1.5. Потенциал электрического поля

По аналогии с напряженностью электрического поля, можно ввести скалярную величину φ = W / q , называемую электрическим потенциалом поля, которая не зависит от величины q и характеризует только свойства электрического поля в данной точке. Множество значений потенциала в разных точках электрического поля образуют скалярное поле – поле, которое описывается скалярной функцией (или скалярной физической величиной), не меняющейся при повороте всей системы.

Электрический потенциал – это энергетическая характеристика электрического поля, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля. В СИ единицей электрического потенциала служит: 1Дж / К л = 1К л / м = 1В.

Выразим значение работы электростатического поля через разность потенциалов. Учитывая, что потенциальная энергия взаимодействия пробного заряда с источником поля в данной точке равна W = q ∙ φ, можно написать уравнение для работы электрических сил в виде:

A = - q ∙ (φ₂ – φ₁) = q ∙ (φ₁ – φ₂) = q ∙ U,

где множитель уравнения φ₁ – φ₂ = U представляет собой разность потенциалов, которую называют напряжением. Напряжение это величина, которая позволяет рассчитать величину энергии, отдаваемой зарядом в электрической цепи. Если пробный заряд, внесенный в поле, удаляется из точки с потенциалом φ₁ в бесконечность, где при r→ потенциал φ₂ → 0, то работа электрических сил поля равна

А = q ∙ φ₁,

откуда следует, что потенциал, например, в точке поля 1,

φ₁ = А / q численно равен работе сил поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки поля в бесконечность.

Величина потенциальной энергии заряженного тела определяется уровнем потенциальной энергии.

Уровнем потенциальной энергии заряженного тела называется плоскость, поверхность или линия, относительно которой рассматривается величина потенциальной энергии заряженного тела.

Любой произвольно выбранный уровень, относительно которого потенциальная энергия заряженного тела равна нулю, называют нулевым уровнем.

Часто за нуль потенциала принимается не значение его в бесконечности, а значение потенциала Земли. Однако, это несущественно, так как во всех практических расчетах важно знать разность потенциалов между двумя точками электростатического поля, а не абсолютные значения потенциалов в этих точках.

Эквипотенциальной областью (объемом, поверхностью, линией) называется геометрическое место точек в электростатическом поле, имеющих одинаковый потенциал φ(x, y, z) = const. В любой точке эквипотенциальной области вектор напряженности электростатического поля перпендикулярен (нормален) к ней и направлен в сторону убывания потенциала.

1.6. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

Электростатическое поле можно описать как с помощью векторной функции Е – напряженности поля, так и с помощью скалярной функции φ – потенциала поля. Естественно, что между силовой и энергетической характеристиками одной и той же точки электростатического поля существует однозначная зависимость.

Учитывая, что элементарная работа электростатических сил поля над перемещающимся пробным положительным зарядом определяется, с одной стороны, как dA = q_пр ∙ E_L ∙ dL = q_пр ∙ E ∙ dr, а с другой, как dA = - q_пр ∙ dφ, можно записать следующие соотношения: q_пр ∙ E_L ∙ dL = q_пр ∙ E ∙ dr = - q_пр ∙ dφ, откуда получаются уравнения

E_L = - , Е = - .

Зная напряженность Е(r), можно вычислить разность потенциалов и потенциал поля:

φ (r₁) - φ (r₂) = E dr, φ (r) = E dr,

где r₀ – точка, в которой потенциал принят равным нулю. Зная значение потенциала φ (r), можно найти проекцию напряженности на любое направление и, соответственно, вектор напряженности:

E = - (i· + j · + k · ) = - grad φ,

где i, j и k – единичные векторы, а величина grad φ (читается как “градиент фи”, или “градиент потенциала”) – это векторная величина, направленная в сторону наиболее быстрого возрастания потенциала φ, навстречу вектору напряженности поля Е, направленному в сторону убывания потенциала поля, и показывающая быстроту изменения потенциала в выбранном направлении. Понятие градиента применяется для характеристики скалярных полей. В общем случае, градиент скалярной функции – это вектор, определяющий приращение функции на элементе пути.