Лекция 4. Системы логических функций и их реализации

4.1. Основные тождества алгебры логики (повторение) 4

Методом перебора легко убедиться в справедливости следующих теорем:

идемпотентные законы (правило подобных)

(1)

коммутативные законы

(2)

ассоциативные законы

(3)

дистрибутивные законы

(4)

законы отрицания

(5)

операции с константами

(6)

(7)

Полезные следствия:

.

законы двойственности (теоремы де Моргана ⁵)

(8)

Полезно иметь в виду, что вследствие этого закона

,

,

и что

закон двойного отрицания

(9)

законы поглощения

(10)

операции склеивания

(11)

операции обобщенного склеивания

(12)

(13)

В общем виде Клод Шеннон записал принцип двойственности (8) как

, где ν – вектор входных координат;

– вектор инверсий координат;

\ означает “относительно действий”.

Напомним: если в логическое выражение входят операции дизъюнкции и конъюнкции, то следует соблюдать порядок выполнения операций: сначала выполняется операция конъюнкции, а затем операция дизъюнкции. В сложных логических выражениях для задания порядка выполнения операций используются скобки.

Некоторые теоремы и тождества алгебры логики имеют особое значение, так как позволяют упрощать логические выражения. Например, в соотношениях (1), (5) – (7), (10) – (13) правая часть проще левой, поэтому, произведя в логических выражениях соответствующие преобразования, можно добиться существенного их упрощения. Особенно часто для преобразования логических выражений с целью их упрощения используются тождества (10) – (13).

Наш курс ориентирован на аппаратные средства ВТ (см. рис. 1), соответственно необходимо сопоставить существующие логические функции и их реализации в виде микросхем. Обычно «логику» реализуют на комбинационных микросхемах малой сложности. К последним относят те, у которых в каждом кристалле содержится до 100 транзисторных элементов, выполненных по биполярной технологии. Комбинационные микросхемы не имеют памяти, их состояние определяется текущими, мгновенными значениями входных сигналов (однако, переходные процессы имеют конечную длительность) ⁶.

Отметим, что функциональные возможности комбинационных схем могут быть сведены в две группы:

1) логические преобразования сигналов;

2) преобразования статических и динамических параметров сигналов (параметрические преобразования) – см. ниже, например, лекцию 12.

Реальные результаты этих преобразований зависят от схемотехнических решений функциональных узлов и от свойств микросхем.

В соответствии со сказанным выше при рассмотрении полной совокупности логических функций от 1 и 2 аргументов будем обращать внимание на наличие и обозначение микросхем, выполняющих данную функцию (табл. 9).

4.2. Системы логических функций от 1 и 2 аргументов

Система логических функций от 1 аргумента X состоит из четырёх функций: Y0  0, Y1  X, … (остальные – самостоятельно). Совокупность значений всех возможных функций Yk от двух аргументов X1 и X2 приведена в табл. 9.

Таблица 9

X1	0011	Символ в формулах	Имя	Функция	Символ на УГО	Обозначение микросхемы
X2	0101
Y0	0000	 0	Тождественный 0		
Y1	0001	.  (&)	И (конъюнкция)	=	&	ЛИ
Y2	0010			=
Y3	0011		Тождественный X1	X1
Y4	0100			=
Y5	0101		Тождественный X2	X2
Y6	0110		Исключающее ИЛИ		=1	ЛП5, ЛП12 ()
Y7	0111		ИЛИ (дизъюнкция)		(≥)1	ЛЛ
Y8	1000		Стрелка Пирса	=		ЛЕ
Y9	1001		Эквивалентность	=

Продолжение табл. 9

X1	0011	Символ в формулах	Имя	Функция	Символ на УГО	Обозначение микросхемы
X2	0101
Y10	1010	– ┐	Инверсия X2		Кружок (НЕ)	ЛН
Y11	1011		Импликация X2X1	=
Y12	1100	– ┐	Инверсия X1		Кружок на выходе или входе	ЛН
Y13	1101		Импликация X1X2	=
Y14	1110		Штрих Шеффера X1X2	=	И-НЕ, либо НЕ-ИЛИ	ЛА
Y15	1111	 1	Тождественная 1	1	подачей + 5 В через резистор

Полная номенклатура «одноярусных» логических микросхем, входящих в серии ТТЛ, приведена в табл. 10. Примеры УГО микросхем с логикой И-ИЛИ-НЕ приведены на рис. 12. Список зарубежных прототипов наиболее распространенных микросхем ТТЛ малой и средней интеграции дан в приложении.

Таблица 10

Рис. 12

Рассмотрим связь между логической функцией и ее реализациями на примере функции Y6. Это операция суммирования по модулю два (исключающее ИЛИ, логическая неравнозначность), которая обозначается символом и определяется соотношением

(14)

Легко убедиться, что:

(15)

Из приведенных соотношений следует, что значение совпадает со значением младшего разряда суммы двух двоичных чисел, где x и y – значения младших разрядов этих чисел. Соответственно этому значение i-го разряда суммы двух двоичных чисел будет определяться значением , где и – значения i-х разрядов двоичных чисел, а – перенос в i-й разряд из предыдущего (i – 1)-го разряда.

Операция сумма по модулю два коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна относительно операции конъюнкции, т.е.

(16)

Для операции сумма по модулю два справедливы также следующие тождества:

(17)

Последнее выражение крайне полезно, когда нет резерва инверторов для инвертирования функции, но есть хотя бы один инвертированный аргумент.

Варианты схемной реализации данной операции приведены на рис. 13, однако существует и готовые микросхемы ЛП5, ЛП12, выполняющие эту функцию (см. табл. 10).

Рис. 13

Выведите формулы, доказывающие правильность схем, обратите внимание на полезность переноса инверсий (правая верхняя схема).

Сделайте упражнение «лесенка» (найдите Z на рис. 14):

Рис. 14