |
(i) |
|
iY2 |
||
Z |
zFя |
|
|
, здесь |
||
(i) |
||||||
a(yi) |
||||||
|
|
|
az |
|||
a(yi) и |
az(i) – отрезки, которые нулевая линия отсекает на |
|||||||||
координатных осях |
|
|
|
|
||||||
i2 |
126 см2 |
i2 419см2 |
– квадраты радиусов инерции |
|||||||
Y |
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
поперечного сечения |
|
|
|
|
||||||
Нулевая линия 1-1 |
|
|
|
|
||||||
a(1) |
48,33 |
a(1) |
32,22 |
|
|
|||||
y |
|
|
см |
z |
|
см |
|
|
||
yFя(1) |
|
|
419 |
|
8,67 см |
zFя(1) |
126 |
3,91 см |
||
48,33 |
32,22 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Нулевая линия 2-2 |
|
|
a(2)y 48,33 см |
az(2) 32,22 см |
|
Нулевая линия 3-3 |
|
|
a(3)y |
|
az(3) 20 см |
Нулевая линия 4-4 |
|
|
a(4)y 41,67 см |
az(4) |
|
Нулевая линия 5-5 |
|
|
a(5)y |
|
az(5) 20 см |
yFя(2) |
419 |
|
8,67 см |
zFя(2) |
126 |
3,91 см |
|
48,33 |
32,22 |
||||||
|
|
|
|
||||
yFя(3) |
419 |
0 |
см |
zFя(2) 126 |
6,3 см |
||||
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
yFя(4) |
|
419 |
|
10,06 см |
zFя(4) |
126 0 |
см |
||
|
41,67 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
yFя(5) 419 |
0 |
см |
zFя(5) 126 6,3 |
см |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
Координаты ядровых точек откладываем в масштабе относительно центральных осей Y и Z. Ядровые точки соединяем прямыми линиями и получаем ядро сечения.